Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Newton (Niu-tơn), đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Đại số và Giải tích 11: Tổ hợp và Xác suất.

1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
+ Áp dụng khai triển $(a+b{)}^n$ $=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n–k}{b}^k.$
+ Xác định số hạng tổng quát $C_n^k{a}^{n–k}{b}^k$, suy ra hệ số tổng quát là một dãy số theo $a_k.$
+ Xét tính tăng giảm của $a_k$ từ đó tìm $k$ tương ứng.
+ Suy ra hệ số lớn nhất trong khai triển.

2. BÀI TẬP ÁP DỤNG 
Bài 1: Cho khai triển: $(1+2x{)}^n$ $=a_0+a_{1}x+\dots +a_n{x}^n$, trong đó $n\in N^{\ast }$ và các hệ số $a_0$, $a_1$, …, $a_n$ thỏa mãn $a_0+\frac{a_1}{2}+\dots +\frac{a_n}{2^n}=4096.$ Tìm số lớn nhất trong các số $a_0$, $a_1$, …, $a_n.$

Lời giải:
Ta có: $(1+2x{)}^n$ $=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{2}^k{x}^k.$
Chọn $x=\frac{1}{2}$, ta được: $\sum _{k=0}^n{C}_n^k=2^n.$
Suy ra: $a_0+\frac{a_1}{2}+\dots +\frac{a_n}{2^n}$ $=\sum _{k=0}^n{C}_n^k$ $\iff 2^n=4096$ $\iff n=12.$
Xét số tổng quát trong khai triển là: $a_k=C_{12}^k{2}^k.$
Xét dãy số $a_k=C_{12}^k{.2}^k$, ta có: $a_{k+1}=C_{12}^{k+1}{.2}^{k+1}.$
Xét $a_k–a_{k+1}>0$ $\iff C_{12}^k{.2}^k–C_{12}^{k+1}{.2}^{k+1}>0.$
$\iff \frac{12!2^k}{k!(12–k)!}–\frac{12!2^{k+1}}{(k+1)!(11–k)!}>0$ $\iff \frac{12!2^k}{k!(11–k)!}\left(\frac{1}{12–k}–\frac{2}{k+1}\right)>0.$
$\iff \frac{1}{12–k}–\frac{2}{k+1}>0$ $\iff 3k–23>0$ $\iff k>\frac{23}{3}\approx 7,7.$
Do đó $a_8>a_9>\dots >a_{12}.$
Tương tự: $a_k–a_{k+1}<0$ $\iff k<\frac{23}{3}.$
Do đó $a_8>a_7>\dots >a_0.$
Vậy $max\left(a_0,a_1,\dots ,a_n\right)=a_8$ $=C_{12}^8{2}^8=126720.$

Bài 2: Tìm $k\in \{0;1;2;\dots ;2005\}$ sao cho $C_{2005}^k$ đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải:
Ta có: $C_{2005}^k$ lớn nhất $\iff \{\begin{array}{l}{C}_{2005}^k\ge C_{2005}^{k+1}\\ C_{2005}^k\ge C_{2005}^{k–1}\end{array}$ $(\mathrm{\forall }k\in \{0;1;2;\dots ;2005\}).$
$\iff \{\begin{array}{l}\frac{2005!}{k!(2005–k)!}\ge \frac{2005!}{(k+1)!(2004–k)!}\\ \frac{2005!}{k!(2005–k)!}\ge \frac{2005!}{(k–1)!(2006–k)!}\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}\frac{1}{2005–k}\ge \frac{1}{k+1}\\ \frac{1}{k}\ge \frac{1}{2006–k}\end{array}.$
$\iff \{\begin{array}{l}k+1\ge 2005–k\\ 2006–k\ge k\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}k\ge 1002\\ k\le 1003\end{array}$ $\iff 1002\le k\le 1003.$
Vậy $C_{2005}^k$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi $[\begin{array}{l}k=1002\\ k=1003\end{array}.$

Bài 3: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Newton của ${\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}x\right)}^{15}.$

Lời giải:
Ta có: ${\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}x\right)}^{15}$ $=\sum _{k=0}^{15}{C}_{15}^k{\left(\frac{1}{3}\right)}^{15–k}\left(\frac{2}{3}\right)x^k$ $=\sum _{k=0}^{15}{C}_{15}^k\frac{2^k}{3^{15}}{x}^k.$
Gọi $a_k$ là hệ số của $x^k$ trong khai triển, với $k=\overline{0..15}.$
Xét dãy số $a_k=\frac{1}{3^{15}}{C}_{15}^k{2}^k.$
Ta có: $a_{k+1}=\frac{1}{3^{15}}{C}_{15}^{k+1}{.2}^{k+1}.$
Suy ra: $a_k<a_{k+1}$ $\iff \frac{1}{3^{15}}{C}_{15}^k{.2}^k<\frac{1}{3^{15}}{C}_{15}^{k+1}{.2}^{k+1}$ $\iff \frac{15!}{k!(15–k)!}<\frac{15!}{(k+1)!(14–k)!}.2.$
$\iff \frac{1}{15–k}<\frac{2}{k+1}$ $\iff k+1<30–2k$ $\iff k<\frac{29}{3}.$
Vậy $a_0<a_1<a_2<\dots <a_{10}.$
Ngược lại: $a_k>a_{k+1}$ $\iff k>\frac{29}{3}.$
Suy ra: $a_{10}>a_{11}>a_{12}>\dots >a_{15}.$
Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển trên là: $a_{10}=\frac{2^{10}}{3^{15}}{C}_{15}^{10}=3003.\frac{2^{10}}{3^{15}}.$

