Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Newton (Niu-tơn), đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Đại số và Giải tích 11: Tổ hợp và Xác suất.

1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
+ Áp dụng khai triển (a+b)n =k=0nCnkankbk.
+ Xác định số hạng tổng quát Cnkankbk, suy ra hệ số tổng quát là một dãy số theo ak.
+ Xét tính tăng giảm của ak từ đó tìm k tương ứng.
+ Suy ra hệ số lớn nhất trong khai triển.

2. BÀI TẬP ÁP DỤNG 
Bài 1: Cho khai triển: (1+2x)n =a0+a1x++anxn, trong đó nN và các hệ số a0, a1, …, an thỏa mãn a0+a12++an2n=4096. Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1, …, an.

Lời giải:
Ta có: (1+2x)n =k=0nCnk2kxk.
Chọn x=12, ta được: k=0nCnk=2n.
Suy ra: a0+a12++an2n =k=0nCnk 2n=4096 n=12.
Xét số tổng quát trong khai triển là: ak=C12k2k.
Xét dãy số ak=C12k.2k, ta có: ak+1=C12k+1.2k+1.
Xét akak+1>0 C12k.2kC12k+1.2k+1>0.
12!2kk!(12k)!12!2k+1(k+1)!(11k)!>0 12!2kk!(11k)!(112k2k+1)>0.
112k2k+1>0 3k23>0 k>2337,7.
Do đó a8>a9>>a12.
Tương tự: akak+1<0 k<233.
Do đó a8>a7>>a0.
Vậy max(a0,a1,,an)=a8 =C12828=126720.

Bài 2: Tìm k{0;1;2;;2005} sao cho C2005k đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải:
Ta có: C2005k lớn nhất {C2005kC2005k+1C2005kC2005k1 (k{0;1;2;;2005}).
{2005!k!(2005k)!2005!(k+1)!(2004k)!2005!k!(2005k)!2005!(k1)!(2006k)! {12005k1k+11k12006k.
{k+12005k2006kk {k1002k1003 1002k1003.
Vậy C2005k đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi [k=1002k=1003.

Bài 3: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Newton của (13+23x)15.

Lời giải:
Ta có: (13+23x)15 =k=015C15k(13)15k(23)xk =k=015C15k2k315xk.
Gọi ak là hệ số của xk trong khai triển, với k=0..15.
Xét dãy số ak=1315C15k2k.
Ta có: ak+1=1315C15k+1.2k+1.
Suy ra: ak<ak+1 1315C15k.2k<1315C15k+1.2k+1 15!k!(15k)!<15!(k+1)!(14k)!.2.
115k<2k+1 k+1<302k k<293.
Vậy a0<a1<a2<<a10.
Ngược lại: ak>ak+1 k>293.
Suy ra: a10>a11>a12>>a15.
Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển trên là: a10=210315C1510=3003.210315.

Bài 4: Trong khai triển của (13+23x)10 thành đa thức a0+a1x+a2x2++a10x10 (akR). Tìm hệ số ak lớn nhất (0k10).

Lời giải:
Ta có: ak1ak C10k1.2k1C10k.2k 1(k1)!(11k)!2k!(10k)!.
k2(11k) k223.
Vậy hệ số a7 là lớn nhất: a7=1310.C107.27.

Bài 5: Cho n là số nguyên dương cố định. Chứng minh rằng Cnk lớn nhất nếu k là một số tự nhiên lớn nhất không vượt quá n+12.

Lời giải:
Ta có: Cnk=n!k!(nk)!Cnk1=n!(k1)!(nk+1)! CnkCnk1=nk+1k.
Do đó: Cnk>Cnk1 nk+1k>1 k<n+12.
Suy ra Cnk lớn nhất nếu k là số tự nhiên lớn nhất không vượt quá n+12.

Bài 6: Khai triển đa thức P(x)=(1+2x)12 thành dạng P(x)=a0+a1x+a2x2++a12x12. Hãy tìm max(a1,a2,a3,,a12).

