Lý thuyết tích phân

Tích phân - Khái niệm và tính chất

Bài tập vận dụng!

1. Khái niệm tích phân

Cho hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $\left[a;b\right],F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)$ trên đoạn $\left[a;b\right]$. Hiệu $F\left(b\right)-F\left(a\right)$ được gọi là tích phân của $f$ từ $a$ đến $b$. Kí hiệu:

• [message]
• ##check##Nhận xét:
• 
  

  $I=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx={F\left(x\right)|}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

2. Tính chất tích phân

Giả sử các hàm số $f,g$ liên tục trên $\left[a;b\right],c$ là điểm bất kì thuộc $\left[a;b\right]$. Khi đó ta có:

a) $\underset{a}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx=0$

b) $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=-\underset{b}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx$

c) $\underset{a}{\overset{b}{\int }}k.f\left(x\right)dx=k.\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$

d) $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(t\right)dt$

e) $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{b}{\overset{c}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f\left(x\right)dx;$ $\mathrm{\forall }b\in \left[a;c\right]$

f) $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]dx$ $=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx\pm \underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx$

g) Nếu $f\left(x\right)\ge 0$ thì $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx\ge 0$

h) Nếu $f\left(x\right)\ge g\left(x\right)$ trên $\left[a;b\right]$ thì $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx\ge \underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx$.

Nguồn: vungoi