Thực hiện các phép toán trên tập số phức

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán thực hiện các phép toán trên tập số phức: cộng, trừ, nhân, chia số phức, tìm phần thực và phần ảo của số phức, tính môđun số phức, số phức liên hợp … đây là dạng toán cơ bản trong chương trình Giải tích 12: Số phức.

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Các phép toán trên tập số phức
$(a+bi)+(c+di)$ $=(a+c)+(b+d)i.$
$(a+bi)–(c+di)$ $=(a–c)+(b–d)i.$
$(a+bi).(c+di)$ $=(ac–bd)+(bc+ad)i.$
$\frac{a+bi}{c+di}$ $=\frac{(a+bi)(c–di)}{(c+di)(c–di)}$ $=\frac{(ac+bd)+(bc–ad)i}{c^2+d^2}.$

2. Các định nghĩa
Số phức $z=a+bi$ $\left(a,b\in R;i^2=–1\right)$ có phần thực là $a$, phần ảo là $b.$
$a+bi=c+di$ $\iff \{\begin{array}{l}a=c\\ b=d\end{array}.$
$z=a+bi$ là số thực khi $b=0$; $z=a+bi$ là số thuần ảo khi $a=0.$
Số phức $z=a+bi$ có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ là điểm $M(a;b).$
Môđun của số phức $z=a+bi$ là: $|z|=\sqrt{a^2+b^2}.$
Số phức liên hợp của số phức $z=a+bi$ là số phức $\overline{z}=a–bi.$

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Ví dụ 1: Cho số phức $z=a+bi.$ Số phức $z^2$ có phần thực là:
A. $a+b.$
B. $a^2–b^2.$
C. $a–b.$
D. $a^2+b^2.$

Lời giải:
$z=a+bi$ $\Rightarrow z^2=a^2–b^2+2abi$ có phần thực là $a^2–b^2.$
Chọn đáp án B.

Ví dụ 2: Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Số phức $z=a+bi$ được biểu diễn bằng điểm $M(a;b)$ trong mặt phẳng $Oxy.$
B. Số phức $z=a+bi$ có môđun là $\sqrt{a^2+b^2}.$
C. Số phức $z=a+bi$ có số phức liên hợp là $z=–a+bi.$
D. Số phức $z=a+bi=0$ $\iff \{\begin{array}{l}a=0\\ b=0\end{array}.$

Lời giải:
Ta có số phức liên hợp của $z=a+bi$ là $\overline{z}=a–bi.$
Chọn đáp án C.

Ví dụ 3: Cho số phức $z=a+bi$ $(a,b\in R)$ tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Số phức liên hợp của $z$ có mô đun bằng mô đun của $iz.$
B. Mô đun của $z$ là một số thực dương.
C. $z^2=|z{|}^2.$
D. Điểm $M(–a;b)$ là điểm biểu diễn của $\bar{z}.$

Lời giải:
Ta có: $z=a+bi$ $\Rightarrow \overline{z}=a–bi$ $\Rightarrow |\overline{z}|=\sqrt{a^2+b^2}.$
$iz$ $=i(a+bi)$ $=–b+ai$ $\Rightarrow |iz|=\sqrt{a^2+b^2}$ $\Rightarrow |\overline{z}|=|iz|.$
Chọn đáp án A.

Ví dụ 4: Cho số phức $z=2–3i.$ Tìm phần thực $a$ của $z$?
A. $a=2.$
B. $a=3.$
C. $a=-2.$
D. $a=-3.$

Lời giải:
Theo định nghĩa số phức $z=a+bi$ $(a,b\in R)$ có phần thực là $a$ $\Rightarrow z=2–3i$ có phần thực $a=2.$
Chọn đáp án A.

Ví dụ 5: Cho hai số phức $z_1=i$ và $z_2=3+4i.$ Gọi $a$ là phần thực của số phức $z=z_1^{2018}–2z_2.$ Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $a^2–2a=100.$
B. $a+a^2=72.$
C. $a–a^2=–56.$
D. $a^2–a=42.$

Lời giải:
$z=z_1^{2018}–2z_2$ $=i^{2018}–2(3+4i)$ $={\left(i^2\right)}^{1009}–6–8i$ $=–7–8i.$
$\Rightarrow a=–7$ $\Rightarrow a–a^2=–56.$
Chọn đáp án C.

