Các quy tắc tính đạo hàm

Bài viết trình bày các quy tắc tính đạo hàm, giúp việc tính đạo hàm của một hàm số phức tạp trở nên dễ dàng hơn bằng cách quy về tính đạo hàm của các hàm số đơn giản.

I. Kiến thức cần nắm:
1. Quy tắc tính đạo hàm:
a. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số:
• $(u_{1} \pm u_{2} \pm \dots \pm u_{n})^{'}$ $= {u_{1}}^{'} \pm {u_{2}}^{'} \pm \dots \pm {u_{n}}^{'} .$
• $(k . u (x))^{'} = k . u^{'} (x) .$
• $(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'} .$
• $(u v w)^{'} = u^{'} v w + u v^{'} w + u v w^{'} .$
• $(u^{n} (x))^{'} = n u^{n - 1} (x) . u^{'} (x) .$
• ${(\frac{c}{u (x)})}^{'} = - \frac{c . u^{'} (x)}{u^{2} (x)} .$
• ${(\frac{u (x)}{v (x)})}^{'}$ $= \frac{u^{'} (x) v (x) - v^{'} (x) u (x)}{v^{2} (x)} .$
b. Đạo hàm của hàm số hợp: Cho hàm số $y = f (u (x)) = f (u)$ với $u = u (x) .$ Khi đó: $y ‘_{x} = y ‘_{u} . u ‘_{x} .$
2. Bảng công thức đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản:

Đạo hàm	Hàm hợp
$(c)^{'} = 0$
$(x)^{'} = 1$
$(x^{α})^{'} = α x^{α - 1}$	${(u^{α})}^{'} = α u^{α - 1} . u^{'}$
${(\sqrt{x})}^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$	${(\sqrt{u})}^{'} = \frac{u^{'}}{2 \sqrt{u}}$
${(\sqrt[n]{x})}^{'} = \frac{1}{n \sqrt[n]{x^{n - 1}}}$	${(\sqrt[n]{u})}^{'} = \frac{u^{'}}{n \sqrt[n]{u^{n - 1}}}$
$(\sin x)^{'} = \cos x$	$(\sin u)^{'} = u^{'} . \cos u$
$(\cos x)^{'} = - \sin x$	$(\cos u)^{'} = - u^{'} \sin u$
$(\tan x)^{'} = \frac{1}{\cos^{2} x}$	${(\tan u)}^{'} = \frac{u^{'}}{\cos^{2} u}$
$(\cot x)^{'} = - \frac{1}{\sin^{2} x}$	${(\cot u)}^{'} = - \frac{u^{'}}{\sin^{2} u}$

II. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Tính đạo hàm các hàm số sau:
a. $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 1.$
b. $y = - x^{3} + 3 x + 1.$
c. $y = \frac{x^{4}}{4} - x^{2} + 1.$
d. $y = - 2 x^{4} + \frac{3}{2} x^{2} + 1.$
e. $y = \frac{2 x + 1}{x - 3} .$
f. $y = \frac{x^{2} - 2 x + 2}{x + 1} .$

a. $y^{'} = {(x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 1)}^{'}$ $= 3 x^{2} - 6 x + 2.$
b. $y^{'} = {(- x^{3} + 3 x + 1)}^{'}$ $= - 3 x^{2} + 3.$
c. $y^{'} = {(\frac{x^{4}}{4} - x^{2} + 1)}^{'}$ $= x^{3} - 2 x .$
d. $y^{'} = {(- 2 x^{4} + \frac{3}{2} x^{2} + 1)}^{'}$ $= - 8 x^{3} + 3 x .$
e. $y^{'} =$ $\frac{(2 x + 1)^{'} (x - 3) - (x - 3)^{'} (2 x + 1)}{{(x - 3)}^{2}}$ $= \frac{- 7}{{(x - 3)}^{2}} .$
f. $y^{'} =$ $\frac{(x^{2} - 2 x + 2)^{'} (x + 1) - (x^{2} - 2 x + 2) (x + 1)^{'}}{{(x + 1)}^{2}}$ $= \frac{(2 x - 2) (x + 1) - (x^{2} - 2 x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$ $= \frac{x^{2} + 2 x - 4}{{(x + 1)}^{2}} .$

