Câu 61:
Số nghiệm của phương trình \( x^2 - 4\sqrt{x^2 + 1} - 4 = 0 \) trong khoảng (0; 24) là:
- A. 3
- B. 2
- C. 0
- D. 1
Câu 62:
Một cửa hàng bán táo, cam và chuối. Trong một ngày, cửa hàng ghi nhận tổng số tiền bán táo, cam và chuối là 1.200.000 đồng. Trong đó, tổng số tiền bán táo và cam là 850.000 đồng, tổng số tiền bán táo và chuối là 900.000 đồng. Số tiền bán táo là:
- A. 550.000 đồng
- B. 350.000 đồng
- C. 700.000 đồng
- D. 300.000 đồng
Câu 63:
Có bao nhiêu số nguyên m nhỏ hơn 2025 để phương trình \( x - \sqrt[3]{x-3} = m-1 \) có nghiệm
- A. 2025
- B. 2023
- C. 2024
- D. 2022
Suy ra \( m \geq \min_{[0,+\infty)} \left( t^2 - 3t + 4 \right) = 1,75 \). Vậy \( m \in \{2,3; 4; ..., 2024\} \)
Câu 64:
Tìm \( m \) để phương trình \(\log_2^2 x - \log x - 2025m = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) và phương trình \(9^y - m \cdot 3^y + (-\sqrt{3})^7 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(y_1, y_2\) sao cho các điểm \(A(x_1; y_1)\), \(B(x_2; y_2)\) thỏa mãn \(OA \perp OB\).
- A. \(81 + \frac{1}{\sqrt{3}}\)
- B. \(\frac{82}{3}\)
- C. 1
- D. \(9 + \sqrt{3}\)
Theo định lý Vi-ét cho phương trình logarit: \(\log_2 (x_1 x_2) = 1 \Rightarrow x_1 x_2 = 2\)
Vì \(OA \perp OB\) nên: \(x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0 \Rightarrow y_1 y_2 = -2\)
Xét phương trình mũ: \(3^{y_1} \cdot 3^{y_2} = (-\sqrt{3})^7 \Rightarrow 3^{y_1 + y_2} = 3^{7/2} \Rightarrow y_1 + y_2 = \frac{7}{2}\)
Giải hệ: \(\begin{cases} y_1 + y_2 = \frac{7}{2} \\ y_1 y_2 = -2 \end{cases}\)
Ta được nghiệm: \(y_1 = -\frac{1}{2}\), \(y_2 = 4\)
Tính \(m = 3^{y_1} + 3^{y_2} = 3^{-1/2} + 3^4 = \frac{1}{\sqrt{3}} + 81\)
Vậy đáp án đúng là A.
Câu 65:
Cho \(\left( \sqrt{x^2 +1} + x \right)^{2025} = 2025\), giá trị của biểu thức \(\log_{2025} \left( \sqrt{x^2 +1} - x \right)\) là:
- A. -1
- B. \(-\frac{1}{2025}\)
- C. \(\frac{1}{2025}\)
- D. -2025
Từ giả thiết: \(\left( \sqrt{x^2 +1} + x \right)^{2025} = 2025\)
Lấy logarit cơ số 2025 hai vế:
\(\log_{2025} \left( \sqrt{x^2 +1} + x \right)^{2025} = \log_{2025} 2025\)
\(\Rightarrow 2025 \cdot \log_{2025} \left( \sqrt{x^2 +1} + x \right) = 1\)
\(\Rightarrow \log_{2025} \left( \sqrt{x^2 +1} + x \right) = \frac{1}{2025}\)
Nhận xét: \(\left( \sqrt{x^2 +1} + x \right)\left( \sqrt{x^2 +1} - x \right) = 1\)
\(\Rightarrow \log_{2025} \left( \sqrt{x^2 +1} - x \right) = -\log_{2025} \left( \sqrt{x^2 +1} + x \right) = -\frac{1}{2025}\)
Vậy đáp án đúng là B.
