Bài toán biến đổi biểu thức chứa logarit

Bài viết tổng hợp các công thức biến đổi logarit và hướng dẫn giải một số bài toán liên quan đến biến đổi biểu thức chứa logarit, đây là dạng toán cơ bản trong chương trình Giải tích 12 chương 2.

A. KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG
1. So sánh hai logarit cũng cơ số: Cho số dương $a \neq 1$ và các số dương $b$ , $c$ :
+ Khi $a > 1$ thì $\log_{a} b > \log_{a} c \Leftrightarrow b > c .$
+ Khi $0 < a < 1$ thì $\log_{a} b > \log_{a} c \Leftrightarrow b < c .$
Hệ quả: Cho số dương $a \neq 1$ và các số dương $b$ , $c$ :
+ Khi $a > 1$ thì $\log_{a} b > 0 \Leftrightarrow b > 1.$
+ Khi $0 < a < 1$ thì $\log_{a} b > 0 \Leftrightarrow b < 1.$
+ $\log_{a} b = \log_{a} c \Leftrightarrow b = c .$
2. Logarit của một tích: Cho ba số dương $a$ , $b_{1}$ , $b_{2}$ với $a \neq 1$ , ta có: $\log_{a} (b_{1} . b_{2}) = \log_{a} b_{1} + \log_{a} b_{2} .$
3. Logarit của một thương: Cho ba số dương $a$ , $b_{1}$ , $b_{2}$ với $a \neq 1$ , ta có: $\log_{a} \frac{b_{1}}{b_{2}} = \log_{a} b_{1} - \log_{a} b_{2} .$ Đặc biệt: với $a, b > 0$ , $a \neq 1$ , ta có $\log_{a} \frac{1}{b} = - \log_{a} b .$
4. Logarit của lũy thừa: Cho $a, b > 0$ , $a \neq 1$ , với mọi $α$ , ta có: $\log_{a} b^{α} = α \log_{a} b .$ Đặc biệt: $\log_{a} \sqrt[n]{b} = \frac{1}{n} \log_{a} b .$
5. Công thức đổi cơ số: Cho ba số dương $a$ , $b$ , $c$ với $a \neq 1$ , $c \neq 1$ ta có: $\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a} .$ Đặc biệt: $\log_{a} c = \frac{1}{\log_{c} a}$ và $\log_{a^{α}} b = \frac{1}{α} \log_{a} b$ với $α \neq 0.$

B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ MINH HỌA
Dạng toán 1. Tính toán, rút gọn giá trị của một biểu thức chứa logarit.
Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức: $B = 2 \log_{2} 12 + 3 \log_{2} 5$ $- \log_{2} 15 - \log_{2} 150.$

Ta có: $B = 2 \log_{2} 12 + 3 \log_{2} 5$ $- \log_{2} 15 - \log_{2} 150$ $= 2 \log_{2} (2^{2} .3) + 3 \log_{2} 5$ $- \log_{2} 3.5 - \log_{2} ({2.3 .5}^{2})$ $= 2 (2 + \log_{2} 3) + 3 \log_{2} 5$ $- (\log_{2} 3 + \log_{2} 5)$ $- (1 + \log_{2} 3 + 2 \log_{2} 5)$ $= 3.$

Ví dụ 2: Cho $a, b > 0$ và $a, b \neq 1$ . Tính giá trị biểu thức $P = \log_{\sqrt{a}} b^{2} + \frac{2}{\log_{\frac{a}{b}} a} .$

Ta có: $P = \log_{\sqrt{a}} b^{2} + \frac{2}{\log_{\frac{a}{b^{2}}} a}$ $= 4 \log_{a} b + 2 \log_{a} \frac{a}{b^{2}}$ $= 4 \log_{a} b + 2 (\log_{a} a - \log_{a} b^{2}) = 2.$

Ví dụ 3: Cho $a$ , $b$ là các số thực dương và $a b \neq 1$ thỏa mãn $\log_{a b} a^{2} = 3$ thì giá trị của $\log_{a b} \sqrt[3]{\frac{a}{b}}$ bằng bao nhiêu?

