ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC TOÁN QUỐC TẾ
NĂM 2025
Thời gian làm bài: 270 phút.
Ngày thi thứ nhất (25/3/2025).
Bài 1.
(7 điểm)
Tìm tất cả các hàm số \( f: \mathbb{Q}^+ \to \mathbb{Q}^+ \) sao cho
\[ f(x)f(y) = \left( \sqrt{f(x)} + \sqrt{f(y)} \right)^2 \]
với mọi \( x, y \in \mathbb{Q}^+ \).
Bài 2.
(7 điểm)
Cho tam giác \( ABC \) nhọn không cân có trực tâm \( H \). Gọi \( D, E, F \) lần lượt là
các điểm đối xứng với \( H \) qua \( BC, CA, AB \) và gọi \( A', B', C' \) lần lượt là các điểm đối xứng với
\( A, B, C \) cũng qua \( BC, CA, AB \). Gọi \( S \) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \( A'B'C' \) và
\( H' \) là trực tâm của tam giác \( DEF \). Gọi \( J \) là tâm đường tròn đi qua ba hình chiếu của \( H \) lên
các đường thẳng \( B'C', C'A', A'B' \). Chứng minh rằng \( HJ \) song song với \( HS \).
Bài 3.
(7 điểm)
Trong một chương trình Trại hè về Toán ứng dụng, có tổng cộng \( 8m + 1 \) bạn
nam (với \( m > 5 \)) và một số bạn nữ. Biết rằng mỗi bạn nữ thì quen đúng 3 bạn nam và 2 bạn
nam tuỳ ý thì quen chung đúng 1 bạn nữ. Gọi \( n \) là số lớn nhất các bạn nữ có thể chọn trong
trại hè mà mỗi bạn nam thì quen không quá 1 bạn nữ. Chứng minh rằng \( n \geq 2m + 1 \).
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC TOÁN QUỐC TẾ
NĂM 2025
Thời gian làm bài: 270 phút.
Ngày thi thứ hai (26/3/2025).
Bài 4.
(7 điểm)
Tìm tất cả số nguyên dương \( k \) sao cho tồn tại vô hạn số nguyên dương \( n \)
thoả mãn \( \binom{(2025+k)n}{kn+1} \) không chia hết cho \( kn+1 \).
Bài 5.
(7 điểm)
Cho bảng ô vuông \( n \times n \) có các hàng và cột được đánh số từ 1 đến \( n \), còn ô
vuông ở hàng \( i \), cột \( j \) ký hiệu là ô \( (i, j) \). Một tập con \( A \) các ô vuông của bảng là "tốt" nếu
xét hai ô tuỳ ý \( (x_1, y) \), \( (x_2, y) \) thuộc tập \( A \) thì các ô \( (u, v) \) mà \( x_1 < u \leq x_2 \), \( v < y \) hoặc
\( x_1 \leq u < x_2 \), \( v > y \) đều không thuộc \( A \). Tìm số tập con tốt nhỏ nhất đôi một rời nhau để mỗi
ô của bảng đều thuộc đúng một tập con.
Bài 6.
(7 điểm)
Với số nguyên tố \( p \) có dạng \( 4k + 3 \), \( k \in \mathbb{Z}^+ \), xét đa thức sau đây:
\[ Q(x) = px^{2p} - x^{2p-1} + p^2x^{3} - px^{p+1} + 2(p^2+1)x^{p} - px^{p-1} + p^2x^{2} - x + p \]
Tìm tất cả các cặp đa thức hệ số nguyên có thứ tự \( f(x) \), \( g(x) \) sao cho
\[ Q(x) = f(x)g(x) \]