Câu 66:
Tập xác định của hàm số \( y = \left( x^2 - 1 \right)^{-3} \) là:
- A. \((1; +\infty)\)
- B. \((-\infty; 1) \cup (1; +\infty)\)
- C. \(\mathbb{R} \setminus \{ \pm 1 \}\)
- D. \((-\infty; 1)\)
Câu 67:
Cho \(\Delta ABC\) có góc \(A = 105^\circ\), góc \(B = 45^\circ\). Tính \(\frac{AB}{AC}\).
- A. \(\sqrt{6}\)
- B. \(\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
- C. \(\sqrt{2}\)
- D. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Câu 68:
Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = 2\), \(AC = 2\sqrt{2}\), \(\cos(B + C) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). Tính BC
- A. 2
- B. 8
- C. 4
- D. 20
\(\cos(B + C) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \cos(180^\circ - A) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \cos A = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Áp dụng định lý cosin:
\(BC = \sqrt{AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A} = \sqrt{4 + 8 - 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{12 - 8} = 2\)
Vậy đáp án đúng là A.
Câu 69:
Phương trình \(\sin 2x = \cos x\) có bao nhiêu nghiệm thuộc \([0; 2\pi]\)?
- A. 4
- B. 2
- C. 6
- D. 3
\(\sin 2x = \cos x \Leftrightarrow 2\sin x \cos x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \cos x(2\sin x - 1) = 0\)
\(\Leftrightarrow \begin{cases} \cos x = 0 \\ \sin x = \frac{1}{2} \end{cases}\)
Trong \([0; 2\pi]\), các nghiệm là:
\(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}\)
Vậy có 4 nghiệm (đáp án A).
Câu 70:
Đồ thị hàm số nào không có đường tiệm cận ngang?
- A. \( \frac{2x}{\sqrt{x^2 - 1}} \)
- B. \( \frac{1}{x^2 + 1} \)
- C. \( \frac{\sqrt{2025 - x^2}}{x} \)
- D. \( \frac{x + 2025}{x - 2024} \)
Câu 71:
Đồ thị hàm số \( f(x) \) có 3 đường tiệm cận đứng và 1 đường tiệm cận ngang. Hỏi đồ thị hàm số:
\( g(x) = f(x) \cdot \frac{\sqrt{x^6 - 1}}{x^2 - 4} \) có tối đa bao nhiêu đường tiệm cận?
- A. 4
- B. 6
- C. 7
- D. 5
\[ f(x) = \frac{x^2 + 1}{(x-a)(x-b)(x-c)} \]
Thì đồ thị \( g(x) = f(x) \cdot \frac{\sqrt{x^6 - 1}}{x^2 - 4} \) có thể có nhiều nhất 5 tiệm cận đứng và 2 tiệm cận ngang.
Câu 72:
Cho \( M = \lim\limits_{x \to 1} (x^2 - 2x) \) và \( N = \lim\limits_{x \to 1} \frac{x^2 - x}{1 - x} \). Kết luận nào đúng?
- A. \( M = -N \)
- B. \( M = N \)
- C. \( M > N \)
- D. \( M < N \)
Dựa vào thông tin sau, trả lời các câu hỏi 73, 74.
Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): \( x - 2y - z - 12 = 0 \) và điểm \( A(a; -4; -4) \).