$\log_{a b} \sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \frac{1}{3} \log_{a b} \frac{a}{b} = \frac{1}{3} \log_{a b} \frac{a^{2}}{a b}$ $= \frac{1}{3} (\log_{a b} a^{2} - \log_{a b} a b)$ $= \frac{1}{3} (\log_{a b} a^{2} - 1) .$
Giả thiết $\log_{a b} a^{2} = 3$ nên $\log_{a b} \sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \frac{1}{3} (3 - 1) = \frac{2}{3} .$

Ví dụ 4: Cho $x = 2000!$ . Tính giá trị của biểu thức $A = \frac{1}{\log_{2} x} + \frac{1}{\log_{3} x} + \dots + \frac{1}{\log_{2000} x} .$

Ta có $A = \log_{x} 2 + \log_{x} 3 + \dots + \log_{x} 2000$ $= \log_{x} (1.2 .3 \dots 2000) = \log_{x} x = 1.$

Ví dụ 5: Có tất cả bao nhiêu số dương $a$ thỏa mãn đẳng thức $\log_{2} a + \log_{3} a + \log_{5} a$ $= \log_{2} a . \log_{3} a . \log_{5} a ?$

$\log_{2} a + \log_{3} a + \log_{5} a$ $= \log_{2} a . \log_{3} a . \log_{5} a$ $\Leftrightarrow \log_{2} a + \log_{3} 2. \log_{2} a + \log_{5} 2. \log_{2} a$ $= \log_{2} a . \log_{3} 5. \log_{5} a . \log_{5} a$ $\Leftrightarrow \log_{2} a . (1 + \log_{3} 2 + \log_{5} 2)$ $= \log_{2} a . \log_{3} 5. \log_{5}^{2} a$ $\Leftrightarrow \log_{2} a . (1 + \log_{3} 2 + \log_{5} 2 - \log_{3} 5. \log_{5}^{2} a) = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \log_{2} a = 0 \\ 1 + \log_{3} 2 + \log_{5} 2 - \log_{3} 5. \log_{5}^{2} a = 0 \end{array}$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 1 \\ \log_{5} a = \pm \sqrt{\frac{1 + \log_{3} 2 + \log_{5} 2}{\log_{3} 5}} \end{array}$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 1 \\ a = 5^{\frac{\sqrt{1 + \log_{3} 2 + \log_{5} 2}}{\log_{3} 5}} \end{array}$

Ví dụ 6: Tính giá trị của biểu thức $P = \ln (\tan 1^{0}) + \ln (\tan 2^{0})$ $+ \ln (\tan 3^{0}) + \dots + \ln (\tan 89^{0}) .$

$P = \ln (\tan 1^{0}) + \ln (\tan 2^{0})$ $+ \ln (\tan 3^{0}) + \dots + \ln (\tan 89^{0})$ $= \ln (\tan 1^{0} . \tan 2^{0} . \tan 3^{0} \dots \tan 89^{0})$ $= \ln (\tan 1^{0} . \tan 2^{0} . \tan 3^{0} \dots \tan 45^{0} . \cot 44^{0} . \cot 43^{0} \dots \cot 1^{0})$ $= \ln (\tan 45^{0}) = \ln 1 = 0$ (vì $\tan α \cdot \cot α = 1$ ).

Ví dụ 7: Cho $a$ , $b$ là các số thực dương thỏa mãn $a \neq 1$ , $a \neq \sqrt{b}$ và $\log_{a} b = \sqrt{3} .$ Tính $P = \log_{\frac{\sqrt{b}}{a}} \sqrt{\frac{b}{a}} .$

$P = \frac{\log_{a} \sqrt{\frac{b}{a}}}{\log_{a} \frac{\sqrt{b}}{a}} = \frac{\frac{1}{2} (\log_{a} b - 1)}{\log_{a} \sqrt{b} - 1}$ $= \frac{\frac{1}{2} (\sqrt{3} - 1)}{\frac{1}{2} \log_{a} b - 1}$ $= \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 2} = - 1 - \sqrt{3} .$

Ví dụ 8: Tính giá trị của biểu thức $P = \log_{a^{2}} (a^{10} b^{2}) + \log_{\sqrt{a}} (\frac{a}{\sqrt{b}}) + \log_{\sqrt[3]{b}} b^{- 2}$ (với $0 < a \neq 1$ , $0 < b \neq 1$ ).