Ví dụ 6: Cho số phức $z=a+bi$ $(a,b\in R).$ Phần thực của số phức $z.\overline{z}$ bằng?
A. $a^2–b^2.$
B. $a^2+b^2.$
C. $a^2.$
D. $b^2.$

Lời giải:
$z.\overline{z}$ $=(a+bi)(a–bi)$ $=a^2+b^2$ có phần thực là $a^2+b^2.$
Chọn đáp án B.

Ví dụ 7: Cho số phức $z=2+i.$ Phần ảo của số phức $z^3+2z^2\overline{z}+3$ bằng?
A. $-25.$
B . $21i.$
C. $21.$
D. $25.$

Lời giải:
$z^3+2z^2\overline{z}+3$ $=(2+i{)}^3+2(2+i{)}^2(2–i)+3$ $=25+21i$ có phần ảo bằng $21.$
Chọn đáp án C.

Ví dụ 8: Cho hai số phức $z_1=3–4i$, $z_2=1+i.$ Tìm phần ảo $b$ của số $z=\frac{z_1}{z_2}+\left|z_1\right|z_2+2i.$
A. $b=\frac{15}{2}i.$
B. $b=–\frac{17}{2}.$
C. $b=\frac{17}{2}.$
D. $b=\frac{15}{2}.$

Lời giải:
$z=\frac{\overline{z_1}}{z_2}+\left|z_1\right|z_2+2i$ $=\frac{3+4i}{1+i}+|3–4i|(1+i)+2i$ $=\frac{17}{2}+\frac{15}{2}i$ có phần ảo $b=\frac{15}{2}.$
Chọn đáp án D.

Ví dụ 9: Hiệu phần thực và phần ảo của số phức $z=(1+2i)(3–i)$ là:
A. $6.$
B. $10.$
C. $5.$
D. $0.$

Lời giải:
Ta có $z=3–i+6i–2i^2$ $=5+5i$ nên hiệu phần thực và phần ảo của $z$ bằng $0.$
Chọn đáp án D.

Ví dụ 10: Cho số phức $z=(m+1–2i)(2m+3+i)$ với $m$ là tham số thực. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của $m$ để $z$ có phần thực bằng $5.$
A. $\left\{0,–\frac{5}{2}\right\}.$
B. $\left\{1,\frac{5}{2}\right\}.$
C. $\left\{–1,\frac{3}{2}\right\}.$
D. $\left\{2,–\frac{5}{3}\right\}.$

Lời giải:
$z=(m+1–2i)(2m+3+i)$ $=2m^2+5m+5+(–3m–5)i.$
$2m^2+5m+5=5$ $\iff [\begin{array}{l}m=0\\ m=–\frac{5}{2}\end{array}.$
Chọn đáp án A.

Ví dụ 11: Cho hai số phức $z=1+3i$, $w=2–i.$ Tìm phần ảo của số phức $u=\bar{z}.w.$
A. $5i.$
B. $-7i.$
C. $-7.$
D. $5.$

Lời giải:
$u=\overline{z}.w$ $=(1–3i)(2–i)$ $=–1–7i$ có phần ảo bằng $-7.$
Chọn đáp án C.

Ví dụ 12: Cho số phức $z=1–i+i^3.$ Tìm phần thực $a$ và phần ảo $b$ của $z.$
A. $a=1$, $b=-2.$
B. $a=-2$, $b=1.$
C. $a=1$, $b=0.$
D. $a=0$, $b=1.$

Lời giải:
$z=1–i+i^3=1–2i$ $\Rightarrow a=1$, $b=–2.$
Chọn đáp án A.