Câu 73:
Khi \( a = 1 \) thì phương trình mặt phẳng \( Q \) đi qua \( A \) và song song với \( (P) \) có phương trình là:
- A. \( x - 2y - z - 13 = 0 \)
- B. \( x - 2y - z - 10 = 0 \)
- C. \( x - 2y - z + 13 = 0 \)
- D. \( x - 2y - z + 10 = 0 \)
Câu 74:
Biết khoảng cách từ \( A \) đến mặt phẳng \( (P) \) bằng 1. Khi đó, giá trị của \( a^2 \) là
- A. 6
- B. 5
- C. 8
- D. 7
Câu 75-76:
Cho \( u_n \) là một cấp số nhân vô hạn với công bội dương có:
\[ u_6 = \frac{1}{8}, \quad \frac{u_5 - u_1}{u_3 - u_1} = \frac{5}{4} \]
Câu 75:
Tổng \( u_1 \) và công bội của cấp số nhân trên là:
- A. \(\frac{9}{2}\)
- B. \(\frac{3}{2}\)
- C. \(\frac{7}{4}\)
- D. \(\frac{5}{4}\)
\(\frac{u_5 - u_1}{u_3 - u_1} = \frac{q^4 - 1}{q^2 - 1} = q^2 + 1 = \frac{5}{4} \Rightarrow q = \frac{1}{2}\)
\(u_6 = u_1 q^5 \Rightarrow \frac{1}{8} = u_1 \left(\frac{1}{2}\right)^5 \Rightarrow u_1 = 4\)
Tổng \(u_1 + q = 4 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2}\)
Câu 76:
Đặt dãy số \( v_n = (u_n)^2 \). Tổng các số hạng của dãy số \( v_n \) bằng:
- A. \(\frac{32}{2}\)
- B. \(\frac{64}{3}\)
- C. 32
- D. 64
\(v_n\) là cấp số nhân với \(v_1 = (u_1)^2 = 16\), công bội \(q' = q^2 = \frac{1}{4}\)
Tổng: \(S = \frac{v_1}{1 - q'} = \frac{16}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{64}{3}\)
Câu 77-78:
Một công ty cần thuê xe chở ít nhất 140 người và 9 tấn hàng. Có 2 loại xe:
- Xe A: 20 người/0.6 tấn, giá 4 triệu
- Xe B: 10 người/1.5 tấn, giá 3 triệu
Câu 77:
Tổng chi phí thuê xe được xác định bởi biểu thức:
- A. \( x + 3y \)
- B. \( 3x + y \)
- C. \( 4x + 3y \)
- D. \( 2x + 3y \)
Câu 78:
Số xe cần thuê để đạt yêu cầu với chi phí thấp nhất là:
- A. 4A, 5B
- B. 5A, 4B
- C. 10A, 2B
- D. 10A, 9B
Thử các phương án:
- B. 5A + 4B: 140 người, 9 tấn, chi phí 32 triệu → Tối ưu
- Các phương án khác không đủ điều kiện hoặc chi phí cao hơn
Đáp án: B.
Câu 79-81:
Cho tam giác ABC với:
- Điểm A(0;5)
- Trung tuyến CM: \(2x - y = 1\)
- Trung tuyến BN: \(x + y = 2\)
Câu 79:
Toạ độ trọng tâm G của \(\triangle ABC\) là:
- A. (0;2)
- B. (0;0)
- C. (1;1)
- D. (2;3)
Giải hệ phương trình:
\(\begin{cases} 2x - y = 1 \\ x + y = 2 \end{cases}\)
Ta được \(x = 1\), \(y = 1\). Vậy \(G(1;1)\).
Đáp án: C.
Câu 80:
Tổng khoảng cách từ A đến BN, CM xấp xỉ với:
- A. 4,8
- B. 5,1
- C. 3,7
- D. 4,2
Khoảng cách từ A(0;5) đến:
BN: \(\frac{|0 + 5 - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}\)
CM: \(\frac{|2\cdot0 - 5 - 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{6}{\sqrt{5}}\)
Tổng: \(\approx 4.8\)
Đáp án: A.
Câu 81:
Gọi \(B(x_B;y_B)\), tính \(x_B + y_B\):
- A. 2
- B. -3
- C. 4
- D. -1
M là trung điểm AB: \(M\left(\frac{x_B}{2}, \frac{5 + y_B}{2}\right) \in CM\)
Thay vào CM: \(2\cdot\frac{x_B}{2} - \frac{5 + y_B}{2} = 1\)
Kết hợp \(B \in BN\): \(x_B + y_B = 2\)
Giải hệ được \(B(3;-1)\) ⇒ \(x_B + y_B = 2\)
Đáp án: A.
Câu 82-84:
Rạp chiếu có 320 ghế được đánh số từ A-P (16 hàng) và 1-20 (số thứ tự). Vé được phát ngẫu nhiên cho 320 học sinh.
