Lý thuyết tích có hướng và ứng dụng toán 12

Tích có hướng và ứng dụng

Bài tập vận dụng!

1. Tích có hướng của hai véc tơ

- Định nghĩa: Cho các véc tơ $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)$ và $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)$. Tích có hướng của hai véc tơ $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} $ là véc tơ $\overrightarrow u $, kí hiệu $\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]$ hoặc $\overrightarrow u = \overrightarrow {{u_1}} \wedge \overrightarrow {{u_2}} $ và được xác định bằng tọa độ như sau:

[message]

##check##Nhận xét:

$\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] =$ $ \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{y_1}\\{y_2}\end{array}&\begin{array}{l}{z_1}\\{z_2}\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{z_1}\\{z_2}\end{array}&\begin{array}{l}{x_1}\\{x_2}\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{x_1}\\{x_2}\end{array}&\begin{array}{l}{y_1}\\{y_2}\end{array}\end{array}} \right|} \right) =$ $ \left( {{y_1}{z_2} - {y_2}{z_1};{z_1}{x_2} - {z_2}{x_1};{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1}} \right)$

Véc tơ $\overrightarrow u $ vuông góc với cả hai véc tơ $\overrightarrow {{u_1}} $ và $\overrightarrow {{u_2}} $

- Tính chất:

+) $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = - \left[ {\overrightarrow {{u_2}} ;\overrightarrow {{u_1}} } \right]$

+) $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} $ cùng phương $\overrightarrow {{u_2}} $

+) $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] \bot \overrightarrow {{u_1}} ;\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] \bot \overrightarrow {{u_2}} $

+) $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{u_3}} = 0 \Leftrightarrow $ ba véc tơ $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {{u_3}} $ đồng phẳng.

+) $\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right| = \left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|\sin \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)$

2. Ứng dụng tích có hướng

- Diện tích tam giác:

[message]

##check##Nhận xét:

${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|$

- Diện tích hình bình hành:

[message]

##check##Nhận xét:

${S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right]} \right| = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|$

- Thể tích tứ diện:

[message]

##check##Nhận xét:

${V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|$

- Thể tích khối hộp:

[message]

##check##Nhận xét:

${V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right].\overrightarrow {AA'} } \right|$

Chú ý: Khi thực hành tính toán, các em có thể tính tích có hướng ở ngoài nháp như sau:

+B1: Viết tọa độ mỗi véc tơ hai lần liền nhau, các tọa độ tương ứng của hai véc tơ thẳng cột.

$\begin{array}{*{20}{r}}{{x_1}}&{{y_1}}&{{z_1}}&{{x_1}}&{{y_1}}&{{z_1}}\\{{x_2}}&{{y_2}}&{{z_2}}&{{x_2}}&{{y_2}}&{{z_2}}\end{array}$

+ B2: Xóa bỏ hai cột ngoài cùng.

+ B3: Tính toán theo quy luật: Nhân chéo rồi trừ.

Ví dụ: Cho hai véc tơ $\overrightarrow u = \left( {1;5;3} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( {2; - 1;0} \right)$. Tính tích có hướng của hai véc tơ trên.

Giải:

Ta sẽ sử dụng phương pháp thực hành ở trên như sau: (chỉ viết ngoài nháp)