Các dạng toán cấp số cộng

Bài viết phân dạng và hướng dẫn phương pháp giải các dạng toán cấp số cộng thông qua các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết.

Dạng toán 1. Chứng minh tính chất của một cấp số cộng.
Phương pháp: Với bài toán: Cho ba số $a, b, c$ lập thành cấp số cộng, chứng minh tính chất $K$ , ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1. Từ giả thiết $a, b, c$ lập thành một cấp số cộng, ta được: $a + c = 2 b$ hoặc biểu thức tương đương $a - b = b - c$ $= \frac{1}{2} (a - c) .$
+ Bước 2. Chứng minh tính chất $K .$

Ví dụ 1. Cho ba số $a, b, c$ lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng: $a^{2} + 2 b c = c^{2} + 2 a b .$

Từ giả thiết $a, b, c$ lập thành một cấp số cộng, ta được: $a + c = 2 b .$
Khi đó: $a^{2} + 2 b c$ $= a^{2} + (a + c) c$ $= a^{2} + a c + c^{2}$ $= a (a + c) + c^{2}$ $= 2 a b + c^{2} .$
Vậy: $a^{2} + 2 b c = c^{2} + 2 a b .$

Ví dụ 2. Cho $(a_{n})$ là một cấp số cộng. Chứng minh rằng: $a_{n} = \frac{1}{2} ({a_{n}}_{- k} + a_{n + k})$ với mọi $n > k .$

Ta có:
$a_{n} = {a_{n}}_{- k} + (n - n + k) d$ $= {a_{n}}_{- k} + k d .$
$a_{n + k}$ $= {a_{n}}_{- k} + (n + k - n + k) d$ $= {a_{n}}_{- k} + 2 k d .$
Suy ra: $\frac{1}{2} ({a_{n}}_{- k} + a_{n + k})$ $= \frac{1}{2} ({a_{n}}_{- k} + {a_{n}}_{- k} + 2 k d)$ $= {a_{n}}_{- k} + k d = a_{n} .$
Vậy: $a_{n} = \frac{1}{2} ({a_{n}}_{- k} + a_{n + k})$ với mọi $n > k .$

Dạng toán 2. Chứng minh ba số lập thành một cấp số cộng.
Phương pháp: Để chứng minh ba số $a, b, c$ lập thành cấp số cộng, ta chứng minh: $a + c = 2 b$ hoặc $a - b = b - c .$

Ví dụ 3. Cho ba số $a, b, c$ lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số $(a^{2} + a b + b^{2})$ , $(a^{2} + a c + c^{2})$ , $(b^{2} + b c + c^{2})$ cũng lập thành một cấp số cộng.

Từ giả thiết $a, b, c$ lập thành một cấp số cộng, ta được: $a + c = 2 b .$
Ta có: $(a^{2} + a b + b^{2})$ $+ (b^{2} + b c + c^{2})$ $= a^{2} + (a b + b c) + 2 b^{2} + c^{2}$ $= a^{2} + b (a + c) + 2 b^{2} + c^{2}$ $= a^{2} + 4 b^{2} + c^{2}$ $= a^{2} + {(a + c)}^{2} + c^{2}$ $= 2 (a^{2} + a c + c^{2}) .$
Vậy: ba số $(a^{2} + a b + b^{2})$ , $(a^{2} + a c + c^{2})$ , $(b^{2} + b c + c^{2})$ cũng lập thành một cấp số cộng.

Ví dụ 4. Cho ba số dương $a, b, c$ lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số $\frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{c}}$ , $\frac{1}{\sqrt{c} + \sqrt{a}}$ , $\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ cũng lập thành một cấp số cộng.

Từ giả thiết $a, b, c$ lập thành một cấp số cộng, ta được: $a + c = 2 b$ $\Leftrightarrow a - b = b - c$ $= \frac{1}{2} (a - c) .$
Ta có:
$\frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} + \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ $= \frac{\sqrt{b} - \sqrt{c}}{b - c} + \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}$ $= \frac{\sqrt{b} - \sqrt{c}}{a - b} + \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}$ $= \frac{\sqrt{b} - \sqrt{c} + \sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}$ $= \frac{\sqrt{a} - \sqrt{c}}{\frac{1}{2} (a - c)}$ $= \frac{2}{\sqrt{c} + \sqrt{a}} .$
Vậy: ba số $\frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{c}}$ , $\frac{1}{\sqrt{c} + \sqrt{a}}$ , $\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ cũng lập thành một cấp số cộng.

