Bài viết hướng dẫn phương pháp tìm giới hạn dãy số bằng định nghĩa, giúp học sinh học tốt chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 4: giới hạn.
I. PHƯƠNG PHÁP
+ Để chứng minh
+ Để chứng minh
+ Để chứng minh
+ Để chứng minh
+ Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
II. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
1.
2.
3.
Lời giải:
1. Với
Suy ra
2. Với
Suy ra
3. Với
Suy ra
Ví dụ 2. Chứng minh rằng dãy số
Lời giải:
Ta có:
Vì giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất nên ta suy ra dãy
Ví dụ 3. Chứng minh các giới hạn sau:
1.
2.
Lời giải:
1. Với mọi số thực dương
Ta chọn
Do đó:
2. Với mọi
Ta chọn
Do đó:
III. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1. Chứng minh rằng:
1.
2.
Lời giải:
1. Với
2. Với mọi số dương
Ta có:
Vậy
Bài 2. Chứng minh các giới hạn sau:
1.
2.
3.
Lời giải:
1. Ta có
2. Với mọi số thực
Ta có:
3. Với mọi
Ta có:
Bài 3. Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau:
1.
2.
Lời giải:
1. Với số thực
Ta có:
Vậy
2. Với số thực
Ta có:
Bài 4. Chứng minh các giới hạn sau:
1.
2.
Lời giải:
1. Gọi
Ta có:
Mà
Từ đó suy ra:
2. Nếu
Giả sử
Suy ra:
Với
Tóm lại ta luôn có:
Bài 5. Dãy số
Lời giải:
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp bất đẳng thức sau:
Thật vậy ta kiểm tra được ngay bất đẳng thức đúng với
Giả sử bất đẳng thức đúng với
Khi đó ta có:
Do đó bất đẳng thức đúng đến
Mặt khác do
Chú ý: Ta có kết quả sau:
Cho hàm số
Sử dụng kết quả trên ta có nghiệm của phương trình