Tổng hợp key Windows 8, Windows 10, Windows 11, Office 2019 ProPlus, Office 2016 ProPlus, Office 2013 ProPlus tại đây!

Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^h}\) trong khai triển nhiều hạng tử

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán tìm hệ số của số hạng chứa \({x^h}\) trong khai triển nhiều hạng tử (ba hạng tử, bốn hạng tử …), đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Đại số và Giải tích 11: Tổ hợp và Xác suất.

Bài 1: Tìm hệ số của \({x^6}\) trong khai triển \({\left[ {1 + {x^2}(1 + x)} \right]^7}.\)

Lời giải:
Ta có: \({\left[ {1 + {x^2}(1 + x)} \right]^7}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {x^{2k}}{(1 + x)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {\left( {{x^2} + {x^3}} \right)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^7 {\sum\limits_{h = 0}^k {C_7^k} } C_k^h{x^{2k + h}}.\)
Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_7^kC_k^h{x^{2k + h}}.\)
Để có hệ số của số hạng chứa \({x^6}\) chọn \(k\), \(h\) thỏa mãn: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2k + h = 6}\\
{h \le k}\\
{k = \overline {0..7} }
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{h = 0}\\
{k = 3}
\end{array}} \right.}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{h = 2}\\
{k = 2}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right..\)
Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^6}\) là: \(C_7^3C_3^0 + C_7^2C_2^2 = 56.\)

Bài 2: Tìm hệ số của \({x^4}\) trong khai triển \({\left( {1 + 2x + 3{x^2}} \right)^{10}}.\)

Lời giải:
Ta có: \({\left( {1 + 2x + 3{x^2}} \right)^{10}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left( {2x + 3{x^2}} \right)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} \sum\limits_{h = 0}^k {C_k^h} {(2x)^{k – h}}{\left( {3{x^2}} \right)^h}.\)
\( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {\sum\limits_{h = 0}^k {C_{10}^k} } C_k^h{2^{k – h}}{3^h}{x^{k + h}}.\)
Số hạng tổng quát trong khai triển là \(C_{10}^kC_k^h{2^{k – h}}{3^h}{x^{k + h}}.\)
Để có hệ số của số hạng chứa \({x^4}\) chọn \(k\), \(h\) thỏa mãn: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{k + h = 4}\\
{h \le k}\\
{k = \overline {0..10} }
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow (k;h) \in \{ (4;0);(3;1);(2;2)\} .\)
Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^4}\) trong khai triển là:
\(C_{10}^4C_4^0{2^4} + C_{10}^3C_3^1{2^2}.3 + C_{10}^2C_2^2{3^2} = 8085.\)
Cách khác:
Ta có: \({\left( {1 + 2x + 3{x^2}} \right)^{10}}\) \( = {[1 + x(2 + 3x)]^{10}}\) \( = C_{10}^0\) \( + C_{10}^1x(2 + 3x)\) \( + C_{10}^2{x^2}{(2 + 3x)^2}\) \( + C_{10}^3{x^3}{(2 + 3x)^3}\) \( + C_{10}^4{x^4}{(2 + 3x)^4}\) \( + C_{10}^5{x^5}{(2 + 3x)^5}\) \( + \ldots + C_{10}^{10}{x^{10}}{(2 + 3x)^{10}}.\)
Ta nhận thấy rằng số mũ của \(x\) trong khai triển tăng dần, và \({x^4}\) chỉ chứa trong số hạng thứ \(2\), thứ \(3\), thứ \(4\) trong khai triển trên.
Từ đó ta phân tích các khai triển: \(C_{10}^2{x^2}{(2 + 3x)^2}\) \( = C_{10}^2C_2^0{2^2}{x^2}\) \( + C_{10}^2C_2^12.3{x^3}\) \( + C_{10}^2C_2^2{3^2}{x^4}.\)
\(C_{10}^3{x^3}{(2 + 3x)^3}\) \( = C_{10}^3C_3^0{2^3}{x^3}\) \( + C_{10}^3C_3^1{2^2}.3{x^4}\) \( + C_{10}^3C_3^2{2.3^2}{x^5}\) \( + C_{10}^3C_3^3{3^3}{x^6}.\)
\(C_{10}^4{x^4}{(2 + 3x)^4}\) \( = C_{10}^4C_4^0{2^4}{x^4}\) \( + C_{10}^4C_4^1{2^3}.3{x^5}\) \( + \ldots + C_{10}^4C_4^4{3^4}{x^8}.\)
Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^4}\) trong khai triển là:
\(C_{10}^4C_4^0{2^4}\) \( + C_{10}^3C_3^1{2^2}.3\) \( + C_{10}^2C_2^2{3^2}\) \( = 8085.\)

