Phương pháp giải các bài toán về mặt phẳng và đường thẳng

Phương pháp giải các bài toán về mặt phẳng và đường thẳng

Bài tập vận dụng!

1. Kiến thức cần nhớ

a) Phương trình mặt phẳng.

Mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)\) thì có phương trình: \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)

b) Phương trình đường thẳng.

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)\) làm VTCP thì có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)

c) Giao tuyến của hai mặt phẳng.

Phương trình tổng quát của đường thẳng: \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by + cz + d = 0\\a'x + b'y + c'z + d' = 0\end{array} \right.\left( {a:b:c \ne a':b':c'} \right)\)

ở đó \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right),\overrightarrow {n'}  = \left( {a';b';c'} \right)\) là các VTPT của hai mặt phẳng có phương trình như trên.

Khi đó \(\overrightarrow u  = \left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right]\) là VTCP của đường thẳng.

d) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.

Cho đường thẳng \(d\) có VTCP $\overrightarrow u $ và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có VTPT \(\overrightarrow n \). Khi đó:

+) \(d//\left( P \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  \bot \overrightarrow n \\M \in d,M \notin \left( P \right)\end{array} \right.\)

+) \(d \subset \left( P \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  \bot \overrightarrow n \\M \in d,M \in \left( P \right)\end{array} \right.\)

+) \(d \bot \left( P \right) \Leftrightarrow \overrightarrow u \) cùng phương với \(\overrightarrow n \)

+) \(d\) cắt \(\left( P \right)\) thì tọa độ giao điểm thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}ptd\\pt\left( P \right)\end{array} \right.\)

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.

Phương pháp:

- Gọi tọa độ của giao điểm theo tham số của đường thẳng.

- Thay tọa độ vào phương trình mặt phẳng, tìm tham số suy ra điểm cần tìm.

Dạng 2: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.

Phương pháp:

- Tìm các VTPT \(\overrightarrow n \) của mặt phẳng, VTCP $\overrightarrow u $ của đường thẳng.

- Dựa vào mối quan hệ của \(\overrightarrow n ,\overrightarrow u \) để kết luận:

+ Nếu \(\overrightarrow n ,\overrightarrow u \) cùng phương thì \(\left( P \right) \bot d\)

+ Nếu \(\overrightarrow n ,\overrightarrow u \) có phương vuông góc thì \(\left( P \right)//d\) hoặc \(d \subset \left( P \right)\)

Trường hợp \(d \subset \left( P \right)\) sẽ xảy ra nếu thêm điều kiện một điểm thuộc \(d\) thì thuộc \(\left( P \right)\).

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng.

Phương pháp:

- Tìm tọa độ điểm đi qua.

- Tìm một VTPT của mặt phẳng.

- Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có VTPT tìm được ở trên.

Một số dạng phương trình mặt phẳng:

+) Đi qua một điểm và vuông góc với đường thẳng.

Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(d\).

- Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) thì \(\left( P \right)\) nhận \(\overrightarrow {{n_P}}  = \overrightarrow {{u_d}} \)  làm VTPT.

+) Đi qua một điểm và song song với hai đường thẳng khác.

Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\) và song song với đường thẳng \(d,d'\).

- \(\left( P \right)\) song song với đường thẳng \(d,d'\) nên \(\left( P \right)\) nhận \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right]\) làm VTPT.

+) Đi qua hai điểm và song song với đường thẳng.

Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua hai điểm \(A,B\) và song song với đường thẳng \(d\).

- \(\left( P \right)\) đi qua \(A,B\) và song song với đường thẳng \(d\) nên nó đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right]\)

Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng.

Phương pháp:

- Tìm tọa độ điểm đi qua.

- Tìm một VTCP của đường thẳng.

- Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có VTCP như trên.

Một số dạng phương trình đường thẳng liên quan đến mặt phẳng.

+) Đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng.

Viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\)

- Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì nó nhận \(\overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{n_P}} \) làm VTCP.

+) Hình chiếu của một đường thẳng trên một mặt phẳng.

- Viết phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa \(d\) và vuông góc với \(\left( P \right)\)

(\(\left( Q \right)\) đi qua điểm \(M \in d\) và nhận \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right]\) làm VTPT).

- Đường thẳng \(d'\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right),\left( Q \right)\) nên \(d':\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right)\\\left( Q \right)\end{array} \right.\)

+) Đường thẳng đi qua một điểm, vuông góc với đường thẳng và song song với mặt phẳng.

Viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(A\), vuông góc với \(d'\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\).

- $d \bot d',d//\left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_{d'}}} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right]$

Nguồn: vungoi