Ví dụ 13: Cho số phức $z=1+i+i^2+\dots +i^{2018}.$ Điểm biểu diễn của số phức $z$ trên mặt phẳng tọa độ là:
A. $M(1;0).$
B. $N(0;1).$
C. $P(1;1).$
D. $Q(1;-1).$

Lời giải:
$z=1+i+i^2+\dots +i^{2018}$ $=1.\frac{1–i^{2019}}{1–i}$ $=\frac{1–{\left(i^2\right)}^{1009}i}{1–i}=i$ có điểm biểu diễn là $N(0;1).$
Chọn đáp án B.

Ví dụ 14: Cho số phức $z_1=1–2i$, $z_2=–3+i.$ Tìm điểm biểu diễn của số phức $z=z_1+z_2$ trên mặt phẳng tọa độ.
A. $N(4;-3).$
B. $M(2;-5).$
C. $P(-2;-1).$
D. $Q(-1;7).$

Lời giải:
$z=z_1+z_2$ $=(1–2i)+(–3+i)$ $=–2–i$ có điểm biểu diễn là $P(-2;-1).$
Chọn đáp án C.

Ví dụ 15: Cho số phức $z=(3+i)(3–2i)+(2+i{)}^3$ có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ là $M(a;b).$ Tính $T=a+2b.$
A. $T=-29.$
B. $T=-3.$
C. $T=3.$
D. $T=29.$

Lời giải:
$z=(3+i)(3–2i)+(2+i{)}^3$ $=13+8i.$
$\Rightarrow a=13$, $b=8$ $\Rightarrow T=a+2b=29.$
Chọn đáp án D.

Ví dụ 16: Cho hai số phức $z_1=(1+i)(2+i)–i$, $z_2=(1+i{)}^5$ có các điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ lần lượt là $M$, $N.$ Tính độ dài đoạn $MN.$
A. $MN=\sqrt{13}.$
B. $MN=\sqrt{29}.$
C. $MN=3\sqrt{5}.$
D. $MN=\sqrt{61}.$

Lời giải:
$z_1=(1+i)(2+i)–i$ $=1+2i$ $\Rightarrow M(1;2)$; $z_2=(1+i{)}^5=–4–4i$ $\Rightarrow N(–4;–4).$
$\Rightarrow MN$ $=\sqrt{{(–4–1)}^2+{(–4–2)}^2}$ $=\sqrt{61}.$
Chọn đáp án D.

Ví dụ 17: Cho hai số phức $z_1=(1+i{)}^2$, $z_2=\frac{2+4i}{z_1}$ có các điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ lần lượt là $M$, $N.$ Tính diện tích $S$ của tam giác $OMN.$
A. $S=1.$
B. $S=\frac{3}{2}.$
C. $S=2.$
D. $S=\frac{5}{2}.$

Lời giải:
$z_1=(1+i{)}^2=2i$ $\Rightarrow M(0;2)$; $z_2=\frac{2+4i}{z_1}$ $=\frac{2+4i}{2i}=2–i$ $\Rightarrow N(2;–1).$
$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{OM}=(0;2)\\ \overrightarrow{ON}=(2;–1)\end{array}$ $\Rightarrow S=\frac{1}{2}\left|0\times (–1)–2\times 2\right|=2.$
Chọn đáp án C.

Ví dụ 18: Cho số phức $z=3–i.$ Tính môđun của số phức $\omega =z^2–(1+i)z+2.$
A. $|\omega |=2\sqrt{2}.$
B. $|\omega |=8.$
C. $|\omega |=10.$
D. $|\omega |=100.$

Lời giải:
$\omega =z^2–(1+i)z+2$ $=(3–i{)}^2–(1+i)(3–i)+2$ $=6–8i.$
$\Rightarrow |\omega |=\sqrt{6^2+{(–8)}^2}=10.$
Chọn đáp án C.

Ví dụ 19: Cho số phức $z=3+4i.$ Tính môđun của số phức $\omega =(z+i)(2+\overline{z})+3|z|.$
A. $|\omega |=2669.$
B. $|\omega |=\sqrt{2669}.$
C. $|\omega |=113.$
D. $|\omega |=\sqrt{113}.$

Lời giải:
$\omega =(z+i)(2+\overline{z})+3|z|$ $=(3+4i+i)(2+3–4i)+3|3+4i|$ $=50+13i.$
$\Rightarrow |\omega |=\sqrt{{50}^2+{13}^2}=\sqrt{2669}.$
Chọn đáp án B.