$P = \log_{a^{2}} (a^{10} b^{2})$ $+ \log_{\sqrt{a}} (\frac{a}{\sqrt{b}}) + \log_{\sqrt[3]{b}} b^{- 2}$ $= \frac{1}{2} [\log_{a} a^{10} + \log_{a} b^{2}]$ $+ 2 [\log_{a} a - \log_{a} \sqrt{b}]$ $+ 3. (- 2) \log_{b} b$ $= \frac{1}{2} [10 + 2 \log_{a} b]$ $+ 2 [1 - \frac{1}{2} \log_{a} b] - 6 = 1.$

Ví dụ 9: Cho $a$ , $b$ là hai số thực dương khác $1$ và thỏa mãn $\log_{a}^{2} b - 8 \log_{b} (a \sqrt[3]{b}) = - \frac{8}{3}$ . Tính giá trị biểu thức $P = \log_{a} (a \sqrt[3]{a b}) + 2017.$

$\log_{a}^{2} b - 8 \log_{b} (a \sqrt[3]{b}) = - \frac{8}{3}$ $\Leftrightarrow \log_{a}^{2} b - 8 (\log_{b} a + \frac{1}{3}) = - \frac{8}{3}$ $\Leftrightarrow \log_{a}^{2} b - \frac{8}{\log_{a} b} = 0$ $\Leftrightarrow \log_{a} b = 2.$
$P = \log_{a} (a \sqrt[3]{a b}) + 2017$ $= \log_{a} a^{\frac{4}{3}} + \frac{1}{3} \log_{a} b + 2017$ $= \frac{4}{3} + \frac{2}{3} + 2017 = 2019.$

Dạng toán 2. Biểu diễn một logarit theo các logarit cho trước.
Để tính $\log_{a} b$ theo $m = \log_{a} x$ , $n = \log_{a} y$ ta biến đổi $b = a^{α} x^{β} y^{γ}$ từ đó suy ra $\log_{a} b = \log_{a} (a^{α} x^{β} y^{γ}) = α + m β + n γ .$

Ví dụ 10: Cho $\log_{2} 6 = a$ . Tính giá trị của $\log_{3} 18$ theo $a$ ?

Ta có: $a = \log_{2} 6 = \log_{2} (2.3)$ $= 1 + \log_{2} 3$ $\Rightarrow \log_{3} 2 = \frac{1}{a - 1} .$
Suy ra $\log_{3} 18 = \log_{3} ({2.3}^{2}) = \log_{3} 2 + 2$ $= \frac{1}{a - 1} + 2 = \frac{2 a - 1}{a - 1} .$

Ví dụ 11: Cho $a = \log_{3} 15$ , $b = \log_{3} 10$ . Tính giá trị của $\log_{\sqrt{3}} 50$ theo $a$ , $b$ ?

Ta có $a = \log_{3} 15 = \log_{3} (3.5)$ $= 1 + \log_{3} 5$ $\Rightarrow \log_{3} 5 = a - 1.$
Khi đó $\log_{\sqrt{3}} 50 = 2 \log_{3} (5.10)$ $= 2 (\log_{3} 5 + \log_{3} 10)$ $= 2 (a - 1 + b) .$

Ví dụ 12: Cho $\log_{27} 5 = a$ , $\log_{8} 7 = b$ , $\log_{2} 3 = c .$ Tính giá trị của $\log_{6} 35$ theo $a$ , $b$ , $c$ ?

Ta có:
$\log_{27} 5 = a \Rightarrow \log_{3} 5 = 3 a .$
$\log_{8} 7 = b \Rightarrow \log_{2} 7 = 3 b .$
$\Rightarrow \log_{2} 5 = \log_{2} 3. \log_{3} 5 = 3 a c .$
$\Rightarrow \log_{6} 35 = \frac{\log_{2} 35}{\log_{2} 6}$ $= \frac{\log_{2} 5. \log_{2} 7}{\log_{2} 2. \log_{2} 3} = \frac{3 (a c + b)}{1 + c} .$

Ví dụ 13: Đặt $a = \log_{2} 3$ , $b = \log_{5} 3.$ Hãy biểu diễn $\log_{6} 45$ theo $a$ và $b .$

Ta có: $\log_{6} 45 = \frac{\log_{2} 45}{\log_{2} 6}$ $= \frac{\log_{2} 3^{2} .5}{\log_{2} 2.3} = \frac{2 \log_{2} 3 + \log_{2} 5}{1 + \log_{2} 3}$ $= \frac{2 \log_{2} 3 + \log_{2} 3. \log_{3} 5}{1 + \log_{2} 3}$ $= \frac{2 a + a . \frac{1}{b}}{1 + a} = \frac{a + 2 a b}{a b + b} .$

Ví dụ 14: Biết $a = \log_{2} 5$ , $b = \log_{5} 3$ . Khi đó giá trị của $\log_{24} 15$ được tính theo $a$ và $b$ là?