Bài 3: Tìm số hạng không chứa \(x\) trong khai triển: \({\left( {1 + 2x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^9}.\)

Lời giải:
Ta có: \({\left( {1 + 2x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^9}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k} {\left( {2x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k} \sum\limits_{h = 0}^k {C_k^h} {(2x)^{k – h}}{\left( { – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^h}.\)
\( = \sum\limits_{k = 0}^9 {\sum\limits_{h = 0}^k {C_9^k} } C_k^h{(2)^{k – h}}{( – 1)^h}{x^{k – 3h}}.\)
Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_9^kC_k^h{(2)^{k – h}}{( – 1)^h}{x^{k – 3h}}.\)
Để có số hạng không chứa \(x\), ta chọn \(k\), \(h\) thỏa mãn:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{k – 3h = 0}\\
{h \le k}\\
{k = \overline {0..9} }
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow (k;h) \in \{ (3;1);(6;2);(9;3)\} .\)
Vậy số hạng không chứa \(x\) trong khai triển là: \(C_9^3C_3^1{(2)^2}{( – 1)^1}\) \( + C_9^6C_6^2{(2)^4}{( – 1)^2}\) \( + C_9^9C_9^3{(2)^6}{( – 1)^3}\) \( = 14122.\)

Bài 4: Tìm số hạng chứa \(\frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}\) trong khai triển \({\left( {1 – 2\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}} \right)^7}.\)

Lời giải:
Ta có: \({\left( {1 – 2\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}} \right)^7}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {\left( { – 2\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}} \right)^k}.\)
\( = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} \sum\limits_{h = 0}^k {C_k^h} {\left( { – 2{x^{\frac{1}{2}}}} \right)^{k – h}}{\left( {{x^{ – \frac{2}{3}}}} \right)^h}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^7 {\sum\limits_{h = 0}^k {C_7^k} } C_k^h{( – 2)^{k – h}}{x^{\frac{{3k – 7h}}{6}}}.\)
Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_7^kC_k^h{( – 2)^{k – h}}{x^{\frac{{3k – 7h}}{6}}}.\)
Để có số hạng chứa \(\frac{1}{{\sqrt[3]{x}}} = {x^{ – \frac{1}{3}}}\), ta chọn \(k\), \(h\) thỏa mãn:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{3k – 7h}}{6} = – \frac{1}{3}}\\
{h \le k}\\
{k = \overline {0..7} }
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3k – 7h = – 2}\\
{h \le k}\\
{k = \overline {0..7} }
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{k = 4}\\
{h = 2}
\end{array}} \right..\)
Vậy số hạng chứa \(\frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}\) trong khai triển là: \(C_7^4C_4^2{( – 2)^2}{x^{\frac{{ – 1}}{3}}} = \frac{{840}}{{\sqrt[3]{x}}}.\)

Bài 5: Khai triển \(f(x) = {\left( {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right)^5}\) và viết lại dưới dạng: \(f(x) = {a_0} + {a_1}x + \ldots + {a_{15}}{x^{15}}.\) Tính \({a_9}.\)

Lời giải:
Ta có: \(f(x) = {\left( {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right)^5}\) \( = {(1 + x)^5}{\left( {1 + {x^3}} \right)^5}.\)
\( = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} {x^k}.\sum\limits_{l = 0}^5 {C_5^l} {\left( {{x^3}} \right)^l}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^5 {\sum\limits_{l = 0}^5 {C_5^k} } C_5^l{x^{k + 3l}}.\)
Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_5^kC_5^l{x^{k + 3l}}.\)
Nhận thấy \({a_9}\) chính là hệ số của số hạng chứa \({x^9}\) trong khai triển, vì vậy chọn \(k\), \(l\) thỏa mãn: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{k + 3l = 9}\\
{k,l = \overline {0..5} }
\end{array}} \right..\)
Suy ra: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{l = \frac{{9 – k}}{3}}\\
{k,l = \overline {0..5} }
\end{array}} \right.\), do đó: \(k \vdots 3\) \( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{k = 0 \Rightarrow l = 3}\\
{k = 3 \Rightarrow l = 2}
\end{array}} \right..\)
Vậy có hai cặp số \((k,l)\) thỏa mãn.
Suy ra hệ số của số hạng chứa \({x^9}\) trong khai triển là: \(C_5^3C_5^2 + C_5^0C_5^3 = 110.\)

