Tổng hợp key Windows 8, Windows 10, Windows 11, Office 2019 ProPlus, Office 2016 ProPlus, Office 2013 ProPlus tại đây!

Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Newton (Niu-tơn), đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Đại số và Giải tích 11: Tổ hợp và Xác suất.

1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
+ Áp dụng khai triển \({(a + b)^n}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^{n – k}}{b^k}.\)
+ Xác định số hạng tổng quát \(C_n^k{a^{n – k}}{b^k}\), suy ra hệ số tổng quát là một dãy số theo \({a_k}.\)
+ Xét tính tăng giảm của \({a_k}\) từ đó tìm \(k\) tương ứng.
+ Suy ra hệ số lớn nhất trong khai triển.

2. BÀI TẬP ÁP DỤNG 
Bài 1: Cho khai triển: \({(1 + 2x)^n}\) \( = {a_0} + {a_1}x + \ldots + {a_n}{x^n}\), trong đó \(n \in {N^*}\) và các hệ số \({a_0}\), \({a_1}\), …, \({a_n}\) thỏa mãn \({a_0} + \frac{{{a_1}}}{2} + \ldots + \frac{{{a_n}}}{{{2^n}}} = 4096.\) Tìm số lớn nhất trong các số \({a_0}\), \({a_1}\), …, \({a_n}.\)

Lời giải:
Ta có: \({(1 + 2x)^n}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {2^k}{x^k}.\)
Chọn \(x = \frac{1}{2}\), ta được: \(\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} = {2^n}.\)
Suy ra: \({a_0} + \frac{{{a_1}}}{2} + \ldots + \frac{{{a_n}}}{{{2^n}}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} \) \( \Leftrightarrow {2^n} = 4096\) \( \Leftrightarrow n = 12.\)
Xét số tổng quát trong khai triển là: \({a_k} = C_{12}^k{2^k}.\)
Xét dãy số \({a_k} = C_{12}^k{.2^k}\), ta có: \({a_{k + 1}} = C_{12}^{k + 1}{.2^{k + 1}}.\)
Xét \({a_k} – {a_{k + 1}} > 0\) \( \Leftrightarrow C_{12}^k{.2^k} – C_{12}^{k + 1}{.2^{k + 1}} > 0.\)
\( \Leftrightarrow \frac{{12!{2^k}}}{{k!(12 – k)!}} – \frac{{12!{2^{k + 1}}}}{{(k + 1)!(11 – k)!}} > 0\) \( \Leftrightarrow \frac{{12!{2^k}}}{{k!(11 – k)!}}\left( {\frac{1}{{12 – k}} – \frac{2}{{k + 1}}} \right) > 0.\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{12 – k}} – \frac{2}{{k + 1}} > 0\) \( \Leftrightarrow 3k – 23 > 0\) \( \Leftrightarrow k > \frac{{23}}{3} \approx 7,7.\)
Do đó \({a_8} > {a_9} > \ldots > {a_{12}}.\)
Tương tự: \({a_k} – {a_{k + 1}} < 0\) \( \Leftrightarrow k < \frac{{23}}{3}.\)
Do đó \({a_8} > {a_7} > \ldots > {a_0}.\)
Vậy \(\max \left( {{a_0},{a_1}, \ldots ,{a_n}} \right) = {a_8}\) \( = C_{12}^8{2^8} = 126720.\)

Bài 2: Tìm \(k \in \{ 0;1;2; \ldots ;2005\} \) sao cho \(C_{2005}^k\) đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải:
Ta có: \(C_{2005}^k\) lớn nhất \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{C_{2005}^k \ge C_{2005}^{k + 1}}\\
{C_{2005}^k \ge C_{2005}^{k – 1}}
\end{array}} \right.\) \((\forall k \in \{ 0;1;2; \ldots ;2005\} ).\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{2005!}}{{k!(2005 – k)!}} \ge \frac{{2005!}}{{(k + 1)!(2004 – k)!}}}\\
{\frac{{2005!}}{{k!(2005 – k)!}} \ge \frac{{2005!}}{{(k – 1)!(2006 – k)!}}}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{1}{{2005 – k}} \ge \frac{1}{{k + 1}}}\\
{\frac{1}{k} \ge \frac{1}{{2006 – k}}}
\end{array}} \right..\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{k + 1 \ge 2005 – k}\\
{2006 – k \ge k}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{k \ge 1002}\\
{k \le 1003}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow 1002 \le k \le 1003.\)
Vậy \(C_{2005}^k\) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{k = 1002}\\
{k = 1003}
\end{array}} \right..\)