Bài 4: Trong khai triển của ${\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}x\right)}^{10}$ thành đa thức $a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_{10}{x}^{10}$ $\left(a_k\in R\right).$ Tìm hệ số $a_k$ lớn nhất $(0\le k\le 10).$

Lời giải:
Ta có: $a_{k–1}\le a_k$ $\iff C_{10}^{k–1}{.2}^{k–1}\le C_{10}^k{.2}^k$ $\iff \frac{1}{(k–1)!(11–k)!}\le \frac{2}{k!(10–k)!}.$
$\iff k\le 2(11–k)$ $\iff k\le \frac{22}{3}.$
Vậy hệ số $a_7$ là lớn nhất: $a_7=\frac{1}{3^{10}}.C_{10}^7{.2}^7.$

Bài 5: Cho $n$ là số nguyên dương cố định. Chứng minh rằng $C_n^k$ lớn nhất nếu $k$ là một số tự nhiên lớn nhất không vượt quá $\frac{n+1}{2}.$

Lời giải:
Ta có: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n–k)!}$ và $C_n^{k–1}=\frac{n!}{(k–1)!(n–k+1)!}$ $\Rightarrow \frac{C_n^k}{C_n^{k–1}}=\frac{n–k+1}{k}.$
Do đó: $C_n^k>C_n^{k–1}$ $\iff \frac{n–k+1}{k}>1$ $\iff k<\frac{n+1}{2}.$
Suy ra $C_n^k$ lớn nhất nếu $k$ là số tự nhiên lớn nhất không vượt quá $\frac{n+1}{2}.$

Bài 6: Khai triển đa thức $P(x)=(1+2x{)}^{12}$ thành dạng $P(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_{12}{x}^{12}.$ Hãy tìm $max\left(a_1,a_2,a_3,\dots ,a_{12}\right).$

Lời giải:
Ta có: $P(x)=(1+2x{)}^{12}$ $=\sum _{k=0}^{12}{C}_{12}^k.(2x{)}^k$ $=\sum _{k=0}^{12}{C}_{12}^k{.2}^k.x^k.$
Do đó: $a_k=C_{12}^k{.2}^k.$
Xét dãy số $a_k=C_{12}^k{.2}^k$, $k=\overline{1..12}.$
Ta có: $a_{k+1}=C_{12}^{k+1}{.2}^{k+1}.$
Suy ra $a_k<a_{k+1}$ $\iff C_{12}^k{.2}^k<C_{12}^{k+1}{.2}^{k+1}$ $\iff \frac{12!}{k!(12–k)!}{.2}^k<\frac{12!}{(k+1)!(11–k)!}{.2}^{k+1}.$
$\iff \frac{12!}{k!(12–k).(11–k)!}{.2}^k$ $<\frac{12!}{(k+1).k!(11–k)!}.2{.2}^k$ $\iff \frac{1}{12–k}<\frac{2}{k+1}$ $\iff k<\frac{23}{3}.$
Suy ra: $a_0<a_1<a_2<\dots <a_8.$
Ngược lại: $a_k>a_{k+1}$ $\iff k>\frac{23}{3}$ suy ra: $a_8>a_9>a_{10}>a_{11}>a_{12}.$
Vậy với mọi $k=\overline{1..12}$, $a_k\le a_8.$
Vậy $max\left(a_1,a_2,a_3,\dots ,a_{12}\right)=a_8$ $=C_{12}^8{.2}^8=126720.$

Bài 7: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển: $(3+2x{)}^8.$

Lời giải:
Ta có: $(3+2x{)}^8$ $=\sum _{k=0}^8{C}_8^k{3}^{8–k}{2}^k{x}^k.$
Hệ số tổng quát trong khai triển là: $a_k=C_8^k{3}^{8–k}{2}^k.$
Xét dãy số $a_k=C_8^k{3}^{8–k}{2}^k$, $k=\overline{0..8}.$
Ta có: $a_{k+1}=C_8^{k+1}{3}^{7–k}{2}^{k+1}.$
Xét $a_k–a_{k+1}>0$ $\iff C_8^k{3}^{8–k}{2}^k–C_8^{k+1}{3}^{7–k}{2}^{k+1}>0.$
$\iff 3^{7–k}{2}^k\left(3C_8^k–2C_8^{k+1}\right)>0$ $\iff 3.\frac{8!}{k!(8–k)!}–2.\frac{8!}{(k+1)!(7–k)!}>0.$
$\iff \frac{8!}{k!(7–k)!}\left(\frac{3}{8–k}–\frac{2}{k+1}\right)>0$ $\iff \frac{3k–3–16+2k}{(8–k)(k+1)}>0$ $\iff k>\frac{19}{5}.$
Suy ra: $a_4>a_5>a_6>a_7>a_8.$
Ngược lại: $a_k–a_{k+1}<0$ $\iff k<\frac{19}{5}.$
Suy ra: $a_4>a_3>a_2>a_1>a_0.$
Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là: $a_4=C_8^4{3}^4{2}^4=90720.$

