Lý thuyết tọa độ véc tơ toán 12

Tọa độ véc tơ

Bài tập vận dụng!

1. Định nghĩa

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho véc tơ $\overrightarrow{u}$. Tồn tại duy nhất bộ số thực $\left(x;y;z\right)$ sao cho $\overrightarrow{u}=x.\overrightarrow{i}+y.\overrightarrow{j}+z.\overrightarrow{k}$. Khi đó $\left(x;y;z\right)$ được gọi là tọa độ của véc tơ $\overrightarrow{u}$. Kí hiệu $\overrightarrow{u}=\left(x;y;z\right)$ hoặc $\overrightarrow{u}\left(x;y;z\right)$.

2. Tính chất

Cho các véc tơ $\overrightarrow{u_1}\left(x_1;y_1;z_1\right)$ và $\overrightarrow{u_2}\left(x_2;y_2;z_2\right),k$ là một số thực tùy ý. Ta có các tính chất sau:

+) $\overrightarrow{u_1}=\overrightarrow{u_2}\iff \{\begin{array}{l}{x}_1=x_2\\ y_1=y_2\\ z_1=z_2\end{array}$

+) $\overrightarrow{u_1}\pm \overrightarrow{u_2}=\left(x_1\pm x_2;y_1\pm y_2;z_1\pm z_2\right)$

+) $k\overrightarrow{u_1}=\left(k{x}_1;k{y}_1;k{z}_1\right)$

+) $\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}=x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2$

+) $\left|\overrightarrow{u_1}\right|=\sqrt{{\overrightarrow{u_1}}^2}=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}$

+) $\overrightarrow{u_1}\mathrm{\perp }\overrightarrow{u_2}\iff \overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}=0$ $\iff x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2=0$

+) $\cos \left(\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right)={\displaystyle \frac{\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}}{\left|\overrightarrow{u_1}\right|.\left|\overrightarrow{u_2}\right|}}$ $={\displaystyle \frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}.\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}}$ với $\overrightarrow{u_1}\ne \overrightarrow{0},\overrightarrow{u_2}\ne \overrightarrow{0}$

3. Liên hệ giữa tọa độ véc tơ và tọa độ các điểm mút

+) $\overrightarrow{AB}=\left(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A\right)$

+) $AB=\left|\overrightarrow{AB}\right|$ $=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2+{\left(z_B-z_A\right)}^2}$

Nguồn: vungoi