Bài 3: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Newton của \({\left( {\frac{1}{3} + \frac{2}{3}x} \right)^{15}}.\)

Lời giải:
Ta có: \({\left( {\frac{1}{3} + \frac{2}{3}x} \right)^{15}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{15 – k}}\left( {\frac{2}{3}} \right){x^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} \frac{{{2^k}}}{{{3^{15}}}}{x^k}.\)
Gọi \({a_k}\) là hệ số của \({x^k}\) trong khai triển, với \(k = \overline {0..15} .\)
Xét dãy số \({a_k} = \frac{1}{{{3^{15}}}}C_{15}^k{2^k}.\)
Ta có: \({a_{k + 1}} = \frac{1}{{{3^{15}}}}C_{15}^{k + 1}{.2^{k + 1}}.\)
Suy ra: \({a_k} < {a_{k + 1}}\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{{{3^{15}}}}C_{15}^k{.2^k} < \frac{1}{{{3^{15}}}}C_{15}^{k + 1}{.2^{k + 1}}\) \( \Leftrightarrow \frac{{15!}}{{k!(15 – k)!}} < \frac{{15!}}{{(k + 1)!(14 – k)!}}.2.\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{15 – k}} < \frac{2}{{k + 1}}\) \( \Leftrightarrow k + 1 < 30 – 2k\) \( \Leftrightarrow k < \frac{{29}}{3}.\)
Vậy \({a_0} < {a_1} < {a_2} < \ldots < {a_{10}}.\)
Ngược lại: \({a_k} > {a_{k + 1}}\) \( \Leftrightarrow k > \frac{{29}}{3}.\)
Suy ra: \({a_{10}} > {a_{11}} > {a_{12}} > \ldots > {a_{15}}.\)
Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển trên là: \({a_{10}} = \frac{{{2^{10}}}}{{{3^{15}}}}C_{15}^{10} = 3003.\frac{{{2^{10}}}}{{{3^{15}}}}.\)

Bài 4: Trong khai triển của \({\left( {\frac{1}{3} + \frac{2}{3}x} \right)^{10}}\) thành đa thức \({a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_{10}}{x^{10}}\) \(\left( {{a_k} \in R} \right).\) Tìm hệ số \({a_k}\) lớn nhất \((0 \le k \le 10).\)

Lời giải:
Ta có: \({a_{k – 1}} \le {a_k}\) \( \Leftrightarrow C_{10}^{k – 1}{.2^{k – 1}} \le C_{10}^k{.2^k}\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{{(k – 1)!(11 – k)!}} \le \frac{2}{{k!(10 – k)!}}.\)
\( \Leftrightarrow k \le 2(11 – k)\) \( \Leftrightarrow k \le \frac{{22}}{3}.\)
Vậy hệ số \({a_7}\) là lớn nhất: \({a_7} = \frac{1}{{{3^{10}}}}.C_{10}^7{.2^7}.\)

Bài 5: Cho \(n\) là số nguyên dương cố định. Chứng minh rằng \(C_n^k\) lớn nhất nếu \(k\) là một số tự nhiên lớn nhất không vượt quá \(\frac{{n + 1}}{2}.\)

Lời giải:
Ta có: \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n – k)!}}\) và \(C_n^{k – 1} = \frac{{n!}}{{(k – 1)!(n – k + 1)!}}\) \( \Rightarrow \frac{{C_n^k}}{{C_n^{k – 1}}} = \frac{{n – k + 1}}{k}.\)
Do đó: \(C_n^k > C_n^{k – 1}\) \( \Leftrightarrow \frac{{n – k + 1}}{k} > 1\) \( \Leftrightarrow k < \frac{{n + 1}}{2}.\)
Suy ra \(C_n^k\) lớn nhất nếu \(k\) là số tự nhiên lớn nhất không vượt quá \(\frac{{n + 1}}{2}.\)

Bài 6: Khai triển đa thức \(P(x) = {(1 + 2x)^{12}}\) thành dạng \(P(x) = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_{12}}{x^{12}}.\) Hãy tìm \(\max \left( {{a_1},{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{12}}} \right).\)

