Phương pháp giải phương trình logarit và bất phương trình logarit

Bài viết phân dạng và hướng dẫn phương pháp giải các dạng toán phương trình logarit và bất phương trình logarit trong chương trình Giải tích 12 chương 2, kiến thức và các ví dụ trong bài viết được tham khảo từ các tài liệu lũy thừa – mũ – logarit được đăng tải trên TOANMATH.com.

A. KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ
1. ${\log }_{a}f\left(x\right)={\log }_{a}g\left(x\right)$ $\iff \{\begin{array}{l}f\left(x\right)=g\left(x\right)\\ f\left(x\right)\ge 0\left(g\left(x\right)\ge 0\right)\end{array}$
2. ${\log }_{a}f\left(x\right)=b\iff f\left(x\right)=a^b.$
3. ${\log }_{a}f\left(x\right)>{\log }_{a}g\left(x\right)$ $(\ast ).$
+ Nếu $a>1$ thì $(\ast )\iff \{\begin{array}{l}f\left(x\right)>g\left(x\right)\\ g\left(x\right)>0\end{array}$
+ Nếu $0<a<1$ thì $(\ast )\iff \{\begin{array}{l}f\left(x\right)<g\left(x\right)\\ f\left(x\right)>0\end{array}$
Chú ý: ${\log }_{a}f\left(x\right)$ có nghĩa $\iff \{\begin{array}{l}f\left(x\right)>0\\ 0<a\ne 1\end{array}$
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Dạng 1. Biến đổi, quy về cùng cơ số
Phương pháp:
${\log }_{a}f\left(x\right)={\log }_{a}g\left(x\right)$ $\iff \{\begin{array}{l}0<a\ne 1\\ f\left(x\right)=g\left(x\right)>0\end{array}$
Phương trình logarit cơ bản: ${\log }_{a}x=b$, $\left(0<a\ne 1\right).$
* ${\log }_{a}x=b\iff x=a^b$, $\left(0<a\ne 1\right)$.
* $\lg x=b\iff x={10}^b$, $\ln x=b\iff x=e^b$.

Ví dụ 1. Giải các phương trình:
1. ${\log }_{25}{\left(4x+5\right)}^2+{\log }_{5}x={\log }_{3}27.$
2. ${\log }_{2}x+{\log }_{3}x+{\log }_{4}x={\log }_{20}x.$

1. Điều kiện: $x>0.$
Phương trình đã cho trở thành: ${\log }_5\left(4x+5\right)+{\log }_{5}x=3$ $\iff {\log }_5(4x^2+5x)=3$ $\iff 4x^2+5x=125$ $\iff x=5$ hoặc $x=\frac{25}{4}.$
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm $x=5$ hoặc $x=\frac{25}{4}.$
2. Điều kiện $x>0.$ Bài toán áp dụng công thức đổi cơ số ${\log }_{a}x=\frac{{\log }_{b}x}{{\log }_{b}a}.$
Phương trình đã cho $\iff {\log }_{2}x+\frac{{\log }_{2}x}{{\log }_{2}3}+\frac{{\log }_{2}x}{{\log }_{2}4}=\frac{{\log }_{2}x}{{\log }_{2}20}$
$\iff {\log }_{2}x\left(1+\frac{1}{{\log }_{2}3}+\frac{1}{{\log }_{2}4}–\frac{1}{{\log }_{2}20}\right)=0$ $\iff {\log }_{2}x=0\iff x=1.$
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm $x=1.$
Chú ý: Ngoài ra bài toán trên ta có thể dùng công thức ${\log }_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}$ sẽ giải quyết nhanh gọn và đẹp hơn.

