Bài viết trình bày các quy tắc tính đạo hàm, giúp việc tính đạo hàm của một hàm số phức tạp trở nên dễ dàng hơn bằng cách quy về tính đạo hàm của các hàm số đơn giản.
I. Kiến thức cần nắm:
1. Quy tắc tính đạo hàm:
a. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số:
• \(({u_1} \pm {u_2} \pm … \pm {u_n})’\) \( = {u_1}’ \pm {u_2}’ \pm … \pm {u_n}’.\)
• \((k.u(x))’ = k.u'(x).\)
• \((uv)’ = u’v + uv’.\)
• \((uvw)’ = u’vw + uv’w + uvw’.\)
• \(({u^n}(x))’ = n{u^{n – 1}}(x).u'(x).\)
• \(\left( {\frac{c}{{u(x)}}} \right)’ = – \frac{{c.u'(x)}}{{{u^2}(x)}}.\)
• \({\left( {\frac{{u(x)}}{{v(x)}}} \right)}’\) \( = \frac{{u'(x)v(x) – v'(x)u(x)}}{{{v^2}(x)}}.\)
b. Đạo hàm của hàm số hợp: Cho hàm số \(y = f(u(x)) = f(u)\) với \(u = u(x).\) Khi đó: \(y{‘_x} = y{‘_u}.u{‘_x}.\)
2. Bảng công thức đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản:
| Đạo hàm | Hàm hợp |
| \[(c)’ = 0\] | |
| \[(x)’ = 1\] | |
| \[({x^\alpha })’ = \alpha {x^{\alpha – 1}}\] | \[\left( {{u^\alpha }} \right)’ = \alpha {u^{\alpha – 1}}.u’\] |
| \[\left( {\sqrt x } \right)’ = \frac{1}{{2\sqrt x }}\] | \[\left( {\sqrt u } \right)’ = \frac{{u’}}{{2\sqrt u }}\] |
| \[\left( {\sqrt[n]{x}} \right)’ = \frac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n – 1}}}}}}\] | \[\left( {\sqrt[n]{u}} \right)’ = \frac{{u’}}{{n\sqrt[n]{{{u^{n – 1}}}}}}\] |
| \[(\sin x)’ = \cos x\] | \[(\sin u)’ = u’.\cos u\] |
| \[(\cos x)’ = – \sin x\] | \[(\cos u)’ = – u’\sin u\] |
| \[(\tan x)’ = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\] | \[\left( {\tan u} \right)’ = \frac{{u’}}{{{{\cos }^2}u}}\] |
| \[(\cot x)’ = – \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\] | \[\left( {\cot u} \right)’ = – \frac{{u’}}{{{{\sin }^2}u}}\] |
II. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Tính đạo hàm các hàm số sau:
a. \(y = {x^3} – 3{x^2} + 2x + 1.\)
b. \(y = – {x^3} + 3x + 1.\)
c. \(y = \frac{{{x^4}}}{4} – {x^2} + 1.\)
d. \(y = – 2{x^4} + \frac{3}{2}{x^2} + 1.\)
e. \(y = \frac{{2x + 1}}{{x – 3}}.\)
f. \(y = \frac{{{x^2} – 2x + 2}}{{x + 1}}.\)
a. \(y’ = {\left( {{x^3} – 3{x^2} + 2x + 1} \right)’}\) \( = 3{x^2} – 6x + 2.\)
b. \(y’ = {\left( { – {x^3} + 3x + 1} \right)’}\) \( = – 3{x^2} + 3.\)
c. \(y’ = {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} – {x^2} + 1} \right)’}\) \( = {x^3} – 2x.\)
d. \(y’ = {\left( { – 2{x^4} + \frac{3}{2}{x^2} + 1} \right)’}\) \( = – 8{x^3} + 3x.\)
e. \(y’ = \) \(\frac{{(2x + 1)'(x – 3) – (x – 3)'(2x + 1)}}{{{{(x – 3)}^2}}}\) \( = \frac{{ – 7}}{{{{(x – 3)}^2}}}.\)