$\log_{24} 15 = \frac{\log_{2} 15}{\log_{2} 24}$ $= \frac{\log_{2} 3.5}{\log_{2} {3.2}^{3}} = \frac{\log_{2} 3 + \log_{2} 5}{\log_{2} 3 + 3}$ $= \frac{\log_{2} 3 + \log_{2} 3. \log_{3} 5}{\log_{2} 3 + 3}$ $= \frac{a + a \cdot \frac{1}{b}}{3 + a} = \frac{a + a b}{a b + 3 b} .$

Ví dụ 15: Cho $\log_{12} 27 = a$ . Khi đó giá trị của $\log_{6} 16$ được tính theo $a$ là?

Ta có $a = \log_{12} 27$ $= \frac{\log_{2} 27}{\log_{2} 12} = \frac{3 \log_{2} 3}{2 + \log_{2} 3}$ $\Rightarrow \log_{2} 3 = \frac{2 a}{3 - a}$ $\Rightarrow \log_{6} 16 = \frac{4 (3 - a)}{3 + a} .$

Ví dụ 16: Cho $a = \log_{2} 3$ , $b = \log_{3} 5$ , $c = \log_{7} 2$ . Khi đó giá trị của biểu thức $\log_{140} 63$ được tính theo $a$ , $b$ , $c$ là?

$\log_{140} 63 = \frac{\log_{2} 63}{\log_{2} 140}$ $= \frac{\log_{2} 3^{2} .7}{\log_{2} 2^{2} 5.7}$ $= \frac{2 \log_{2} 3 + \log_{2} 7}{2 + \log_{2} 5 + \log_{2} 7}$ $= \frac{2 \log_{2} 3 + \frac{1}{\log_{7} 2}}{2 + \log_{2} 3. \log_{3} 5 + \log_{7} 2}$ $= \frac{2 a + \frac{1}{c}}{2 + a b + \frac{1}{c}}$ $= \frac{1 + 2 a c}{1 + 2 c + a b c} .$

Ví dụ 17: Cho số thực $x$ thỏa mãn $\log x = \frac{1}{2} \log 3 a - 2 \log b + 3 \log \sqrt{c}$ ( $a$ , $b$ , $c$ là các số thực dương). Hãy biểu diễn $x$ theo $a$ , $b$ , $c .$

Ta có $\log x = \frac{1}{2} \log 3 a - 2 \log b + 3 \log \sqrt{c}$ $\Leftrightarrow \log x = \log \sqrt{3 a} - \log b^{2} + \log \sqrt{c^{3}}$ $\Leftrightarrow \log x = \log \frac{\sqrt{3 a c^{3}}}{b^{2}}$ $\Leftrightarrow x = \frac{\sqrt{3 a c^{3}}}{b^{2}} .$

Ví dụ 18: Cho $a = \log_{4} 3$ , $b = \log_{25} 2$ . Hãy tính $\log_{60} \sqrt{150}$ theo $a$ , $b .$

$\log_{60} \sqrt{150} = \frac{1}{2} \frac{\log_{25} 150}{\log_{25} 60}$ $= \frac{1}{2} \frac{\log_{25} 25 + \log_{25} 2 + \log_{25} 3}{\log_{25} 5 + \log_{25} 4 + \log_{25} 3}$ $= \frac{1 + \log_{25} 2 + 2 \log_{4} 3. \log_{25} 2}{2 \log_{25} 5 + 4 \log_{25} 2 + 4 \log_{4} 3. \log_{25} 2}$ $= \frac{1 + a + 2 a b}{1 + 4 b + 4 a b} .$

Ví dụ 19: Biết $\log_{27} 5 = a$ , $\log_{8} 7 = b$ , $\log_{2} 3 = c$ thì $\log_{12} 35$ tính theo $a$ , $b$ , $c$ bằng?

Ta có $\log_{27} 5 = \frac{1}{3} \log_{3} 5 = a$ $\Leftrightarrow \log_{3} 5 = 3 a$ , $\log_{8} 7 = \frac{1}{3} \log_{2} 7 = b$ $\Leftrightarrow \log_{2} 7 = 3 b .$
Mà $\log_{12} 35 = \frac{\log_{2} (7.5)}{\log_{2} ({3.2}^{2})}$ $= \frac{\log_{2} 7 + \log_{2} 5}{\log_{2} 3 + 2}$ $= \frac{\log_{2} 7 + \log_{2} 3. \log_{3} 5}{\log_{2} 3 + 2}$ $= \frac{3 b + c .3 a}{c + 2} = \frac{3 (b + a c)}{c + 2} .$

Ví dụ 20: Cho $\log_{12} 27 = a$ thì $\log_{6} 16$ tính theo $a$ là?