Ví dụ 2. Giải phương trình: ${\log }_3{\left(x–2\right)}^2+{\log }_{\sqrt{3}}\frac{x}{x^2–3x+3}=0.$

Điều kiện: $0<x\ne 2.$
Phương trình đã cho viết lại ${\log }_3{\left(x–2\right)}^2+{\log }_3{\left(\frac{x}{x^2–3x+3}\right)}^2=0$
$\iff {\log }_3\left[{\left(x–2\right)}^2.{\left(\frac{x}{x^2–3x+3}\right)}^2\right]=0$
$\iff {\left(x–2\right)}^2.{\left(\frac{x}{x^2–3x+3}\right)}^2=1.$
Giải phương trình này ta được $x=1,x=\frac{3}{2},x=3.$

Ví dụ 3. Giải phương trình: ${\log }_2\left(8–x^2\right)$ $+{\log }_{\frac{1}{2}}\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1–x}\right)–2=0.$

Với $x\in \left[–1;1\right]$ phương trình đã cho viết lại: ${\log }_2\left(8–x^2\right)$ $=2+{\log }_2\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1–x}\right)$
$\iff 8–x^2=4\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1–x}\right)$ $(\ast ).$
Đặt $t=\sqrt{1+x}+\sqrt{1–x}$, phương trình $(\ast )$ trở thành: ${\left(\mathrm{t}–2\right)}^2\left({\mathrm{t}}^2+4\mathrm{t}+8\right)=0$, phương trình này có nghiệm $t=2$ hay $\sqrt{1+x}+\sqrt{1–x}=2$. Bình phương $2$ vế và rút gọn ta được $x=0.$

Ví dụ 4. Giải phương trình: $\lg \sqrt{1+x}+3\lg \sqrt{1–x}–2=\lg \sqrt{1–x^2}.$

Điều kiện: $\{\begin{array}{l}1+x>0\\ 1–x>0\\ 1–x^2>0\end{array}$ $\iff –1<x<1.$
Để ý: $\lg \sqrt{1–x^2}=\lg \sqrt{1+x}\sqrt{1–x}$ $=\lg \sqrt{1+x}+\lg \sqrt{1–x}.$
Phương trình đã cho $\iff \lg \sqrt{1+x}+3\lg \sqrt{1–x}–2$ $=\lg \sqrt{1+x}+\lg \sqrt{1–x}$
$\iff \lg \sqrt{1–x}=1$ $\iff \sqrt{1–x}=10$ $\iff 1–x=100\iff x=–99.$
Kết hợp với điều kiện suy ra phương trình vô nghiệm.

Dạng 2. Đặt ẩn phụ
Phương pháp: $f\left[{\log }_{a}g\left(x\right)\right]=0$ $\left(0<a\ne 1\right)$ $\iff \{\begin{array}{l}t={\log }_{a}g\left(x\right)\\ f\left(t\right)=0\end{array}$
Ta chú ý công thức đổi cơ số: ${\log }_{b}x=\frac{{\log }_{a}x}{{\log }_{a}b}$ $\Rightarrow {\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$ $\mathrm{\forall }a,b,x>0;a,b\ne 1.$

Ví dụ 5. Giải các phương trình:
1. ${\log }_{2}x+\sqrt{10{\log }_{2}x+6}=9.$
2. $\sqrt{{\log }_{9}x+1}+\sqrt{{\log }_{3}x+3}=5.$
3. $4^{{\log }_{2}2\mathrm{x}}–x^{{\log }_{2}6}={2.3}^{{\log }_{2}4x^2}.$