Ví dụ 20: Cho hai số phức $z_1=1–2i$, $z_2=3+i.$ Tính môđun của số phức $\omega =\left(z_1+z_2\right)z_1+\left(z_2+3\right)(2–i).$
A. $|\omega |=394.$
B. $|\omega |=\sqrt{394}.$
C. $|\omega |=231.$
D. $|\omega |=\sqrt{231}.$

Lời giải:
$\omega =\left(z_1+z_2\right)z_1+\left(z_2+3\right)(2–i).$
$=(1–2i+3+i)(1–2i)$ $+(3+i+3)(2–i)$ $=15–13i.$
$\Rightarrow |\omega |=\sqrt{{15}^2+{(–13)}^2}=\sqrt{394}.$
Chọn đáp án B.

Ví dụ 21: Cho hai số phức $z_1=2+mi$, $z_2=n+i$ $(m,n\in R).$ Tìm số phức liên hợp của số phức $\omega =2z_1+3z_2.$
A. $\overline{\omega }=4+3n–(2m+3)i.$
B. $\overline{\omega }=4+3n+(2m+3)i.$
C. $\overline{\omega }=–4–3n+(2m+3)i.$
D. $\overline{\omega }=–4–3n–(2m+3)i.$

Lời giải:
$\omega =2z_1+3z_2$ $=2(2+mi)+3(n+i)$ $=4+3n+(2m+3)i.$
$\Rightarrow \overline{\omega }=4+3n–(2m+3)i.$
Chọn đáp án A.

Ví dụ 22: Cho số phức $z=2+mi$ $(m\in R).$ Tìm số phức liên hợp của số phức $\omega =(z+2)(1+i)+3i.$
A. $\overline{\omega }=4–m+(m+7)i.$
B. $\overline{\omega }=4–m–(m+7)i.$
C. $\overline{\omega }=–4+m–(m+7)i.$
D. $\overline{\omega }=–4+m+(m+7)i.$

Lời giải:
$\omega =(4+mi)(1+i)+3i$ $=4–m+(m+4)i+3i$ $=4–m+(m+7)i.$
$\Rightarrow \overline{\omega }=4–m–(m+7)i.$
Chọn đáp án B.

Ví dụ 23: Cho số phức $z=1+2i.$ Điểm biểu diễn số phức liên hợp của số phức $\omega =(\overline{z+i})(2+i)–4i$ trong mặt phẳng tọa độ là?
A. $M(5;-9).$
B. $N(-5;-9).$
C. $P(5;9).$
D. $Q(-5;9).$

Lời giải:
$\omega =(\overline{z+i})(2+i)–4i$ $=(1–3i)(2+i)–4i$ $=5–9i$ $\Rightarrow \overline{\omega }=5+9i$ có điểm biểu diễn là $P(5;9).$
Chọn đáp án C.

Ví dụ 24: Cho số phức $z=m+2i$ $(m\in R).$ Tìm $m$ để $(z+3)(1+2i)$ là một số thuần ảo.
A. $m=5.$
B. $m=1.$
C. $m=-1.$
D. $m=-5.$

Lời giải:
$(z+3)(1+2i)$ $=(3+m+2i)(1+2i)$ $=(m–1)+(2m+8)i.$
$\Rightarrow (z+3)(1+2i)$ là số thuần ảo khi $m–1=0$ $\iff m=1.$
Chọn đáp án B.

Ví dụ 25: Cho số phức $z=3+mi$ $(m\in R).$ Tìm $m$ để $(\overline{z}+1)(2–i)$ là một số thực.
A. $m=8.$
B. $m=2.$
C. $m=-2.$
D. $m=-8.$

Lời giải:
$(\overline{z}+1)(2–i)$ $=(4–mi)(2–i)$ $=(8–m)+(–2m–4)i.$
$\Rightarrow (\overline{z}+1)(2–i)$ là số thực khi $–2m–4=0$ $\iff m=–2.$
Chọn đáp án C.