Dạng toán 3. Tìm điều kiện của tham số để bộ số lập thành một cấp số cộng.
Phương pháp:
+ Để ba số $a, b, c$ lập thành cấp số cộng, điều kiện là: $a + c = 2 b$ , bài toán được chuyển về việc giải phương trình.
+ Để bốn số $a, b, c, d$ lập thành cấp số cộng, điều kiện là: ${\begin{cases} a + c = 2 b \\ b + d = 2 c \end{cases}$ , bài toán được chuyển về việc giải hệ phương trình.

Ví dụ 5. Tìm $x$ để ba số $x^{2} + 1$ , $x - 2$ , $1 - 3 x$ lập thành một cấp số cộng.

Để ba số $x^{2} + 1$ , $x - 2$ , $1 - 3 x$ lập thành một cấp số cộng, điều kiện là: $(x^{2} + 1) + (1 - 3 x)$ $= 2 (x - 2)$ $\Leftrightarrow x^{2} - 5 x + 6 = 0$ $\Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x = 3.$
Vậy: với $x = 2$ hoặc $x = 3$ thì ba số $x^{2} + 1$ , $x - 2$ , $1 - 3 x$ lập thành một cấp số cộng.

Bài toán: Tìm điều kiện của tham số sao cho phương trình bậc ba: $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ $(*)$ , với $a \neq 0$ có $3$ nghiệm $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ lập thành cấp số cộng.

Phương pháp giải:
Điều kiện cần: Giả sử phương trình $(*)$ có ba nghiệm phân biệt thành cấp số cộng, khi đó: $x_{1} + x_{3} = 2 x_{2} .$
Theo định lý Viet đối với phương trình bậc ba, ta có: $x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{b}{a}$ $\Leftrightarrow 3 x_{2} = - \frac{b}{a}$ $\Leftrightarrow x_{2} = - \frac{b}{3 a} .$
Với $x_{2} = - \frac{b}{3 a}$ , thay vào phương trình $(*)$ , ta được: $a {(- \frac{b}{3 a})}^{3} + b {(- \frac{b}{3 a})}^{2}$ $+ c (- \frac{b}{3 a}) + d = 0$ $\Leftrightarrow 2 b^{3} - 9 a b c + 27 a^{2} d = 0.$
Đó chính là điều kiện cần để phương trình $(*)$ có $3$ nghiệm lập thành cấp số cộng.
Điều kiện đủ: Từ $2 b^{3} - 9 a b c + 27 a^{2} d = 0$ , suy ra phương trình $(*)$ có nghiệm $x_{2} = - \frac{b}{3 a}$ . Khi đó: $x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{b}{a}$ $\Leftrightarrow x_{1} + x_{3} - \frac{b}{3 a} = \frac{- b}{a}$ $\Leftrightarrow x_{1} + x_{3} = - \frac{2 b}{3 a} = 2 x_{2}$ $\Leftrightarrow x_{1}, x_{2}, x_{3}$ lập thành cấp số cộng.
Vậy, điều kiện cần và đủ để phương trình bậc ba $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ , với $a \neq 0$ có $3$ nghiệm lập thành cấp số cộng là: $2 b^{3} - 9 a b c + 27 a^{2} d = 0.$

Với bài toán chỉ có một tham số, trong điều kiện đủ ta có thể khẳng định bằng việc chỉ ra nghiệm cụ thể của phương trình, điều này rất quan trọng bởi ta còn phải khẳng định phương trình đã cho có $3$ nghiệm phân biệt.