Lời giải:
Ta có: \(P(x) = {(1 + 2x)^{12}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} .{(2x)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {.2^k}.{x^k}.\)
Do đó: \({a_k} = C_{12}^k{.2^k}.\)
Xét dãy số \({a_k} = C_{12}^k{.2^k}\), \(k = \overline {1..12} .\)
Ta có: \({a_{k + 1}} = C_{12}^{k + 1}{.2^{k + 1}}.\)
Suy ra \({a_k} < {a_{k + 1}}\) \( \Leftrightarrow C_{12}^k{.2^k} < C_{12}^{k + 1}{.2^{k + 1}}\) \( \Leftrightarrow \frac{{12!}}{{k!(12 – k)!}}{.2^k} < \frac{{12!}}{{(k + 1)!(11 – k)!}}{.2^{k + 1}}.\)
\( \Leftrightarrow \frac{{12!}}{{k!(12 – k).(11 – k)!}}{.2^k}\) \( < \frac{{12!}}{{(k + 1).k!(11 – k)!}}{.2.2^k}\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{{12 – k}} < \frac{2}{{k + 1}}\) \( \Leftrightarrow k < \frac{{23}}{3}.\)
Suy ra: \({a_0} < {a_1} < {a_2} < \ldots < {a_8}.\)
Ngược lại: \({a_k} > {a_{k + 1}}\) \( \Leftrightarrow k > \frac{{23}}{3}\) suy ra: \({a_8} > {a_9} > {a_{10}} > {a_{11}} > {a_{12}}.\)
Vậy với mọi \(k = \overline {1..12} \), \({a_k} \le {a_8}.\)
Vậy \(\max \left( {{a_1},{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{12}}} \right) = {a_8}\) \( = C_{12}^8{.2^8} = 126720.\)

Bài 7: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển: \({(3 + 2x)^8}.\)

Lời giải:
Ta có: \({(3 + 2x)^8}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} {3^{8 – k}}{2^k}{x^k}.\)
Hệ số tổng quát trong khai triển là: \({a_k} = C_8^k{3^{8 – k}}{2^k}.\)
Xét dãy số \({a_k} = C_8^k{3^{8 – k}}{2^k}\), \(k = \overline {0..8} .\)
Ta có: \({a_{k + 1}} = C_8^{k + 1}{3^{7 – k}}{2^{k + 1}}.\)
Xét \({a_k} – {a_{k + 1}} > 0\) \( \Leftrightarrow C_8^k{3^{8 – k}}{2^k} – C_8^{k + 1}{3^{7 – k}}{2^{k + 1}} > 0.\)
\( \Leftrightarrow {3^{7 – k}}{2^k}\left( {3C_8^k – 2C_8^{k + 1}} \right) > 0\) \( \Leftrightarrow 3.\frac{{8!}}{{k!(8 – k)!}} – 2.\frac{{8!}}{{(k + 1)!(7 – k)!}} > 0.\)
\( \Leftrightarrow \frac{{8!}}{{k!(7 – k)!}}\left( {\frac{3}{{8 – k}} – \frac{2}{{k + 1}}} \right) > 0\) \( \Leftrightarrow \frac{{3k – 3 – 16 + 2k}}{{(8 – k)(k + 1)}} > 0\) \( \Leftrightarrow k > \frac{{19}}{5}.\)
Suy ra: \({a_4} > {a_5} > {a_6} > {a_7} > {a_8}.\)
Ngược lại: \({a_k} – {a_{k + 1}} < 0\) \( \Leftrightarrow k < \frac{{19}}{5}.\)
Suy ra: \({a_4} > {a_3} > {a_2} > {a_1} > {a_0}.\)
Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là: \({a_4} = C_8^4{3^4}{2^4} = 90720.\)

Bài 8: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của \({(2 + 3x)^{2n}}\), trong đó \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn: \(C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3\) \( + C_{2n + 1}^5 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}\) \( = 1024.\)