Ví dụ 26: Cho số phức $z=m+ni$ $(m,n\in R)$ thỏa mãn $(z+1)(1+i)=3+5i.$ Tính $S=m+2n.$
A. $S=-7.$
B. $S=-5.$
C. $S=5.$
D. $S=7.$

Lời giải:
$(z+1)(1+i)=3+5i$ $\iff (m+1+ni)(1+i)=3+5i.$
$\iff m+1–n+(m+1+n)i=3+5i.$
$\iff \{\begin{array}{l}m+1–n=3\\ m+1+n=5\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}m=3\\ n=1\end{array}$ $\Rightarrow S=m+2n=5.$
Chọn đáp án C.

Ví dụ 27: Tìm tất cả các số thực $x$, $y$ sao cho $x^2–1+yi=–1+2i.$
A. $x=\sqrt{2}$, $y=2.$
B. $x=–\sqrt{2}$, $y=2.$
C. $x=0$, $y=2.$
D. $x=\sqrt{2}$, $y=–2.$

Lời giải:
$x^2–1+yi=–1+2i$ $\iff \{\begin{array}{l}{x}^2–1=–1\\ y=2\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ y=2\end{array}.$
Chọn đáp án C.

Ví dụ 28: Cho $x,y\in R$ là hai số thực thỏa mãn $\frac{x+yi}{1–i}=3+2i.$ Tính $S=x+y+xy.$
A. $S=-9.$
B. $S=-1.$
C. $S=1.$
D. $S=9.$

Lời giải:
Ta có: $\frac{x+yi}{1–i}=3+2i$ $\iff x+yi=(3+2i)(1–i)$ $\iff x+yi=5–i$ $\iff \{\begin{array}{l}x=5\\ y=–1\end{array}.$
$\Rightarrow S=x+y+xy=–1.$
Chọn đáp án B.

Ví dụ 29: Trên tập số phức cho $(2x+y)+(2y–x)i$ $=(x–2y+3)+(y+2x+1)i$ với $x,y\in R.$ Tính giá trị của biểu thức $S=x+y.$
A. $S=1.$
B. $S=2.$
C. $S=-1.$
D. $S=-2.$

Lời giải:
Ta có $(2x+y)+(2y–x)i$ $=(x–2y+3)+(y+2x+1)i.$
$\iff \{\begin{array}{l}2x+y=x–2y+3\\ 2y–x=y+2x+1\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ y=1\end{array}$ $\Rightarrow S=x+y=1.$
Chọn đáp án A.

Ví dụ 30: Cho $x,y\in R$ thỏa mãn $x+2y+(2x–y)i$ $=2x+y+(x+2y)i.$ Tính $S=2x+4y.$
A. $S=-1.$
B. $S=0.$
C. $S=1.$
D. $S=2.$

Lời giải:
$x+2y+(2x–y)i$ $=2x+y+(x+2y)i.$
$\iff (x+2y–2x–y)$ $+(2x–y–x–2y)i=0.$
$\iff (y–x)+(x–3y)i=0$ $\iff \{\begin{array}{l}x=y\\ x=3y\end{array}$ $\iff x=y=0$ $\Rightarrow S=2x+4y=0.$
Chọn đáp án B.

Ví dụ 31: Cho số phức $z=a+bi$ $(a,b\in R)$ thoả mãn $z+2+i=|z|.$ Tính $S=4a+b.$
A. $S=4.$
B. $S=2.$
C. $S=-2.$
D. $S=-4.$

Lời giải:
$z+2+i=|z|$ $\iff (a+2)+(b+1)i$ $=\sqrt{a^2+b^2}.$
$\iff \{\begin{array}{l}a+2=\sqrt{a^2+b^2}\\ b+1=0\end{array}.$
$\iff \{\begin{array}{l}b=–1\\ {(a+2)}^2=a^2+1\\ a\ge –2\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}a=–\frac{3}{4}\\ b=–1\end{array}$ $\Rightarrow S=4a+b=–4.$
Chọn đáp án D.

