Lý thuyết ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể toán 12

Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể

Bài tập vận dụng!

Dạng 1: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = a,x = b\left( {a < b} \right)$ quanh trục $Ox$

Công thức tính:

[message]

##check##Nhận xét:

$V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} $

Dạng 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $x = f\left( y \right)$, trục $Oy$ và hai đường thẳng $y = a,y = b\left( {a < b} \right)$ quanh trục $Oy$.

Công thức tính:

[message]

##check##Nhận xét:

$V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( y \right)dy} $

Dạng 3: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {a;b} \right],0 \le f\left( x \right) \le g\left( x \right),\forall x \in \left[ {a;b} \right]$ quay quanh trục $Ox$

Công thức tính:

[message]

##check##Nhận xét:

$V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {{g^2}\left( x \right) - {f^2}\left( x \right)} \right]dx} $

Dạng 4: Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt phẳng $x = a,x = b$ biết diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc trục $Ox$ là $S = S\left( x \right)$.

Công thức tính:

[message]

##check##Nhận xét:

$V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)dx} $

[message]

##check##Nhận xét:

Khi miền $D$ giới hạn bởi nhiều đồ thị hàm số thì ta nên vẽ hình, sau đó từ hình vẽ suy ra cách tính.

Ví dụ: Cho đường cong $y = - {x^2} + 1$ và đường thẳng $y = 0$. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường trên quanh $Ox$.

Ta có: $ - {x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1\end{array} \right.$