f. \(y’ = \) \(\frac{{({x^2} – 2x + 2)'(x + 1) – ({x^2} – 2x + 2)(x + 1)’}}{{{{(x + 1)}^2}}}\) \( = \frac{{(2x – 2)(x + 1) – ({x^2} – 2x + 2)}}{{{{(x + 1)}^2}}}\) \( = \frac{{{x^2} + 2x – 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}.\)
Ví dụ 2. Tính đạo hàm các hàm số sau:
a. \(y = {\left( {{x^7} + x} \right)^2}.\)
b. \(y = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {5 – 3{x^2}} \right).\)
c. \(y = {x^2}\left( {2x + 1} \right)\left( {5x – 3} \right).\)
d. \(y = {\left( {4x + \frac{5}{{{x^2}}}} \right)^3}.\)
e. \(y = {(x + 2)^3}{(x + 3)^2}.\)
a. \(y’ = 2({x^7} + x)({x^7} + x)’\) \( = 2({x^7} + x)(7{x^6} + 1).\)
b. Ta có: \(y = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {5 – 3{x^2}} \right)\) \( = – 3{x^4} + 2{x^2} + 5\) \( \Rightarrow y’ = – 12{x^3} + 4x.\)
c. Ta có: \(y = {x^2}\left( {2x + 1} \right)\left( {5x – 3} \right)\) \( = 10{x^4} – {x^3} – 3{x^2}\) \( \Rightarrow y’ = 40{x^3} – 3{x^2} – 6x.\)
d. \(y’ = 3{\left( {4x + \frac{5}{{{x^2}}}} \right)^2}\left( {4x + \frac{5}{{{x^2}}}} \right)’\) \( = 3{\left( {4x + \frac{5}{{{x^2}}}} \right)^2}\left( {4 – \frac{{10}}{{{x^3}}}} \right).\)
e. \(y’ = 3{({x^2} + 5x + 6)^2} + 2(x + 3){(x + 2)^3}.\)
Ví dụ 3. Giải bất phương trình \(f'(x) \ge 0\), biết:
a. \(f(x) = x\sqrt {4 – {x^2}} .\)
b. \(f(x) = x – 2\sqrt {{x^2} + 12} .\)
c. \(f(x) = \sqrt[4]{{{x^2} + 1}} – \sqrt x .\)
a. Tập xác định: \(D = \left[ { – 2;2} \right].\)
Ta có: \(f'(x) = \sqrt {4 – {x^2}} – \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {4 – {x^2}} }}\) \( = \frac{{4 – 2{x^2}}}{{\sqrt {4 – {x^2}} }}.\)
Do đó: \(f'(x) \ge 0\) \( \Leftrightarrow 4 – 2{x^2} \ge 0\) \( \Leftrightarrow – \sqrt 2 \le x \le \sqrt 2 .\)
b. Tập xác định: \(D = R.\)
Ta có: \(f'(x) = 1 – \frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + 12} }}\) \( = \frac{{\sqrt {{x^2} + 12} – 2x}}{{\sqrt {{x^2} + 12} }}.\)
Suy ra: \(f'(x) \ge 0\) \( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 12} \ge 2x\) \((1).\)
• Với \(x < 0\) thì \((1)\) luôn đúng.
• Với \(x \ge 0\) thì \((1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
{x^2} + 12 \ge 4{x^2}
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow 0 \le x \le 2.\)
Vậy bất phương trình \(f'(x) \ge 0\) có nghiệm khi và chỉ khi \(x \le 2.\)
c. Tập xác định: \(D = \left[ {0; + \infty } \right).\)
Ta có: \(f'(x) = \frac{x}{{2\sqrt[4]{{{{({x^2} + 1)}^3}}}}} – \frac{1}{{2\sqrt x }}.\)
\(f'(x) \ge 0\) \( \Leftrightarrow x\sqrt x \ge \sqrt[4]{{{{({x^2} + 1)}^3}}}\) \( \Leftrightarrow {x^6} \ge {({x^2} + 1)^3}\) \( \Leftrightarrow {x^2} \ge {x^2} + 1\), bất phương trình này vô nghiệm.