Ví dụ 6. Xác định tham số $m$ để phương trình: $x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + m = 0$ $(1)$ có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt thành cấp số cộng, khi đó: $x_{1} + x_{3} = 2 x_{2} .$
Ta có: $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 3$ $\Leftrightarrow 3 x_{2} = 3$ $\Leftrightarrow x_{2} = 1.$
Với $x_{2} = - 1$ thay vào $(1)$ ta được: $11 - m = 0$ $\Leftrightarrow m = 11.$
Đó chính là điều kiện cần để $(1)$ có $3$ nghiệm lập thành cấp số cộng.
Điều kiện đủ: Với $m = 11$ , ta được: $x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 11 = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{1} = 1 - \sqrt{12} \\ x_{2} = 1 \\ x_{3} = 1 + \sqrt{12} \end{array}$ , thoả mãn điều kiện $x_{1} + x_{3} = 2 x_{2} .$
Vậy: với $m = 11$ , phương trình: $x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + m = 0$ có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

Bài toán trên có thể được giải bằng phương pháp hằng số bất định, như sau:
Phương trình $(1)$ có $3$ nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi phương trình $(1)$ có ba nghiệm $x_{0} - d$ , $x_{0}$ , $x_{0} + d$ với $d \neq 0.$
Khi đó: $x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + m$ $= [x - (x_{0} - d)]$ $(x - x_{0}) [x - (x_{0} + d)]$ $= x^{3} - 3 x_{0} x^{2}$ $+ (3 x_{0}^{2} - d^{2}) x + d^{2} x_{0} - x_{0}^{3}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} - 3 = - 3 x_{0} \\ - 9 = 3 x_{0}^{2} - d^{2} \\ m = - x_{0}^{3} + d^{2} x_{0} \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} x_{0} = 1 \\ d = \pm 2 \sqrt{3} \\ m = 11 \end{cases}$
Vậy: với $m = 11$ , phương trình $(1)$ có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

Bài toán: Tìm điều kiện của tham số để phương trình trùng phương $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ $(a \neq 0)$ $(*)$ có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

Phương pháp giải:
Đặt $t = x^{2}$ , điều kiện $t \geq 0.$
Khi đó, phương trình $(*)$ được biến đổi về dạng: $a t^{2} + b t + c = 0$ $(1) .$
Phương trình $(*)$ có bốn nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt dương $0 < t_{1} < t_{2} .$
$\Leftrightarrow {\begin{cases} Δ^{'} > 0 \\ - \frac{b}{a} > 0 \\ \frac{c}{a} > 0 \end{cases}$ $(2) .$
Khi đó bốn nghiệm của $(*)$ là $- \sqrt{t_{2}}$ , $- \sqrt{t_{1}}$ , $\sqrt{t_{1}}$ , $\sqrt{t_{2}} .$
Bốn nghiệm trên lập thành cấp số cộng khi:
${\begin{cases} - \sqrt{t_{2}} + \sqrt{t_{1}} = - 2 \sqrt{t_{1}} \\ - \sqrt{t_{1}} + \sqrt{t_{2}} = 2 \sqrt{t_{1}} \end{cases}$ $\Leftrightarrow \sqrt{t_{2}} = 3 \sqrt{t_{1}}$ $\Leftrightarrow t_{2} = 9 t_{1}$ $(3) .$
Theo định lí Viet ta có: ${\begin{cases} t_{1} + t_{2} = - \frac{b}{a} \\ t_{1} t_{2} = \frac{c}{a} \end{cases}$ $(4) .$
Thay $(3)$ vào $(4)$ được: ${\begin{cases} t_{1} + 9 t_{1} = \frac{- b}{a} \\ t_{1} . (9 t_{1}) = \frac{c}{a} \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} t_{1} = - \frac{b}{10 a} \\ t_{1}^{2} = \frac{c}{9 a} \end{cases}$ $\Rightarrow {(- \frac{b}{10 a})}^{2} = \frac{c}{9 a}$ $(5) .$
Kết hợp $(5)$ và $(2)$ ta được điều kiện của tham số.

