Phương pháp giải các bài toán về mặt cầu và mặt phẳng

Phương pháp giải các bài toán về mặt cầu và mặt phẳng

Bài tập vận dụng!

1. Kiến thức cần nhớ

Cho mặt phẳng $\left(P\right)$ và mặt cầu $\left(S\right)$ tâm $I$ bán kính $R$. Khi đó:

- $\left(S\right)\cap \left(P\right)=\mathrm{\varnothing }\iff d\left(I,\left(P\right)\right)>R$.

- $\left(S\right)\cap \left(P\right)=\left\{H\right\}\iff d\left(I,\left(P\right)\right)=R$.

ở đó, $H$ là tiếp điểm, $\left(P\right)$ là tiếp diện và $OH\mathrm{\perp }\left(P\right)$ tại $H$.

- $\left(S\right)\cap \left(P\right)=C\left(H;r\right)\iff d\left(I,\left(P\right)\right)<R$.

ở đó : với $H$ là hình chiếu của $I$ trên $\left(P\right)$.

• [message]
• ##check##Nhận xét:
• 
  

  Đặc biệt: $d\left(I,\left(P\right)\right)=0$ hay $\left(P\right)$ đi qua $I$ thì $\left(S\right)\cap \left(P\right)=C\left(I;R\right)$.

  $C\left(I;R\right)$ được gọi là đường tròn lớn, $\left(P\right)$ là mặt phẳng kính.

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc hoặc cắt mặt phẳng cho trước.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính bán kính mặt cầu dựa vào các điều kiện bài cho:

+ Tiếp xúc mặt phẳng nếu $d\left(I,\left(P\right)\right)=R$

+ Cắt mặt phẳng theo giao tuyến và đường tròn bán kính $r$ thì $R^2=r^2+d^2\left(I,\left(P\right)\right)$

- Bước 2: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính.

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc, giao với mặt cầu cho trước.

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm VTPT của mặt phẳng dựa vào điều kiện bài cho.

+ Tiếp xúc mặt cầu tại điểm $M$ thì $\overrightarrow{n_P}=\overrightarrow{IM}$

+ Song song với mặt phẳng $\left(Q\right)$ và cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính $r$ thì thì $\overrightarrow{n_P}=\overrightarrow{n_Q}$ và $d\left(I,\left(P\right)\right)=\sqrt{R^2-r^2}$.

- Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng.

Nguồn: vungoi