Ví dụ 2. Tính đạo hàm các hàm số sau:
a. $y = {(x^{7} + x)}^{2} .$
b. $y = (x^{2} + 1) (5 - 3 x^{2}) .$
c. $y = x^{2} (2 x + 1) (5 x - 3) .$
d. $y = {(4 x + \frac{5}{x^{2}})}^{3} .$
e. $y = (x + 2)^{3} (x + 3)^{2} .$

a. $y^{'} = 2 (x^{7} + x) (x^{7} + x)^{'}$ $= 2 (x^{7} + x) (7 x^{6} + 1) .$
b. Ta có: $y = (x^{2} + 1) (5 - 3 x^{2})$ $= - 3 x^{4} + 2 x^{2} + 5$ $\Rightarrow y^{'} = - 12 x^{3} + 4 x .$
c. Ta có: $y = x^{2} (2 x + 1) (5 x - 3)$ $= 10 x^{4} - x^{3} - 3 x^{2}$ $\Rightarrow y^{'} = 40 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x .$
d. $y^{'} = 3 {(4 x + \frac{5}{x^{2}})}^{2} {(4 x + \frac{5}{x^{2}})}^{'}$ $= 3 {(4 x + \frac{5}{x^{2}})}^{2} (4 - \frac{10}{x^{3}}) .$
e. $y^{'} = 3 (x^{2} + 5 x + 6)^{2} + 2 (x + 3) (x + 2)^{3} .$

Ví dụ 3. Giải bất phương trình $f^{'} (x) \geq 0$ , biết:
a. $f (x) = x \sqrt{4 - x^{2}} .$
b. $f (x) = x - 2 \sqrt{x^{2} + 12} .$
c. $f (x) = \sqrt[4]{x^{2} + 1} - \sqrt{x} .$

a. Tập xác định: $D = [- 2; 2] .$
Ta có: $f^{'} (x) = \sqrt{4 - x^{2}} - \frac{x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}}$ $= \frac{4 - 2 x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}} .$
Do đó: $f^{'} (x) \geq 0$ $\Leftrightarrow 4 - 2 x^{2} \geq 0$ $\Leftrightarrow - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2} .$
b. Tập xác định: $D = R .$
Ta có: $f^{'} (x) = 1 - \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 12}}$ $= \frac{\sqrt{x^{2} + 12} - 2 x}{\sqrt{x^{2} + 12}} .$
Suy ra: $f^{'} (x) \geq 0$ $\Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + 12} \geq 2 x$ $(1) .$
• Với $x < 0$ thì $(1)$ luôn đúng.
• Với $x \geq 0$ thì $(1) \Leftrightarrow {\begin{cases} x \geq 0 \\ x^{2} + 12 \geq 4 x^{2} \end{cases}$ $\Leftrightarrow 0 \leq x \leq 2.$
Vậy bất phương trình $f^{'} (x) \geq 0$ có nghiệm khi và chỉ khi $x \leq 2.$
c. Tập xác định: $D = [0; + \infty) .$
Ta có: $f^{'} (x) = \frac{x}{2 \sqrt[4]{{(x^{2} + 1)}^{3}}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} .$
$f^{'} (x) \geq 0$ $\Leftrightarrow x \sqrt{x} \geq \sqrt[4]{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ $\Leftrightarrow x^{6} \geq (x^{2} + 1)^{3}$ $\Leftrightarrow x^{2} \geq x^{2} + 1$ , bất phương trình này vô nghiệm.
[ads]
Ví dụ 4. Tính đạo hàm các hàm số sau:
a. $y = \sqrt{2 x^{2} + 3 x + 1} .$
b. $y = \sqrt[5]{\sqrt{2 x^{2} + 1} + 3 x + 2} .$
c. $y = \sqrt{2 \sin^{2} (2 x - 1) + \cos \sqrt{x}} .$
d. $y = \tan (\sin^{2} 3 x) + \sqrt{\cot^{2} (1 - 2 x^{3}) + 3} .$
e. $y = \sqrt[3]{\sin (\tan x) + \cos (\cot x)} .$