Bài 8: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của $(2+3x{)}^{2n}$, trong đó $n$ là số nguyên dương thỏa mãn: $C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^3$ $+C_{2n+1}^5+\dots +C_{2n+1}^{2n+1}$ $=1024.$

Lời giải:
Xét khai triển: $(1+x{)}^{2n+1}$ $=C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^{1}x$ $+C_{2n+1}^2{x}^2+C_{2n+1}^3{x}^3$ $+\dots +C_{2n+1}^{2n+1}{x}^{2n+1}.$
Chọn $x=1$, ta được: $C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1$ $+C_{2n+1}^2+C_{2n+1}^3$ $+\dots +C_{2n+1}^{2n+1}=2^{2n+1}$ $(\ast ).$
Chọn $x=–1$, ta được: $C_{2n+1}^0–C_{2n+1}^1$ $+C_{2n+1}^2–C_{2n+1}^3$ $+\dots –C_{2n+1}^{2n+1}=0.$
Từ $(\ast )$ suy ra: $2\left(C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^3+C_{2n+1}^5+\dots +C_{2n+1}^{2n+1}\right)$ $=2^{2n+1}.$
$\iff C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^3+C_{2n+1}^5+\dots +C_{2n+1}^{2n+1}=2^{2n}.$
Theo giả thiết ta có: $2^{2n}=1024=2^{10}$ $\iff n=5.$
Từ đó suy ra: $(2+3x{)}^{2n}$ $=(2+3x{)}^{10}$ $=\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k{2}^{10–k}(3x{)}^k$ $=\sum _{k=0}^{10}{3}^k.C_{10}^k{2}^{10–k}{x}^k.$
Xét dãy số $a_k=3^k.C_{10}^k{2}^{10–k}$, $k=\overline{0..10}.$
Ta có: $a_{k+1}=3^{k+1}.C_{10}^{k+1}{2}^{9–k}.$
Ta có: $a_k>a_{k+1}$ $\iff a_k–a_{k+1}>0$ $\iff 3^k.C_{10}^k{2}^{10–k}–3^{k+1}.C_{10}^{k+1}{2}^{9–k}>0.$
$\iff 3^k{2}^{9–k}\left(2C_{10}^k–3C_{10}^{k+1}\right)>0$ $\iff 2.\frac{10!}{k!(10–k)!}–3.\frac{10!}{(k+1)!(9–k)!}>0.$
$\iff \frac{10!}{k!(9–k)!}\left(\frac{2}{10–k}–\frac{3}{k+1}\right)>0$ $\iff \frac{10!}{k!(9–k)!}\left(\frac{5k–28}{(10–k)(k+1)}\right)>0$ $\iff k>\frac{28}{5}.$
Suy ra: $a_6>a_7>\dots >a_{10}.$
Ngược lại: $a_k<a_{k+1}$ $\iff k<\frac{28}{5}.$
Suy ra: $a_6>a_7>\dots >a_{10}.$
Ngược lại: $a_k<a_{k+1}$ $\iff k<\frac{28}{5}.$
Suy ra: $a_6>a_5>\dots >a_0.$
Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là: $a_6=3^6.C_{16}^6{2}^4=2449440.$

Bài 9: Tìm hệ số có giá trị lớn nhất của khai triển: $(1+x{)}^n$, biết rằng tổng các hệ số bằng $4096.$

Lời giải:
Xét khai triển $(1+x{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{x}^k.$
Chọn $x=1$, ta được: $\sum _{k=0}^n{C}_n^k=2^n.$
Theo giả thiết ta có: $2^n=4096$ $\iff n=12.$
Suy ra: $(1+x{)}^n$ $=(1+x{)}^{12}$ $=\sum _{k=0}^{12}{C}_{12}^k{x}^k.$
Xét dãy số $a_k=C_{12}^k.$
Ta có: $a_k\ge a_{k+1}$ $\iff C_{12}^k\ge C_{12}^{k+1}$ $\iff \frac{12!}{k!(12–k)!}\ge \frac{12!}{(k+1)!(11–k)!}.$
$\iff \frac{12!}{k!(12–k)(11–k)!}\ge \frac{12!}{(k+1)k!(11–k)!}$ $\iff \frac{1}{(12–k)}\ge \frac{1}{(k+1)}$ $\iff k\ge \frac{13}{2}.$
Suy ra: $a_7\ge a_8\ge \dots \ge a_{12}.$
Ngược lại: $a_k\le a_{k+1}$ $\iff k\le \frac{13}{2}.$
Suy ra: $a_7\ge a_6\ge \dots \ge a_0.$
Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là: $a_7=C_{12}^7=792.$