Lời giải:
Ta có: P(x)=(1+2x)12 =k=012C12k.(2x)k =k=012C12k.2k.xk.
Do đó: ak=C12k.2k.
Xét dãy số ak=C12k.2k, k=1..12.
Ta có: ak+1=C12k+1.2k+1.
Suy ra ak<ak+1 C12k.2k<C12k+1.2k+1 12!k!(12k)!.2k<12!(k+1)!(11k)!.2k+1.
12!k!(12k).(11k)!.2k <12!(k+1).k!(11k)!.2.2k 112k<2k+1 k<233.
Suy ra: a0<a1<a2<<a8.
Ngược lại: ak>ak+1 k>233 suy ra: a8>a9>a10>a11>a12.
Vậy với mọi k=1..12, aka8.
Vậy max(a1,a2,a3,,a12)=a8 =C128.28=126720.

Bài 7: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển: (3+2x)8.

Lời giải:
Ta có: (3+2x)8 =k=08C8k38k2kxk.
Hệ số tổng quát trong khai triển là: ak=C8k38k2k.
Xét dãy số ak=C8k38k2k, k=0..8.
Ta có: ak+1=C8k+137k2k+1.
Xét akak+1>0 C8k38k2kC8k+137k2k+1>0.
37k2k(3C8k2C8k+1)>0 3.8!k!(8k)!2.8!(k+1)!(7k)!>0.
8!k!(7k)!(38k2k+1)>0 3k316+2k(8k)(k+1)>0 k>195.
Suy ra: a4>a5>a6>a7>a8.
Ngược lại: akak+1<0 k<195.
Suy ra: a4>a3>a2>a1>a0.
Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là: a4=C843424=90720.

Bài 8: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của (2+3x)2n, trong đó n là số nguyên dương thỏa mãn: C2n+11+C2n+13 +C2n+15++C2n+12n+1 =1024.

Lời giải:
Xét khai triển: (1+x)2n+1 =C2n+10+C2n+11x +C2n+12x2+C2n+13x3 ++C2n+12n+1x2n+1.
Chọn x=1, ta được: C2n+10+C2n+11 +C2n+12+C2n+13 ++C2n+12n+1=22n+1 ().
Chọn x=1, ta được: C2n+10C2n+11 +C2n+12C2n+13 +C2n+12n+1=0.
Từ () suy ra: 2(C2n+11+C2n+13+C2n+15++C2n+12n+1) =22n+1.
C2n+11+C2n+13+C2n+15++C2n+12n+1=22n.
Theo giả thiết ta có: 22n=1024=210 n=5.
Từ đó suy ra: (2+3x)2n =(2+3x)10 =k=010C10k210k(3x)k =k=0103k.C10k210kxk.
Xét dãy số ak=3k.C10k210k, k=0..10.
Ta có: ak+1=3k+1.C10k+129k.
Ta có: ak>ak+1 akak+1>0 3k.C10k210k3k+1.C10k+129k>0.
3k29k(2C10k3C10k+1)>0 2.10!k!(10k)!3.10!(k+1)!(9k)!>0.
10!k!(9k)!(210k3k+1)>0 10!k!(9k)!(5k28(10k)(k+1))>0 k>285.
Suy ra: a6>a7>>a10.
Ngược lại: ak<ak+1 k<285.
Suy ra: a6>a7>>a10.
Ngược lại: ak<ak+1 k<285.
Suy ra: a6>a5>>a0.
Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là: a6=36.C16624=2449440.

Bài 9: Tìm hệ số có giá trị lớn nhất của khai triển: (1+x)n, biết rằng tổng các hệ số bằng 4096.

Lời giải:
Xét khai triển (1+x)n=k=0nCnkxk.
Chọn x=1, ta được: k=0nCnk=2n.
Theo giả thiết ta có: 2n=4096 n=12.
Suy ra: (1+x)n =(1+x)12 =k=012C12kxk.
Xét dãy số ak=C12k.
Ta có: akak+1 C12kC12k+1 12!k!(12k)!12!(k+1)!(11k)!.
12!k!(12k)(11k)!12!(k+1)k!(11k)! 1(12k)1(k+1) k132.
Suy ra: a7a8a12.
Ngược lại: akak+1 k132.
Suy ra: a7a6a0.
Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là: a7=C127=792.

About the author

Nguyễn Minh Phương
"một sáng khi con tỉnh giấc
Mặt Trời chưa mọc đằng đông
cửa nhà chắn hết mưa giông
vỡ tan nằm im ngoài cửa"

Đăng nhận xét