Bài 6: Giả sử \({\left( {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right)^5}\) có khai triển thành đa thức: \({a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_{15}}{x^{15}}.\) Tính \({a_0} – {a_1} + {a_2} – {a_3} + \ldots – {a_{15}}.\)

Lời giải:
Ta có: \({\left( {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right)^5}\) \( = {\left[ {(1 + x)\left( {1 + {x^2}} \right)} \right]^5}\) \( = {(1 + x)^5}{\left( {1 + {x^2}} \right)^5}.\)
\( = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} {x^k}\sum\limits_{h = 0}^5 {C_5^h} {x^{2h}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^5 {\sum\limits_{h = 0}^5 {C_5^k} } C_5^h{x^{k + 2h}}.\)
Chọn \(x = -1\), ta được:
\({a_0} – {a_1} + {a_2} – {a_3} + \ldots – {a_{15}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^5 {\sum\limits_{h = 0}^5 {C_5^k} } C_5^h{( – 1)^{k + 2h}}\) \( = \left( {1 – 1 + {1^2} + {{( – 1)}^3}} \right) = 0.\)
Vậy \({a_0} – {a_1} + {a_2} – {a_3} + \ldots – {a_{15}} = 0.\)

Bài 7: Trong khai triển \({(x + y + z)^n}\), tìm số hạng chứa \({x^k}{y^m}{z^{n – k – m}}\) \((k,m < n).\)

Lời giải:
Ta có: \({(x + y + z)^n}\) \( = {[(y + z) + x]^n}\) \( = C_n^0{(y + z)^n}\) \( + C_n^1x{(y + z)^{n – 1}}\) \( + C_n^2{x^2}{(y + z)^{n – 2}}\) \( + \ldots + C_n^k{x^k}{(y + z)^{n – k}}\) \( + \ldots + C_n^n{x^n}.\)
Do đó số hạng chứa \({x^k}{y^m}{z^{n – k – m}}\) nằm trong khai triển \(C_n^k{x^k}{(y + z)^{n – k}}.\)
Mặt khác ta có: \({(y + z)^{n – k}}\) \( = C_{n – k}^0{z^{n – k}}\) \( + C_{n – k}^1y{z^{n – k – 1}}\) \( + C_{n – k}^2{y^2}{z^{n – k – 2}}\) \( + \ldots + C_{n – k}^m{y^m}{z^{n – k – m}}\) \( + \ldots + C_{n – k}^{n – k}{y^{n – k}}.\)
Do đó số hạng chứa \({x^k}{y^m}{z^{n – k – m}}\) trong khai triển là: \(C_n^kC_{n – k}^m{x^k}{y^m}{z^{n – k – m}}.\)

Bài 8: Trong khai triển \({\left( {2{x^3} + 2{x^2} + x + 1} \right)^{10}}\), tìm số hạng chứa \({x^5}.\)

Lời giải:
Ta có: \({\left( {2{x^3} + 2{x^2} + x + 1} \right)^{10}}\) \( = {\left[ {(1 + x)\left( {1 + 2{x^2}} \right)} \right]^{10}}\) \( = {(1 + x)^{10}}{\left( {1 + 2{x^2}} \right)^{10}}.\)
\( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^k}\sum\limits_{h = 0}^{10} {C_{10}^h} {2^{2h}}{x^{2h}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {\sum\limits_{h = 0}^{10} {C_{10}^k} } C_{10}^h{2^{2h}}{x^{k + 2h}}.\)
Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_{10}^kC_{10}^h{2^{2h}}{x^{k + 2h}}.\)
Để có số hạng chứa \({x^5}\), ta chọn \(k\), \(h\) sao cho:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{k + 2h = 5}\\
{h,k = \overline {0..10} }
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow (k;h) \in \{ (1;2);(3;1)\} .\)
Vậy số hạng chứa \({x^5}\) trong khai triển là: \(C_{10}^1C_{10}^2{2^4}{x^5} + C_{10}^3C_{10}^1{2^2}{x^5}\) \( = 12000{x^5}.\)

Đăng nhận xét

About the Author

Ngày hôm nay cho tôi buồn một lúc
Sau nhiều năm bươn trải kiếp con người
Cố gượng cười mà lòng có thảnh thơi
Thèm được khóc như cái thời nhỏ dại
Oops!
It seems there is something wrong with your internet connection. Please connect to the internet and start browsing again.
AdBlock Detected!
We have detected that you are using adblocking plugin in your browser.
The revenue we earn by the advertisements is used to manage this website, we request you to whitelist our website in your adblocking plugin.