1. Điều kiện: $x>0$ và $10{\log }_{2}x+6\ge 0.$
Đặt $t={\log }_{2}x$, phương trình đã cho đưa về dạng: $\sqrt{10t+6}=9–t$ $\iff \{\begin{array}{l}9–t\ge 0\\ 10t+6={\left(9–t\right)}^2\end{array}$ từ đây ta tìm được $t=3$ tức $x=8.$
Vậy, phương trình cho có nghiệm $x=8.$
2. Điều kiện: $x>0$ và ${\log }_{3}x+3\ge 0,$ ${\log }_{9}x+1\ge 0.$
Đặt $t={\log }_{3}x$, phương trình đã cho về dạng $\sqrt{\frac{1}{2}t+1}+\sqrt{t+3}=5$ $(1).$
Với điều kiện $t\ge –2$, bình phương hai vế của $(1)$ và rút gọn ta được: $\sqrt{\frac{1}{2}{t}^2+\frac{5}{2}t+3}=21–\frac{3}{2}t$ $\iff \{\begin{array}{l}–2\le t\le 14\\ t^2–292t+1716=0\end{array}$ $\Rightarrow t=6$ tức $x=64.$
Vậy, phương trình cho có nghiệm $x=64.$
3. Điều kiện: $x>0.$
Phương trình đã cho $\iff 4^{1+{\log }_{2}x}–6^{{\log }_{2}x}={2.3}^{2+2{\log }_{2}x}$ $\iff {4.4}^{{\log }_{2}x}–6^{{\log }_{2}x}–{18.9}^{{\log }_{2}x}=0$ $\iff 4.{\left(\frac{2}{3}\right)}^{{\log }_{2}x}–{\left(\frac{2}{3}\right)}^{{\log }_{2}x}–18=0.$
Đặt $t={\left(\frac{2}{3}\right)}^{{\log }_{2}x},t>0$, ta có: $4t^2–t–18=0\iff t=\frac{9}{4}$ $\iff {\left(\frac{2}{3}\right)}^{{\log }_{2}x}=\frac{9}{4}={\left(\frac{2}{3}\right)}^{–2}$ $\iff {\log }_{2}x=–2\iff x=\frac{1}{4}.$
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm $x=\frac{1}{4}.$

Ví dụ 6. Giải phương trình: ${\log }_{2}x{\left(x–1\right)}^2$ $+{\log }_{2}x.{\log }_2\left(x^2–x\right)–2=0.$

Điều kiện: $x>1.$
Biến đổi phương trình về dạng:
${\log }_2\frac{{\left(x^2–x\right)}^2}{x}$ $+{\log }_{2}x.{\log }_2\left(x^2–x\right)–2=0$
$\iff 2{\log }_2\left(x^2–x\right)–{\log }_{2}x$ $+{\log }_{2}x.{\log }_2\left(x^2–x\right)–2=0$ $(\ast ).$
Đặt $u={\log }_2\left(x^2–x\right)$ và $v={\log }_{2}x.$ Đưa phương trình $(\ast )$ về phương trình:
$\left(u–1\right)\left(v+2\right)=0$
$\iff u=1$ hoặc $v=–2.$
+ Với $u=1$ thì ${\log }_2\left(x^2–x\right)=1$ $\iff x^2–x=2\iff x=2.$
+ Với $v=–2$ thì ${\log }_{2}x=–2\iff x=\frac{1}{4}$ (không thỏa mãn điều kiện).
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm $x=2.$

Dạng 3. Biến đổi phương trình về dạng tích
Phương pháp: $f\left(x\right).g\left(x\right)=0$ $\iff f\left(x\right)=0$ hoặc $g\left(x\right)=0.$

Ví dụ 7. Giải phương trình: ${\log }_{3}x+{\log }_{4}x={\log }_{5}x.$

Dễ thấy: ${\log }_{4}x={\log }_{4}3.{\log }_{3}x$, ${\log }_{5}x={\log }_{5}3.{\log }_{3}x.$
Với $x>0$. Phương trình được viết dưới dạng:
${\log }_{3}x+{\log }_{4}3.{\log }_{3}x={\log }_{5}3.{\log }_{3}x$ $\iff {\log }_{3}x=0\iff x=1.$
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm $x=1.$

Ví dụ 8.  Giải các phương trình:
1. ${\log }_{5x}\frac{5}{x}+{\log }_5^{2}x=1.$
2. ${\log }_{x^2}16+{\log }_{2x}64=3.$