Ví dụ 32: Cho số phức $z=a+bi$ $(a,b\in R)$ có phần thực gấp ba lần phần ảo và thỏa mãn $(z+1)(2–i)$ là một số thuần ảo. Tính $S=a+4b.$
A. $S=–\frac{26}{7}.$
B. $S=–2.$
C. $S=2.$
D. $S=\frac{26}{7}.$

Lời giải:
$z=a+bi$ có phần thực gấp ba lần phần ảo $\Rightarrow a=3b$ $(1).$
$(z+1)(2–i)$ $=(a+1+bi)(2–i)$ $=(2a+b+2)+(2b–a–1)i.$
$(z+1)(2–i)$ là số thuần ảo $\Rightarrow 2a+b+2=0$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ $\Rightarrow a=–\frac{6}{7}$, $b=–\frac{2}{7}$ $\Rightarrow S=a+4b=–2.$
Chọn đáp án B.

Ví dụ 33: Cho hai số phức $z_1=1+2i$ và $z_2=m–3+\left(m^2–6\right)i$ $(m\in R).$ Tìm $S$ là tổng tất cả các giá trị $m$ để $z_1+z_2$ là số thực.
A. $S=0.$
B. $S=2.$
C. $S=4.$
D. $S=-4.$

Lời giải:
$z_1+z_2=m–2+\left(m^2–4\right)i$; $z_1+z_2$ là số thực $\Rightarrow m^2–4=0$ $\iff m=2\vee m=–2.$
$\Rightarrow S=2+(–2)=0.$
Chọn đáp án A.

Ví dụ 34: Cho số phức $z=a+bi$ $(a,b\in R)$ có phần ảo gấp đôi phần thực và thỏa mãn $(\overline{z}+1)(1–i)$ là một số thực. Tính $S=2a+3b.$
A. $S=–\frac{8}{3}.$
B. $S=–\frac{7}{3}.$
C. $S=\frac{7}{3}.$
D. $S=\frac{8}{3}.$

Lời giải:
$z=a+bi$ có phần ảo gấp đôi phần thực $\Rightarrow b=2a$ $(1).$
$(\overline{z}+1)(1–i)$ $=(a+1–bi)(1–i)$ $=(a+1–b)+(–a–1–b)i.$
$(\overline{z}+1)(1–i)$ là số thực $\Rightarrow –a–b–1=0$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ $\Rightarrow a=–\frac{1}{3}$, $b=–\frac{2}{3}$ $\Rightarrow S=2a+3b=–\frac{8}{3}.$
Chọn đáp án A.

Ví dụ 35: Cho số phức $z=a+bi$ $(a,b\in R)$ thỏa mãn $|z+1+i|=|\overline{z}+2+i|$ và $(2z+1)(1+i)$ có phần thực bằng phần ảo. Tính $S=a+3b.$
A. $S=–\frac{9}{2}.$
B. $S=–\frac{3}{2}.$
C. $S=\frac{3}{2}.$
D. $S=\frac{9}{2}.$

Lời giải:
$|z+1+i|=|\overline{z}+2+i|$ $\iff |a+1+(b+1)i|$ $=|a+2+(1–b)i|.$
$\iff \sqrt{{(a+1)}^2+{(b+1)}^2}$ $=\sqrt{{(a+2)}^2+{(1–b)}^2}.$
$\iff a^2+2a+1+b^2+2b+1$ $=a^2+4a+4+1–2b+b^2$ $\iff 2a–4b=–3$ $(1).$
$(2z+1)(1+i)$ $=(2a+1+2bi)(1+i)$ $=(2a+1–2b)+(2a+1+2b)i.$
$(2z+1)(1+i)$ có phần thực bằng phần ảo.
$\Rightarrow 2a+1–2b=2a+1+2b$ $\Rightarrow b=0$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $a=–\frac{3}{2}$, $b=0$ $\Rightarrow S=a+3b=–\frac{3}{2}.$
Chọn đáp án B.

Nguồn: toanmath.com