Lời giải:
Xét khai triển: \({(1 + x)^{2n + 1}}\) \( = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1x\) \( + C_{2n + 1}^2{x^2} + C_{2n + 1}^3{x^3}\) \( + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}{x^{2n + 1}}.\)
Chọn \(x= 1\), ta được: \(C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1\) \( + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^3\) \( + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{2n + 1}}\) \((*).\)
Chọn \(x = – 1\), ta được: \(C_{2n + 1}^0 – C_{2n + 1}^1\) \( + C_{2n + 1}^2 – C_{2n + 1}^3\) \( + \ldots – C_{2n + 1}^{2n + 1} = 0.\)
Từ \((*)\) suy ra: \(2\left( {C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + C_{2n + 1}^5 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}} \right)\) \( = {2^{2n + 1}}.\)
\( \Leftrightarrow C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + C_{2n + 1}^5 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{2n}}.\)
Theo giả thiết ta có: \({2^{2n}} = 1024 = {2^{10}}\) \( \Leftrightarrow n = 5.\)
Từ đó suy ra: \({(2 + 3x)^{2n}}\) \( = {(2 + 3x)^{10}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {2^{10 – k}}{(3x)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {{3^k}} .C_{10}^k{2^{10 – k}}{x^k}.\)
Xét dãy số \({a_k} = {3^k}.C_{10}^k{2^{10 – k}}\), \(k = \overline {0..10} .\)
Ta có: \({a_{k + 1}} = {3^{k + 1}}.C_{10}^{k + 1}{2^{9 – k}}.\)
Ta có: \({a_k} > {a_{k + 1}}\) \( \Leftrightarrow {a_k} – {a_{k + 1}} > 0\) \( \Leftrightarrow {3^k}.C_{10}^k{2^{10 – k}} – {3^{k + 1}}.C_{10}^{k + 1}{2^{9 – k}} > 0.\)
\( \Leftrightarrow {3^k}{2^{9 – k}}\left( {2C_{10}^k – 3C_{10}^{k + 1}} \right) > 0\) \( \Leftrightarrow 2.\frac{{10!}}{{k!(10 – k)!}} – 3.\frac{{10!}}{{(k + 1)!(9 – k)!}} > 0.\)
\( \Leftrightarrow \frac{{10!}}{{k!(9 – k)!}}\left( {\frac{2}{{10 – k}} – \frac{3}{{k + 1}}} \right) > 0\) \( \Leftrightarrow \frac{{10!}}{{k!(9 – k)!}}\left( {\frac{{5k – 28}}{{(10 – k)(k + 1)}}} \right) > 0\) \( \Leftrightarrow k > \frac{{28}}{5}.\)
Suy ra: \({a_6} > {a_7} > \ldots > {a_{10}}.\)
Ngược lại: \({a_k} < {a_{k + 1}}\) \( \Leftrightarrow k < \frac{{28}}{5}.\)
Suy ra: \({a_6} > {a_7} > … > {a_{10}}.\)
Ngược lại: \({a_k} < {a_{k + 1}}\) \( \Leftrightarrow k < \frac{{28}}{5}.\)
Suy ra: \({a_6} > {a_5} > … > {a_0}.\)
Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là: \({a_6} = {3^6}.C_{16}^6{2^4} = 2449440.\)

Bài 9: Tìm hệ số có giá trị lớn nhất của khai triển: \({(1 + x)^n}\), biết rằng tổng các hệ số bằng \(4096.\)

Lời giải:
Xét khai triển \({(1 + x)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {x^k}.\)
Chọn \(x = 1\), ta được: \(\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} = {2^n}.\)
Theo giả thiết ta có: \({2^n} = 4096\) \( \Leftrightarrow n = 12.\)
Suy ra: \({(1 + x)^n}\) \( = {(1 + x)^{12}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {x^k}.\)
Xét dãy số \({a_k} = C_{12}^k.\)
Ta có: \({a_k} \ge {a_{k + 1}}\) \( \Leftrightarrow C_{12}^k \ge C_{12}^{k + 1}\) \( \Leftrightarrow \frac{{12!}}{{k!(12 – k)!}} \ge \frac{{12!}}{{(k + 1)!(11 – k)!}}.\)
\( \Leftrightarrow \frac{{12!}}{{k!(12 – k)(11 – k)!}} \ge \frac{{12!}}{{(k + 1)k!(11 – k)!}}\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{{(12 – k)}} \ge \frac{1}{{(k + 1)}}\) \( \Leftrightarrow k \ge \frac{{13}}{2}.\)
Suy ra: \({a_7} \ge {a_8} \ge \ldots \ge {a_{12}}.\)
Ngược lại: \({a_k} \le {a_{k + 1}}\) \( \Leftrightarrow k \le \frac{{13}}{2}.\)
Suy ra: \({a_7} \ge {a_6} \ge \ldots \ge {a_0}.\)
Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là: \({a_7} = C_{12}^7 = 792.\)

Đăng nhận xét

About the Author

Ngày hôm nay cho tôi buồn một lúc
Sau nhiều năm bươn trải kiếp con người
Cố gượng cười mà lòng có thảnh thơi
Thèm được khóc như cái thời nhỏ dại
Oops!
It seems there is something wrong with your internet connection. Please connect to the internet and start browsing again.
AdBlock Detected!
We have detected that you are using adblocking plugin in your browser.
The revenue we earn by the advertisements is used to manage this website, we request you to whitelist our website in your adblocking plugin.