1. Điều kiện: $0<x\ne \frac{1}{5}.$
Phương trình đã cho $\iff \frac{{\log }_5\frac{5}{x}}{{\log }_{5}5x}+{\log }_5^{2}x=1$ $\iff \frac{1–{\log }_{5}x}{1+{\log }_{5}x}+{\log }_5^{2}x=1$
$\iff {\log }_{5}x({\log }_5^{2}x+{\log }_{5}x–2)=0$ $\iff {\log }_{5}x\left({\log }_{5}x–1\right)\left({\log }_{5}x+2\right)=0$
$\iff [\begin{array}{l}{\log }_{5}x=0\\ {\log }_{5}x=1\\ {\log }_{5}x=–2\end{array}$ $\iff [\begin{array}{l}x=1\\ x=5\\ x=5^{–2}\end{array}$
Vậy phương trình có ba nghiệm: $x=1;x=5;x=\frac{1}{25}.$
2. Điều kiện: $0<x\ne 1,x\ne \frac{1}{2}.$
Phương trình đã cho $\iff \frac{{\log }_{2}16}{{\log }_2{x}^2}+\frac{{\log }_{2}64}{{\log }_{2}2x}=3$ $\iff \frac{2}{{\log }_{2}x}+\frac{6}{1+{\log }_{2}x}=3$
$\iff 3{\log }_2^{2}x–5{\log }_{2}x–2=0$ $\iff \left({\log }_{2}x–2\right)\left(3{\log }_{2}x+1\right)=0$
$\iff [\begin{array}{l}{\log }_{2}x=2\\ {\log }_{2}x=–\frac{1}{3}\end{array}$ $\iff [\begin{array}{l}x=4\\ x=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\end{array}$
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: $x=4;x=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}.$

Dạng 4. Phương pháp đồ thị
Phương pháp:
Giải phương trình: ${\log }_{a}x=f\left(x\right)$ $\left(0<a\ne 1\right)$ $(\ast ).$
$(\ast )$ là phương trình hoành độ giao điểm của $2$ đồ thị $y={\log }_{a}x$ $\left(0<a\ne 1\right)$ và $y=f\left(x\right)$. Khi đó ta thực hiện 2 bước:
+ Bước 1: Vẽ đồ thị các hàm số: $y={\log }_{a}x$ $\left(0<a\ne 1\right)$ và $y=f\left(x\right).$
+ Bước 2: Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của  đồ thị.

Ví dụ 9. Giải phương trình: ${\log }_3\left[{\left(x+1\right)}^3+3{\left(x+1\right)}^2+3x+4\right]$ $=2{\log }_2\left(x+1\right).$

Điều kiện: $x>–1.$
Phương trình đã cho tương đương ${\log }_3{\left(x+2\right)}^3=2{\log }_2\left(x+1\right)$ hay $3{\log }_3\left(x+2\right)=2{\log }_2\left(x+1\right).$
Đặt $3{\log }_3\left(x+2\right)=2{\log }_2\left(x+1\right)=6t$ suy ra $\{\begin{array}{c}x+2=3^{2t}\\ x+1=2^{3t}\end{array}\Rightarrow 9^t–8^t=1$, tức ${\left(\frac{1}{9}\right)}^t+{\left(\frac{8}{9}\right)}^t=1$ $(\ast ).$
Xét hàm $f\left(t\right)={\left(\frac{1}{9}\right)}^t+{\left(\frac{8}{9}\right)}^t$, ta thấy hàm $f\left(t\right)$ nghịch biến, lại có $f\left(1\right)=1$ nên $t=1$ là nghiệm duy nhất của $(\ast ).$
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=7.$

Ví dụ 10. Giải phương trình: ${\log }_2\left(x+3^{{\log }_{6}x}\right)={\log }_{6}x.$

Đặt $t={\log }_{6}x\Rightarrow x=6^t.$ Phương trình đã cho trở thành: $6^t+3^t=2^t$, chia cả $2$ vế cho $2^t.$
Xét hàm số $f\left(t\right)=3^t+{\left(\frac{3}{2}\right)}^t–1$, vì $3>\frac{3}{2}>1$ nên $f\left(t\right)$ tăng và $f\left(–1\right)=0$, do đó $f\left(t\right)=0$ xảy ra khi $t=–1$ tức $x=\frac{1}{6}.$
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm $x=\frac{1}{6}.$

Ví dụ 11. Giải phương trình: $\left(3x–5\right){\log }_3^{2}x$ $+\left(9x–19\right){\log }_{3}x–12=0.$