[ads]
Ví dụ 4. Tính đạo hàm các hàm số sau:
a. \(y = \sqrt {2{x^2} + 3x + 1} .\)
b. \(y = \sqrt[5]{{\sqrt {2{x^2} + 1} + 3x + 2}}.\)
c. \(y = \sqrt {2{{\sin }^2}(2x – 1) + \cos \sqrt x } .\)
d. \(y = \tan ({\sin ^2}3x) + \sqrt {{{\cot }^2}(1 – 2{x^3}) + 3} .\)
e. \(y = \sqrt[3]{{\sin (\tan x) + \cos (\cot x)}}.\)
a. \(y’ = \frac{{(2{x^2} + 3x + 1)’}}{{2\sqrt {2{x^2} + 3x + 1} }}\) \( = \frac{{4x + 3}}{{2\sqrt {2{x^2} + 3x + 1} }}.\)
b. \(y’ = \frac{1}{{5.\sqrt[5]{{{{(\sqrt {2{x^2} + 1} + 3x + 2)}^4}}}}}\)\((\sqrt {2{x^2} + 1} + 3x + 2)’\) \( = \frac{1}{{5.\sqrt[5]{{{{(\sqrt {2{x^2} + 1} + 3x + 2)}^4}}}}}\)\((\frac{{2x}}{{\sqrt {2{x^2} + 1} }} + 3).\)
c. \(y’ = \frac{{(2{{\sin }^2}(2x – 1) + \cos \sqrt x )’}}{{2\sqrt {2{{\sin }^2}(2x – 1) + \cos \sqrt x } }}\) \( = \frac{{2\sin (4x – 2) – \frac{1}{{2\sqrt x }}\sin \sqrt x }}{{2\sqrt {2{{\sin }^2}(2x – 1) + \cos \sqrt x } }}\) \( = \frac{{4\sqrt x \sin (4x – 2) – \sin \sqrt x }}{{4\sqrt {2x{{\sin }^2}(2x – 1) + x\cos \sqrt x } }}.\)
d. \(y’ = [1 + {\tan ^2}({\sin ^2}3x)]({\sin ^2}3x)’\) \( + \frac{{[{{\cot }^2}(1 – 2{x^3}) + 3]’}}{{2\sqrt {{{\cot }^2}(1 – 2{x^3}) + 3} }}\) \( = 3 [1 + {\tan ^2}({\sin ^2}3x)]\sin 6x\) \( + \frac{{6{x^2}{\rm{[}}1 + {{\cot }^2}(1 – 2{x^3}){\rm{]}}\cot (1 – 2{x^3})}}{{\sqrt {{{\cot }^2}(1 – 2{x^3}) + 3} }}.\)
e. \(y’ = \frac{{[\sin (\tan x) + \cos (\cot x)]’}}{{3\sqrt {{{[\sin (\tan x) + \cos (\cot x)]}^2}} }}\) \( = \frac{{(1 + {{\tan }^2}x)\cos (\tan x) + (1 + {{\cot }^2}x)\sin (\cot x)}}{{3\sqrt {{{[\sin (\tan x) + \cos (\cot x)]}^2}} }}.\)
Ví dụ 5. Tính đạo hàm các hàm số sau:
a. \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} – 3x + 1\:khi\:x > 1\\
2x + 2\:khi\:x \le 1{\rm{ }}
\end{array} \right.\)
b. \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
{x^2}\cos \frac{1}{{2x}}\:khi\:x \ne 0\\
0\:khi\:x = 0
\end{array} \right.\)
a.
• Với \(x > 1\) \( \Rightarrow f(x) = {x^2} – 3x + 1\) \( \Rightarrow f'(x) = 2x – 3.\)
• Với \(x < 1\) \( \Rightarrow f(x) = 2x + 2\) \( \Rightarrow f'(x) = 2.\)
• Với \(x = 1\), ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x)\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} – 3x + 1} \right)\) \( = – 1 \ne f(1)\) \( \Rightarrow \) hàm số không liên tục tại \(x = 1\), suy ra hàm số không có đạo hàm tại \(x = 1.\)
Vậy \(f'(x) = \left\{ \begin{array}{l}
2x – 3\:khi\:x > 1\\
2\:khi\:x < 1
\end{array} \right.\)
b.