a. $y^{'} = \frac{(2 x^{2} + 3 x + 1)^{'}}{2 \sqrt{2 x^{2} + 3 x + 1}}$ $= \frac{4 x + 3}{2 \sqrt{2 x^{2} + 3 x + 1}} .$
b. $y^{'} = \frac{1}{5. \sqrt[5]{{(\sqrt{2 x^{2} + 1} + 3 x + 2)}^{4}}}$ $(\sqrt{2 x^{2} + 1} + 3 x + 2)^{'}$ $= \frac{1}{5. \sqrt[5]{{(\sqrt{2 x^{2} + 1} + 3 x + 2)}^{4}}}$ $(\frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} + 1}} + 3) .$
c. $y^{'} = \frac{(2 \sin^{2} (2 x - 1) + \cos \sqrt{x})^{'}}{2 \sqrt{2 \sin^{2} (2 x - 1) + \cos \sqrt{x}}}$ $= \frac{2 \sin (4 x - 2) - \frac{1}{2 \sqrt{x}} \sin \sqrt{x}}{2 \sqrt{2 \sin^{2} (2 x - 1) + \cos \sqrt{x}}}$ $= \frac{4 \sqrt{x} \sin (4 x - 2) - \sin \sqrt{x}}{4 \sqrt{2 x \sin^{2} (2 x - 1) + x \cos \sqrt{x}}} .$
d. $y^{'} = [1 + \tan^{2} (\sin^{2} 3 x)] (\sin^{2} 3 x)^{'}$ $+ \frac{[\cot^{2} (1 - 2 x^{3}) + 3]^{'}}{2 \sqrt{\cot^{2} (1 - 2 x^{3}) + 3}}$ $= 3 [1 + \tan^{2} (\sin^{2} 3 x)] \sin 6 x$ $+ \frac{6 x^{2} [1 + \cot^{2} (1 - 2 x^{3})] \cot (1 - 2 x^{3})}{\sqrt{\cot^{2} (1 - 2 x^{3}) + 3}} .$
e. $y^{'} = \frac{[\sin (\tan x) + \cos (\cot x)]^{'}}{3 \sqrt{{[\sin (\tan x) + \cos (\cot x)]}^{2}}}$ $= \frac{(1 + \tan^{2} x) \cos (\tan x) + (1 + \cot^{2} x) \sin (\cot x)}{3 \sqrt{{[\sin (\tan x) + \cos (\cot x)]}^{2}}} .$

Ví dụ 5. Tính đạo hàm các hàm số sau:
a. $f (x) = {\begin{cases} x^{2} - 3 x + 1 k h i x > 1 \\ 2 x + 2 k h i x \leq 1 \end{cases}$
b. $f (x) = {\begin{cases} x^{2} \cos \frac{1}{2 x} k h i x \neq 0 \\ 0 k h i x = 0 \end{cases}$

a.
• Với $x > 1$ $\Rightarrow f (x) = x^{2} - 3 x + 1$ $\Rightarrow f^{'} (x) = 2 x - 3.$
• Với $x < 1$ $\Rightarrow f (x) = 2 x + 2$ $\Rightarrow f^{'} (x) = 2.$
• Với $x = 1$ , ta có: $lim_{x \to 1^{+}} f (x)$ $= lim_{x \to 1^{+}} (x^{2} - 3 x + 1)$ $= - 1 \neq f (1)$ $\Rightarrow$ hàm số không liên tục tại $x = 1$ , suy ra hàm số không có đạo hàm tại $x = 1.$
Vậy $f^{'} (x) = {\begin{cases} 2 x - 3 k h i x > 1 \\ 2 k h i x < 1 \end{cases}$
b.
• Với $x \neq 0$ $\Rightarrow f (x) = x^{2} \cos \frac{1}{2 x}$ $\Rightarrow f^{'} (x) = 2 x \cos \frac{1}{2 x} - \frac{1}{2} \cos \frac{1}{2 x} .$
• Với $x = 0$ , ta có: $lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x}$ $= lim_{x \to 0} x \cos \frac{1}{2 x} = 0$ $\Rightarrow f^{'} (0) = 0.$
Vậy $f^{'} (x) = {\begin{cases} (2 x - \frac{1}{2}) \cos \frac{1}{2 x} k h i x \neq 0 \\ 0 k h i x = 0 \end{cases}$