Điều kiện: $x>0.$
Đặt $t={\log }_{3}x,$ phương trình trở thành: $\left(3x–5\right)t^2+\left(9x–19\right)t–12=0.$
Khi $x=\frac{5}{3}$, phương trình vô nghiệm.
Khi $x\ne \frac{5}{3}$, ta có: $\mathrm{\Delta }={\left(9x–11\right)}^2$, khi đó phương trình có $2$ nghiệm $t=–3$ hoặc $t=\frac{4}{3x–5}.$
+ Với $t=–3$ tức ${\log }_{3}x=–3$ $\iff x=3^{–3}=\frac{1}{27}.$
+ Với $t=\frac{4}{3x–5}$ tức ${\log }_{3}x=\frac{4}{3x–5}$. Xét hàm số: $f\left(x\right)={\log }_{3}x–\frac{4}{3x–5}$ với $0<x\ne \frac{5}{3}.$
Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{x\ln 3}+\frac{12}{{\left(3x–5\right)}^2}>0$, với mọi $0<x\ne \frac{5}{3}.$
$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=+\mathrm{\infty }$, $\underset{x\to {\left(\frac{5}{3}\right)}^{–}}{lim}f\left(x\right)=+\mathrm{\infty }$, $\underset{x\to {\left(\frac{5}{3}\right)}^{+}}{lim}f\left(x\right)=–\mathrm{\infty }.$
Lập bảng biến thiên, dễ thấy phương trình $f\left(x\right)=0$ luôn có $2$ nghiệm phân biệt, hơn nữa $f\left(3\right)=f\left(\frac{1}{3}\right)=0$ nên phương trình $f\left(x\right)=0$ luôn có $2$ nghiệm $x=\frac{1}{3}$ hoặc $x=3.$
Vậy, phương trình có $3$ nghiệm: $x\in \left\{\frac{1}{27};\frac{1}{3};3\right\}.$

Dạng 5. Giải bất phương trình logarit
Ví dụ 12. Giải bất phương trình:
1. ${\log }_2\left(\sqrt{3x+1}+6\right)–1$ $\ge {\log }_2\left(7–\sqrt{10–x}\right).$
2. ${\log }_2\frac{5–12x}{12x–8}+{\log }_{\frac{1}{2}}x\le 0.$

1. Điều kiện: $\{\begin{array}{l}3x+1\ge 0\\ 10–x\ge 0\\ 7–\sqrt{10–x}>0\end{array}$ $\iff –\frac{1}{3}\le x\le 10.$
Bất phương trình tương đương với ${\log }_2\frac{\sqrt{3x+1}+6}{2}$ $\ge {\log }_2\left(7–\sqrt{10–x}\right)$
$\iff \sqrt{3x+1}+6\ge 2\left(7–\sqrt{10–x}\right)$
$\iff \sqrt{3x+1}+2\sqrt{10–x}\ge 8$
$\iff 49{\mathrm{x}}^2–418\mathrm{x}+369\le 0$
$\iff 1\le \mathrm{x}\le \frac{369}{49}$ (thoả điều kiện).
Vậy, bất phương trình đã cho có nghiệm $1\le \mathrm{x}\le \frac{369}{49}.$

2. Bất phương trình đã cho tương đương với $\{\begin{array}{l}\frac{5–12x}{12x–8}\le x\\ \frac{5–12x}{12x–8}>0\end{array}$
$\iff \{\begin{array}{l}\frac{–12x^2–4x+5}{12x–8}\le 0\\ \frac{5–12x}{12x–8}>0\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}[\begin{array}{c}–\frac{5}{6}\le x\le \frac{1}{2}\\ x>\frac{2}{3}\end{array}\\ \frac{5}{12}<x<\frac{2}{3}\end{array}$ $\iff \frac{5}{12}<x\le \frac{1}{2}.$
Vậy, bất phương trình đã cho có nghiệm $\frac{5}{12}<x\le \frac{1}{2}.$

Nguồn: toanmath.com