Ví dụ 7. Cho phương trình: $x^{4} - 2 (m + 1) x^{2} + 2 m + 1 = 0$ $(*)$ . Xác định $m$ để phương trình có $4$ nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

Đặt $t = x^{2}$ , điều kiện $t \geq 0.$
Khi đó, phương trình $(*)$ được biến đổi về dạng: $t^{2} - 2 (m + 1) t + 2 m + 1 = 0$ $(1) .$
Phương trình $(*)$ có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt dương $0 < t_{1} < t_{2} .$
$\Leftrightarrow {\begin{cases} Δ^{'} > 0 \\ \frac{- b}{a} > 0 \\ \frac{c}{a} > 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} (m + 1)^{2} - 2 m - 1 > 0 \\ 2 (m + 1) > 0 \\ 2 m + 1 > 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow - \frac{1}{2} < m \neq 0 .$
Khi đó bốn nghiệm của $(*)$ là: $- \sqrt{t_{2}}$ , $- \sqrt{t_{1}}$ , $\sqrt{t_{1}}$ , $\sqrt{t_{2}} .$
Bốn nghiệm trên lập thành cấp số cộng khi: ${\begin{cases} - \sqrt{t_{2}} + \sqrt{t_{1}} = - 2 \sqrt{t_{1}} \\ - \sqrt{t_{1}} + \sqrt{t_{2}} = 2 \sqrt{t_{1}} \end{cases}$ $\Leftrightarrow \sqrt{t_{2}} = 3 \sqrt{t_{1}}$ $\Leftrightarrow t_{2} = 9 t_{1}$ $(2) .$
Theo định lí Viet ta có: ${\begin{cases} t_{1} + t_{2} = 2 (m + 1) \\ t_{1} t_{2} = 2 m + 1 \end{cases}$ $(3) .$
Thay $(2)$ vào $(3)$ được: ${\begin{cases} t_{1} + 9 t_{1} = 2 (m + 1) \\ t_{1} . (9 t_{1}) = 2 m + 1 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} 5 t_{1} = m + 1 \\ 9 t_{1}^{2} = 2 m + 1 \end{cases}$ $\Leftrightarrow 9 m^{2} - 32 m - 16 = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 4 \\ m = - \frac{4}{9} \end{array}$
Vậy: với $m = 4$ hoặc $m = - \frac{4}{9}$ thì phương trình $(*)$ có $4$ nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

Dạng toán 4. Tìm các phần tử của một cấp số cộng $(u_{n}) .$
Phương pháp: Thông thường bài toán được chuyển về xác định $u_{1}$ và công sai $d .$

Ví dụ 8. Cho cấp số cộng $(u_{n})$ thoả mãn $u_{2} - u_{3} + u_{5} = 10$ và $u_{1} + u_{6} = 17.$
a. Tìm số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng.
b. Tính tổng số của $20$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
c. Tính tổng $S^{'} = u_{5} + u_{6} + \dots + u_{24} .$

a. Gọi $d$ là công sai của cấp số cộng $(u_{n})$ , ta có:
${\begin{cases} u_{2} - u_{3} + u_{5} = 10 \\ u_{1} + u_{6} = 17 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} (u_{1} + d) - (u_{1} + 2 d) + (u_{1} + 4 d) = 10 \\ u_{1} + (u_{1} + 5 d) = 17 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} u_{1} + 3 d = 10 \\ 2 u_{1} + 5 d = 17 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} u_{1} = 1 \\ d = 3 \end{cases}$
Vậy: cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{1} = 1$ và $d = 3.$
b. Ta có: $S_{20} = \frac{20}{2} [2 u_{1} + (20 - 1) d]$ $= \frac{20}{2} [2.1 + (20 - 1) .3]$ $= 590.$
c. Ta có: $S^{'} = \frac{20}{2} [2 u_{5} + (20 - 1) d]$ $= \frac{20}{2} [2 (1 + 4.3) + (20 - 1) .3]$ $= 830.$

Ví dụ 9. Tìm số hạng đầu $u_{1}$ và công sai $d$ của các cấp số cộng $(u_{n})$ , biết ${\begin{cases} u_{7} + u_{15} = 60 \\ u_{4}^{2} + u_{12}^{2} = 1170 \end{cases}$