Câu 82:
Xác suất An nhận vé tốt (hàng G-H-I-J, số 13-17):
- A. 0.0125
- B. 0.0625
- C. 0.015
- D. 0.05
Số ghế tốt: 4 hàng × 5 số = 20
Xác suất: \( \frac{20}{320} = 0.0625 \)
Đáp án: B
Câu 83:
Xác suất ít nhất 1 trong 2 bạn nhận vé tốt:
- A. 0.1289
- B. 0.0039
- C. 0.1211
- D. 0.1213
Xác suất không có vé tốt: \( \frac{300}{320} \times \frac{299}{319} \approx 0.8789 \)
Xác suất cần tìm: \( 1 - 0.8789 \approx 0.1211 \)
Đáp án: C
Câu 84:
Xác suất Bình ngồi cạnh/trước/sau An:
- A. 0.059
- B. 0.0474
- C. 0.0118
- D. 0.0237
Tổng cách xếp cạnh nhau:
Cùng hàng: \( 16 \times 19 \times 2 = 608 \)
Cùng cột: \( 20 \times 15 \times 2 = 600 \)
Xác suất: \( \frac{1208}{320 \times 319} \approx 0.0118 \)
Đáp án: C
Câu 85-87:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với \( AB = a \), \( AD = 2a \). SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \( SA = \sqrt{2}a \).
Câu 85:
Thể tích khối chóp S.ABCD là:
- A. \( \frac{2\sqrt{2}}{3}a^3 \)
- B. \( \frac{1}{3}a^3 \)
- C. \( \frac{\sqrt{2}}{3}a^3 \)
- D. \( \frac{\sqrt{6}}{3}a^3 \)
Diện tích đáy: \( S_{ABCD} = AB \times AD = a \times 2a = 2a^2 \)
Thể tích: \( V = \frac{1}{3}SA \times S_{ABCD} = \frac{1}{3} \times \sqrt{2}a \times 2a^2 = \frac{2\sqrt{2}}{3}a^3 \)
Đáp án: A
Câu 86:
Góc hợp bởi giữa SC và mặt phẳng đáy là:
- A. 57,16°
- B. 24,09°
- C. 37,76°
- D. 32,31°
Tính AC: \( AC = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{5}a \)
Góc SCA: \( \tan \theta = \frac{SA}{AC} = \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{5}a} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \)
Tính góc: \( \theta \approx 37.76° \)
Đáp án: C
Câu 87:
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là:
- A. \(\frac{\sqrt{5}}{3}a\)
- B. \(\frac{\sqrt{10}}{5}a\)
- C. \(\frac{\sqrt{6}}{3}a\)
- D. \(\frac{\sqrt{15}}{5}a\)
Câu 88:
Mệnh đề nào đúng về hàm số \( f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1} \)?
- A. Hàm số nghịch biến trên \((-\infty, -1)\) và \((-1, +\infty)\)
- B. Hàm số nghịch biến trên \((-\infty, -1)\cup (-1, +\infty)\)
- C. Hàm số đồng biến trên \((-\infty, -1)\) và \((-1, +\infty)\)
- D. Hàm số đồng biến trên \((-\infty, -1)\cup (-1, +\infty)\)
Câu 89:
Khoảng cách từ O đến AB (A, B là giao điểm của tiệm cận với trục tọa độ):
- A. \(\frac{\sqrt{5}}{3}\)
- B. \(\frac{2}{\sqrt{5}}\)
- C. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
- D. \(\frac{3}{\sqrt{7}}\)
Tiệm cận đứng \( x = -1 \) cắt Oy tại \( A(0, -1) \), tiệm cận ngang \( y = 2 \) cắt Ox tại \( B(2, 0) \).
Phương trình AB: \( \frac{x}{2} + \frac{y}{-1} = 1 \).
Khoảng cách từ O đến AB: \( \frac{2}{\sqrt{5}} \). Đáp án: B.
Câu 90:
Tổng hoành độ hai điểm trên (C) có tiếp tuyến song song với \( y = x \):
- A. -1
- B. -3
- C. -2
- D. 2
Giải \( f'(x_0) = 1 \Rightarrow x_0 = -1 \pm \sqrt{3} \). Tổng hoành độ: \( -2 \).
Đáp án: C.