Ví dụ 6. Chứng minh rằng các hàm số sau đây có đạo hàm không phụ thuộc $x .$
a. $y = \sin^{6} x + \cos^{6} x + 3 \sin^{2} x \cos^{2} x .$
b. $y = \cos^{2} (\frac{π}{3} - x) + \cos^{2} (\frac{π}{3} + x)$ $+ \cos^{2} (\frac{2 π}{3} - x) + \cos^{2} (\frac{2 π}{3} + x)$ $- 2 \sin^{2} x .$

a. Ta có: $y = \sin^{6} x + \cos^{6} x + 3 \sin^{2} x \cos^{2} x$ $= {(\sin^{2} x)}^{3} + {(\cos^{2} x)}^{3}$ $+ 3 \sin^{2} x \cos^{2} x (\sin^{2} x + \cos^{2} x)$ $= {(\sin^{2} x + \cos^{2} x)}^{3} = 1.$ Suy ra: $y^{'} = 0.$
b. Ta có: $y = 2 + \frac{1}{2} [\cos (\frac{2 π}{3} - 2 x) + \cos (\frac{2 π}{3} + 2 x)$ $+ \cos (\frac{4 π}{3} - 2 x) + \cos (\frac{4 π}{3} + 2 x)]$ $- 2 \sin^{2} x$ $= \frac{3}{2} + \frac{1}{2} (- \cos 2 x - \cos 2 x) - 2 \sin^{2} x = 1.$ Suy ra: $y^{'} = 0.$

Ví dụ 7. Tìm $a, b$ để hàm số $f (x) = {\begin{cases} x^{2} - x + 1 k h i x \leq 1 \\ - x^{2} + a x + b k h i x > 1 \end{cases}$ có đạo hàm trên $R .$

Với $x \neq 1$ thì hàm số luôn có đạo hàm.
Do đó hàm số có đạo hàm trên $R$ khi và chỉ khi hàm số có đạo hàm tại $x = 1.$
Ta có: $lim_{x \to 1^{-}} f (x) = 1$ , $lim_{x \to 1^{+}} f (x) = a + b - 1.$
Hàm số liên tục trên $R$ $\Leftrightarrow a + b - 1 = 1$ $\Leftrightarrow a + b = 2.$
Khi đó:
$lim_{x \to 1^{-}} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} = 1.$
$lim_{x \to 1^{+}} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1}$ $= lim_{x \to 1^{+}} \frac{- x^{2} + a x + 1 - a}{x - 1}$ $= a - 2.$
Nên hàm số có đạo hàm trên $R$ thì: ${\begin{cases} a + b = 2 \\ a - 2 = 1 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} a = 3 \\ b = - 1 \end{cases}$

Ví dụ 8. Tìm $m$ để các hàm số:
a. $y = (m - 1) x^{3} - 3 (m + 2) x^{2}$ $- 6 (m + 2) x + 1$ có $y^{'} \geq 0$ , $\forall x \in R .$
b. $y = \frac{m x^{3}}{3} - m x^{2} + (3 m - 1) x + 1$ có $y^{'} \leq 0$ , $\forall x \in R .$

a. Ta có: $y^{'} = 3 [(m - 1) x^{2} - 2 (m + 2) x - 2 (m + 2)] .$
Do đó: $y^{'} \geq 0$ $\Leftrightarrow (m - 1) x^{2} - 2 (m + 2) x - 2 (m + 2) \geq 0$ $(1) .$
• Với $m = 1$ thì $(1) \Leftrightarrow - 6 x - 6 \geq 0 \Leftrightarrow x \leq - 1.$
• Với $m \neq 1$ thì $(1)$ đúng với mọi $x \in R$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} a = m - 1 > 0 \\ Δ ‘ \leq 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} m > 1 \\ (m + 1) (4 - m) \leq 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow m \geq 4.$
Vậy $m \geq 4.$
b. Ta có: $y^{'} = m x^{2} - 2 m x + 3 m - 1.$
Nên $y^{'} \leq 0$ $\Leftrightarrow m x^{2} - 2 m x + 3 m - 1 \leq 0$ $(2) .$
• Với $m = 0$ thì $(2)$ trở thành: $- 1 \leq 0$ (luôn đúng).
• Với $m \neq 0$ khi đó $(2)$ đúng với mọi $x \in R$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} a = m < 0 \\ Δ^{'} \leq 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} m < 0 \\ m (1 - 2 m) \leq 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} m < 0 \\ 1 - 2 m \geq 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow m < 0.$
Vậy $m \leq 0.$