• Với \(x \ne 0\) \( \Rightarrow f(x) = {x^2}\cos \frac{1}{{2x}}\) \( \Rightarrow f'(x) = 2x\cos \frac{1}{{2x}} – \frac{1}{2}\cos \frac{1}{{2x}}.\)
• Với \(x = 0\), ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) – f(0)}}{x}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\cos \frac{1}{{2x}} = 0\) \( \Rightarrow f'(0) = 0.\)
Vậy \(f'(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\left( {2x – \frac{1}{2}} \right)\cos \frac{1}{{2x}}\:khi\:x \ne 0\\
0\:khi\:x = 0
\end{array} \right.\)
Ví dụ 6. Chứng minh rằng các hàm số sau đây có đạo hàm không phụ thuộc \(x.\)
a. \(y = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x.\)
b. \(y = {\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{3} – x} \right) + {\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\) \( + {\cos ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} – x} \right) + {\cos ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} + x} \right)\) \( – 2{\sin ^2}x.\)
a. Ta có: \(y = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\) \( = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^3} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^3}\) \( + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\) \( = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} = 1.\) Suy ra: \( y’ = 0.\)
b. Ta có: \(y = 2 + \frac{1}{2}{\rm{[}}\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} – 2x} \right) + \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} + 2x} \right)\) \( + \cos \left( {\frac{{4\pi }}{3} – 2x} \right) + \cos \left( {\frac{{4\pi }}{3} + 2x} \right)]\) \( – 2{\sin ^2}x\) \( = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}( – \cos 2x – \cos 2x) – 2{\sin ^2}x = 1.\) Suy ra: \(y’ = 0.\)
Ví dụ 7. Tìm \(a,b\) để hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} – x + 1{\rm{ }}\:khi\:x \le 1\\
– {x^2} + ax + b\:khi\:x > 1
\end{array} \right.\) có đạo hàm trên \(R.\)
Với \(x \ne 1\) thì hàm số luôn có đạo hàm.
Do đó hàm số có đạo hàm trên \(R\) khi và chỉ khi hàm số có đạo hàm tại \(x = 1.\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x) = 1\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = a + b – 1.\)
Hàm số liên tục trên \(R\) \( \Leftrightarrow a + b – 1 = 1\) \( \Leftrightarrow a + b = 2.\)
Khi đó:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{f(x) – f(1)}}{{x – 1}} = 1.\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f(x) – f(1)}}{{x – 1}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ – {x^2} + ax + 1 – a}}{{x – 1}}\) \( = a – 2.\)
Nên hàm số có đạo hàm trên \(R\) thì: \(\left\{ \begin{array}{l}
a + b = 2\\
a – 2 = 1
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 3\\
b = – 1
\end{array} \right.\)
Ví dụ 8. Tìm \(m\) để các hàm số:
a. \(y = (m – 1){x^3} – 3(m + 2){x^2}\) \( – 6(m + 2)x + 1\) có \(y’ \ge 0\), \(\forall x \in R.\)
b. \(y = \frac{{m{x^3}}}{3} – m{x^2} + (3m – 1)x + 1\) có \(y’ \le 0\), \(\forall x \in R.\)
a. Ta có: \(y’ = 3\left[ {(m – 1){x^2} – 2(m + 2)x – 2(m + 2)} \right].\)
Do đó: \(y’ \ge 0\) \( \Leftrightarrow (m – 1){x^2} – 2(m + 2)x – 2(m + 2) \ge 0\) \((1).\)
• Với \(m = 1\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow – 6x – 6 \ge 0 \Leftrightarrow x \le – 1.\)
• Với \(m \ne 1\) thì \((1)\) đúng với mọi \(x \in R\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = m – 1 > 0\\
\Delta ‘ \le 0
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 1\\
(m + 1)(4 – m) \le 0
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow m \ge 4.\)
Vậy \(m \ge 4.\)
b. Ta có: \(y’ = m{x^2} – 2mx + 3m – 1.\)
Nên \(y’ \le 0\) \( \Leftrightarrow m{x^2} – 2mx + 3m – 1 \le 0\) \((2).\)
• Với \(m = 0\) thì \((2)\) trở thành: \( – 1 \le 0\) (luôn đúng).
• Với \(m \ne 0\) khi đó \((2)\) đúng với mọi \(x \in R\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = m < 0\\
\Delta’ \le 0
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 0\\
m(1 – 2m) \le 0
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 0\\
1 – 2m \ge 0
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow m < 0.\)
Vậy \(m \le 0.\)