Tìm giới hạn dãy số bằng định nghĩa

Bài viết hướng dẫn phương pháp tìm giới hạn dãy số bằng định nghĩa, giúp học sinh học tốt chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 4: giới hạn.

I. PHƯƠNG PHÁP
+ Để chứng minh limun=0 ta chứng minh với mọi số a>0 nhỏ tùy ý, luôn tồn tại một số na sao cho |un|<a, n>na.
+ Để chứng minh limun=l ta chứng minh lim(unl)=0.
+ Để chứng minh limun=+ ta chứng minh với mọi số M>0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên nM sao cho un>M, n>nM.
+ Để chứng minh limun= ta chứng minh lim(un)=+.
+ Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.

II. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
1. limn+2n+1=1.
2. limn212n2+1=12.
3. lim12nn2+1=2.

Lời giải:
1. Với a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn na>1a1, ta có: |n+2n+11|=1n+1 <1na+1<a với n>na.
Suy ra lim|n+2n+11|=0 limn+2n+1=1.
2. Với a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn na>3a1, ta có:
|n212n2+112|=3n2+1 <3na2+1<a với n>na.
Suy ra lim|n212n2+112|=0 limn212n2+1=12.
3. Với a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn na>9a21, ta có:
|12nn2+1+2| =|12n+2n2+1n2+1| <|12n+2(n+1)n2+1| =3n2+1 <3na2+1<a với n>na.
Suy ra lim|12nn2+1+2|=0 lim12nn2+1=2.

Ví dụ 2. Chứng minh rằng dãy số (un): un=(1)n không có giới hạn.

Lời giải:
Ta có: u2n=1 limu2n=1; u2n+1=1 limu2n+1=1.
Vì giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất nên ta suy ra dãy (un) không có giới hạn.

Ví dụ 3. Chứng minh các giới hạn sau:
1. limn2+1n=+.
2. lim2nn=.

Lời giải:
1. Với mọi số thực dương M lớn tùy ý, ta có:
|n2+1n|>M n2Mn+1>0 n>M+M242.
Ta chọn n0=[M+M242] thì ta có: n2+1n>M, n>n0.
Do đó: limn2+1n=+.
2. Với mọi M>0 lớn tùy ý, ta có:
n2n>M nMn2>0 n>(M+M2+82)2.
Ta chọn n0=[(M+M2+82)2] thì ta có: n2n>M, n>n0.
Do đó: lim2nn=.

III. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1. Chứng minh rằng:
1. lim1nk=0 (kN).
2. lim1n2n=.

Lời giải:
1. Với a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn: na>1ak, ta có: 1nk<1nak<a, n>na nên có lim1nk=0.
2. Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn nM thỏa mãn nM21nM>M nM>M+M2+42.
Ta có: n21n>M, n>nM limn21n=+.
Vậy lim1n2n=.

Bài 2. Chứng minh các giới hạn sau:
1. limcosn+sinnn2+1=0.
2. limn+1n+2=0.
3. lim3n3+nn2=+.

Lời giải:
1. Ta có |cosn+sinn|n2<2n2lim1n2=0 limcosn+sinnn2+1=0.
2. Với mọi số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn na=[1a21]+1.
Ta có: n+1n+2<1n+1<a, n>na limn+1n+2=0.
3. Với mọi M>0 lớn tùy ý, ta chọn nM=[M3]+1.
Ta có: 3n3+nn2=3n+1n>M, n>nM. Vậy lim3n3+nn2=+.

Bài 3. Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau:
1. A=lim2n+1n2.
2. B=lim2n+3n2+1.

Lời giải:
1. Với số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn na>5a+2>2.
Ta có: |2n+1n22|=5|n2| <5na2<a, n>na.
Vậy A=2.
2. Với số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn na thỏa mãn: 2na+3na2+1<a na>1+a24a+13a.
Ta có: 2n+3n2+1<a, n>na B=0.

Bài 4. Chứng minh các giới hạn sau:
1. limann!=0.
2. liman=1 với a>0.

Lời giải:
1. Gọi m là số tự nhiên thỏa mãn: m+1>|a|. Khi đó với mọi n>m+1.
Ta có: 0<|ann!| =|a1.a2am|.|am+1an| <|a|mm!.(|a|m+1)nm.
lim(|a|m+1)nm=0.
Từ đó suy ra: limann!=0.
2. Nếu a=1 thì ta có điều phải chứng minh.
Giả sử a>1. Khi đó: a=[1+(an1)]n>n(an1).
Suy ra: 0<an1<an0 nên liman=1.
Với 0<a<1 thì 1a>1 lim1an=1 liman=1.
Tóm lại ta luôn có: liman=1 với a>0.

Bài 5. Dãy số (xn) thỏa mãn điều kiện 1<x1<2xn+1=1+xn12xn2, nN. Chứng minh rằng dãy số đã cho hội tụ. Tìm limxn.

Lời giải:
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp bất đẳng thức sau: |xn2|<12n, n3.
Thật vậy ta kiểm tra được ngay bất đẳng thức đúng với n=3.
Giả sử bất đẳng thức đúng với n3, tức là |xn2|<12n.
Khi đó ta có: |xn+12| =12|xn2||22xn| 12|xn2|(|2xn|+|222|).
<12|xn2| <1212n=12n+1.
Do đó bất đẳng thức đúng đến n+1.
Mặt khác do lim12n=0 nên từ bất đẳng thức trên và nguyên lý kẹp ta có lim(xn2)=0 limxn=2.
Chú ý: Ta có kết quả sau:
Cho hàm số f:RR thỏa: |f(x)f(y)|q.|xy| với mọi x,yRq(0;1). Khi đó dãy số (un) được xác định bởi u0=c; un=f(un1), n=2,3, có giới hạn hữu hạn là nghiệm của phương trình f(x)=x.
Sử dụng kết quả trên ta có nghiệm của phương trình f(x)=x có nghiệm là 2 nên ta mới đi chứng minh limxn=2.

About the author

Nguyễn Minh Phương
"một sáng khi con tỉnh giấc
Mặt Trời chưa mọc đằng đông
cửa nhà chắn hết mưa giông
vỡ tan nằm im ngoài cửa"

Đăng nhận xét