Ta biến đổi:
${\begin{cases} (u_{1} + 6 d) + (u_{1} + 14 d) = 60 \\ (u_{1} + 3 d)^{2} + (u_{1} + 11 d)^{2} = 1170 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} u_{1} + 10 d = 30 \\ u_{1}^{2} + 14 d u_{1} + 65 d^{2} = 585 \end{cases}$
$\Leftrightarrow {\begin{cases} u_{1} = 30 - 10 d \\ (30 - 10 d)^{2} + 14 d 30 - 10 d + 65 d^{2} = 585 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} u_{1} = 30 - 10 d \\ 5 d^{2} - 36 d + 63 = 0 \end{cases}$
$\Leftrightarrow {\begin{cases} u_{1} = 30 - 10 d \\ [\begin{matrix} d = 3 \\ d = \frac{21}{5} \end{matrix} \end{cases}$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} {\begin{matrix} d = 3 \\ u_{1} = 0 \end{matrix} \\ {\begin{matrix} d = \frac{21}{5} \\ u_{1} = - 12 \end{matrix} \end{array}$
Vậy: tồn tại hai cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{1} = 0$ và $d = 3$ hoặc $u_{1} = - 12$ và $d = \frac{21}{5}$ thoả mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 10. Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng $16$ và tổng bình phương của chúng bằng $84.$

Gọi $d = 2 x$ là công sai của cấp số cộng, ta có bốn số cần tìm là $a - 3 x$ , $a - x$ , $a + x$ , $a + 3 x .$
Khi đó, từ giả thiết ta có: $(a - 3 x) + (a - x)$ $+ (a + x) + (a + 3 x) = 16$ và $(a - 3 x)^{2} + (a - x)^{2}$ $+ (a + x)^{2} + (a + 3 x)^{2} = 84.$
$\Leftrightarrow {\begin{cases} 4 a = 16 \\ 4 a^{2} + 20 x^{2} = 84 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} a = 4 \\ x = \pm 1 \end{cases}$
Vậy, bốn số cần tìm là $1, 3, 5, 7.$

Chú ý: Cách đặt $d = 2 x$ giúp ta có thể biểu diễn bốn số cần tìm dưới dạng đối xứng $a - 3 x$ , $a - x$ , $a + x$ , $a + 3 x$ , giúp cho việc giải hệ bậc hai đơn giản hơn.

Kinh nghiệm giải toán:
+ Với ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, ta đặt: $a - x$ , $a$ , $a + x$ , trong đó $x$ là công sai.
+ Với bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, ta đặt: $a - 3 x$ , $a - x$ , $a + x$ , $a + 3 x$ , trong đó $2 x$ là công sai.
+ Với năm số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, ta đặt: $a - 2 x$ , $a - x$ , $a$ , $a + x$ , $a + 2 x$ , trong đó $x$ là công sai.

Dạng toán 5. Tính tổng cấp số cộng.
Phương pháp: Tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng $(u_{n})$ (có số hạng đầu tiên là $u_{1}$ và công sai $d$ ) được xác định bởi công thức: $S_{n} = u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n}$ $= \frac{n}{2} (u_{1} + u_{n})$ $= \frac{n}{2} [2 u_{1} + (n - 1) d] .$

Ví dụ 11. Tính tổng $S = 105 + 110 + 115 + \dots + 995.$

Xét cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{1} = 105$ và công sai $d = 5$ , ta có:
$995 = u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ $= 105 + 5 (n - 1)$ $\Leftrightarrow n = 179.$
$S = S_{179} = \frac{179}{2} (u_{1} + u_{179})$ $= \frac{179}{2} (105 + 995) = 98450.$

Ví dụ 12. Tính tổng sau: $S = 100^{2} - 99^{2} + 98^{2} - 97^{2}$ $+ \dots + 2^{2} - 1^{2} .$

Viết lại tổng $S$ dưới dạng: $S = 199 + 195 + \dots + 3.$
Xét cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{1} = 199$ và công sai $d = - 4$ , ta có:
$3 = u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ $= 199 - 4 (n - 1)$ $\Leftrightarrow n = 50.$
$S = S_{50} = \frac{50}{2} (u_{1} + u_{50})$ $= \frac{50}{2} (199 + 3) = 5050.$