$a = \log_{12} 27$ $= \frac{\log_{3} 27}{\log_{3} 12} = \frac{3}{1 + 2 \log_{3} 2}$ $\Rightarrow \log_{3} 2 = \frac{3 - a}{2 a} .$
$\log_{6} 16 = \frac{\log_{3} 16}{\log_{3} 6}$ $= \frac{4 \log_{3} 2}{1 + \log_{3} 2}$ $= \frac{4 \frac{3 - a}{2 a}}{1 + \frac{3 - a}{2 a}}$ $= \frac{4 (3 - a)}{a + 3} .$

Ví dụ 21: Xét các số thực $a$ , $b$ thỏa mãn $a > b > 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất $P_{min}$ của biểu thức $P = \log_{\frac{a}{b}}^{2} (a^{2}) + 3 \log_{b} (\frac{a}{b}) .$

Với điều kiện đề bài, ta có: $P = \log_{\frac{a}{b}}^{2} (a^{2}) + 3 \log_{b} (\frac{a}{b})$ $= {[2 \log_{\frac{a}{b}} a]}^{2} + 3 \log_{b} (\frac{a}{b})$ $= 4 {[\log_{\frac{a}{b}} (\frac{a}{b} b)]}^{2} + 3 \log_{b} (\frac{a}{b}) .$
Đặt $t = \log_{\frac{a}{b}} b > 0$ (vì $a > b > 1$ ), ta có $P = 4 (1 + t)^{2} + \frac{3}{t}$ $= 4 t^{2} + 8 t + \frac{3}{t} + 4 = f (t) .$
Ta có $f^{'} (t) = 8 t + 8 - \frac{3}{t^{2}}$ $= \frac{8 t^{3} + 8 t^{2} - 3}{t^{2}}$ $= \frac{(2 t - 1) (4 t^{2} + 6 t + 3)}{t^{2}} .$
Vậy $f^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2} .$
Khảo sát hàm số, ta có $P_{min} = f (\frac{1}{2}) = 15.$

Ví dụ 22: Biết $\log_{27} 5 = a$ , $\log_{8} 7 = b$ , $\log_{2} 3 = c$ thì $\log_{12} 35$ tính theo $a$ , $b$ , $c$ bằng?

Ví dụ 23: Đặt $a = \log_{3} 4$ , $b = \log_{5} 4$ . Hãy biểu diễn $\log_{12} 80$ theo $a$ và $b .$

Ta có $\log_{12} 80 = \log_{12} (4^{2} .5)$ $= \log_{12} 4^{2} + \log_{12} 5$ $= 2 \log_{12} 4 + \frac{1}{\log_{5} 12}$ $= \frac{2}{\log_{4} 12} + \frac{1}{\log_{5} 4 + \log_{5} 3}$ $= \frac{2}{\log_{4} 4 + \log_{4} 3} + \frac{1}{b + \log_{5} 3} .$
Từ $a = \log_{3} 4 \Rightarrow \log_{4} 3 = \frac{1}{a}$ $\Rightarrow \log_{5} 3 = \log_{5} 4. \log_{4} 3$ $= b . \frac{1}{a} = \frac{b}{a} .$
$\Rightarrow \log_{12} 80 = \frac{2}{1 + \frac{1}{a}} + \frac{1}{b + \frac{b}{a}}$ $= \frac{2 a}{a + 1} + \frac{a}{b (a + 1)}$ $= \frac{a + 2 a b}{a b + b} .$

Ví dụ 24: Cho $a$ , $b$ là các số hữu tỉ thỏa mãn $\log_{2} \sqrt[6]{360} - \log_{2} \sqrt{2}$ $= a \log_{2} 3 + b \log_{2} 5.$ Tính $a + b .$

Ta có $\log_{2} \sqrt[6]{360} - \log_{2} \sqrt{2}$ $= \log_{2} \sqrt[6]{360} - \log_{2} \sqrt[6]{8}$ $= \log_{2} \sqrt[6]{\frac{360}{8}} = \frac{1}{6} \log_{2} 45$ $= \frac{1}{3} \log_{2} 3 + \frac{1}{6} \log_{2} 5.$
Theo đề bài ta có $\log_{2} \sqrt[6]{360} - \log_{2} \sqrt{2}$ $= a \log_{2} 3 + b \log_{2} 5$ $\Rightarrow {\begin{array}{l} a = \frac{1}{3} \\ b = \frac{1}{6} \end{array}$ $\Rightarrow a + b = \frac{1}{2} .$