Tổng hợp key Windows 8, Windows 10, Windows 11, Office 2019 ProPlus, Office 2016 ProPlus, Office 2013 ProPlus tại đây!

Áp dụng công thức Moa

Bài viết hướng dẫn cách áp dụng công thức Moa-vrơ (Moivre) để tính căn bậc $n$ của số phức thông qua quá trình thiết lập công thức tổng quát và các ví dụ minh họa đi kèm có lời giải chi tiết.

Xem thêm:
+ Viết số phức dưới dạng lượng giác
+ Tìm căn bậc hai của một số phức

Phương pháp
1. Tính căn bậc hai của số phức
Căn bậc hai của số phức $z$ là số phức $w$ thỏa ${w^2} = z$.
+ Căn bậc hai của $0$ bằng $0.$
+ Với $z \ne 0$ và $z = r(c{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi )$ với $r > 0.$
Đặt $w = R(c{\rm{os}}\theta + i \sin \theta )$ với $R > 0$ thì:
${{\rm{w}}^2} = z$ ⇔ ${R^2}(c{\rm{os}}2\theta + i \sin 2\theta ) = r(c{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi )$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{R^2} = r\\
2\theta = \varphi + k2\pi , k \in Z
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
R = \sqrt r \\
\theta = \frac{\varphi }{2} + k\pi , k \in Z
\end{array} \right.$
Từ đó suy ra: Số phức $z = r(c{\rm{os}}\varphi + i\sin \varphi )$ có $2$ căn bậc hai là: ${{\rm{w}}_1} = \sqrt r \left( {c{\rm{os}}\frac{\varphi }{2} + i\sin \frac{\varphi }{2}} \right)$ và ${{\rm{w}}_2} = \sqrt r \left( {c{\rm{os}}\left( {\frac{\varphi }{2} + \pi } \right) + i \sin \left( {\frac{\varphi }{2} + \pi } \right)} \right)$ $ = – \sqrt r \left( {c{\rm{os}}\frac{\varphi }{2} + i\sin \frac{\varphi }{2}} \right).$

2. Tính căn bậc $n$ của số phức
Căn bậc $n$ của số phức $z$ là số phức $w$ thỏa ${w^n} = z$.
Với $z \ne 0$ và $z = r(c{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi )$ với $r > 0.$
Đặt $w = R(c{\rm{os}}\theta + i \sin \theta )$ với $R > 0$ thì:
${{\rm{w}}^n} = z \Leftrightarrow {R^n}(c{\rm{osn}}\theta + i {\mathop{\rm sinn}\nolimits} \theta )$ $ = r(c{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi )$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{R^n} = r\\
n\theta = \varphi + k2\pi , k \in Z
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
R = \sqrt[n]{r}\\
\theta = \frac{\varphi }{n} + \frac{{k2\pi }}{n}, k \in Z
\end{array} \right.$
Bằng cách chọn $k = 0, 1, 2, …, n-1$ ta được $n$ căn bậc $n$ của $z$ là:
${w_1} = \sqrt[n]{r}\left( {\cos \frac{\varphi }{n} + i\sin \frac{\varphi }{n}} \right).$
${w_2}$ = $\sqrt[n]{r}\left( {\cos \left( {\frac{\varphi }{n} + \frac{{2\pi }}{n}} \right) + i\sin \left( {\frac{\varphi }{n} + \frac{{2\pi }}{n}} \right)} \right).$
…..
${w_n}$ = $\sqrt[n]{r}(\cos \left( {\frac{\varphi }{n} + \frac{{2\pi (n – 1)}}{n}} \right)$ $ + i\sin \left( {\frac{\varphi }{n} + \frac{{2\pi (n – 1)}}{n}} \right)).$
[ads]
Ví dụ 1.  Tìm căn bậc hai của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác ${\rm{w}} = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i.$

Ta có $w = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}.$
Đặt $z = r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)$ với $r > 0$ là một căn bậc hai của $w$, ta có:
${z^2} = w$ ⇔ ${r^2}\left( {\cos 2\varphi + i\sin 2\varphi } \right)$ $ = \cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
r = 1\\
2\varphi = \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in Z
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
r = 1\\
\varphi = \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in Z
\end{array} \right.$
Vậy $w$ có hai căn bậc hai là: ${z_1} = \cos \frac{\pi }{6} + i\sin \frac{\pi }{6}$ và ${z_2} = \cos \frac{{7\pi }}{6} + i\sin \frac{{7\pi }}{6}.$

Ví dụ 2. Tính căn bậc ba của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác: $w = – 1 + i\sqrt 3 .$

Ta có: $w = – 1 + i\sqrt 3 = 2\left( { – \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$ $ = 2\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3} + i\sin \frac{{2\pi }}{3}} \right).$
Suy ra $w$ có môđun $R = 2$ và một acgumen $\theta = \frac{{2\pi }}{3}.$
Do đó, căn bậc ba của $w$ là số phức $z$ có: môđun $r = \sqrt[3]{2}$ và một acgumen $\phi = \frac{\theta }{3} + \frac{{k2\pi }}{3} = \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{k2\pi }}{3},k \in Z.$
Lấy $k = 0,1,2$ thì $\varphi $ có ba giá trị:
${\varphi _1} = \frac{{2\pi }}{9}$, ${\varphi _2} = \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{8\pi }}{9}$, ${\varphi _3} = \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{4\pi }}{3} = \frac{{14\pi }}{9}.$
Vậy $w = – 1 + i\sqrt 3 $ có $3$ căn bậc ba là: ${z_1} = \sqrt[3]{2}\left( {\cos \frac{{2\pi }}{9} + i\sin \frac{{2\pi }}{9}} \right)$, ${z_2} = \sqrt[3]{2}\left( {\cos \frac{{8\pi }}{9} + i\sin \frac{{8\pi }}{9}} \right)$, ${z_3} = \sqrt[3]{2}\left( {\cos \frac{{14\pi }}{9} + i\sin \frac{{14\pi }}{9}} \right).$

Ví dụ 3. Tính căn bậc bốn của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác: $w = i.$

Ta có: $w = i = \cos \frac{\pi }{2} + i\sin \frac{\pi }{2}$ có môđun $R = 1$ và một acgumen $\theta = \frac{\pi }{2}.$
Suy ra căn bậc bốn của $w$ là số phức $z$ có: môđun $r = 1$ và một acgumen $\varphi = \frac{\theta }{4} + \frac{{k2\pi }}{4} = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2},k \in Z.$
Lấy $k = 0,1,2,3$ ta có $4$ giá trị của $\varphi$: ${\varphi _1} = \frac{\pi }{8}$, ${\varphi _2} = \frac{\pi }{8} + \frac{\pi }{2} = \frac{{5\pi }}{8}$, ${\varphi _3} = \frac{\pi }{8} + \pi = \frac{{9\pi }}{8}$, ${\varphi _4} = \frac{\pi }{8} + \frac{{3\pi }}{2} = \frac{{13\pi }}{8}.$





Nguồn: toanmath.com

Đăng nhận xét

About the Author

Ngày hôm nay cho tôi buồn một lúc
Sau nhiều năm bươn trải kiếp con người
Cố gượng cười mà lòng có thảnh thơi
Thèm được khóc như cái thời nhỏ dại
Oops!
It seems there is something wrong with your internet connection. Please connect to the internet and start browsing again.
AdBlock Detected!
We have detected that you are using adblocking plugin in your browser.
The revenue we earn by the advertisements is used to manage this website, we request you to whitelist our website in your adblocking plugin.