Lý thuyết sử dụng phương pháp đổi biến để tìm nguyên hàm toán 12

Sử dụng phương pháp đổi biến để tìm nguyên hàm

Bài tập vận dụng!

1. Kiến thức cần nhớ

- Vi phân:

$\begin{array}{l}t = u\left( x \right) \Rightarrow dt = u'\left( x \right)dx\\u\left( t \right) = v\left( x \right) \Rightarrow u'\left( t \right)dt = v'\left( x \right)dx\end{array}$

- Công thức đổi biến:

$\int {f\left[ {u\left( x \right)} \right]u'\left( x \right)dx} = \int {f\left( t \right)dt} $ $ = F\left( t \right) + C = F\left( {t\left( x \right)} \right) + C$

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến $t = u\left( x \right)$.

- Bước 1: Đặt $t = u\left( x \right)$, trong đó $u\left( x \right)$ là hàm được chọn thích hợp.

- Bước 2: Tính vi phân $dt = u'\left( x \right)dx$.

- Bước 3: Biến đổi $f\left( x \right)dx$ thành $g\left( t \right)dt$.

- Bước 4: Tính nguyên hàm: $\int {f\left( x \right)dx} = \int {g\left( t \right)dt} $ $ = G\left( t \right) + C = G\left( {u\left( x \right)} \right) + C$.

Ví dụ: Tính nguyên hàm $\int {2x\sqrt {{x^2} + 1} dx} $.

Giải:

Đặt $t = \sqrt {{x^2} + 1} \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 1 $ $ \Rightarrow 2tdt = 2xdx$.

Do đó: $\int {2x\sqrt {{x^2} + 1} dx} = \int {\sqrt {{x^2} + 1} .2xdx} $ $= \int {t.2tdt} = \int {2{t^2}dt} = \dfrac{2}{3}{t^3} + C $ $= \dfrac{2}{3}\sqrt {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}} + C$.

Dạng 2: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến $x = u\left( t \right)$.

- Bước 1: Đặt $x = u\left( t \right)$, trong đó $u\left( t \right)$ là hàm số ta chọn thích hợp.

- Bước 2: Lấy vi phân 2 vế $dx = u'\left( t \right)dt$.

- Bước 3: Biến đổi $f\left( x \right)dx = f\left( {u\left( t \right)} \right).u'\left( t \right)dt = g\left( t \right)dt$.

- Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức $\int {f\left( x \right)dx} = \int {g\left( t \right)dt} = G\left( t \right) + C$

[message]

##check##Nhận xét:

Ví dụ: Cho nguyên hàm $I = \int {\sqrt {1 - {x^2}} \,{\rm{d}}x} ,\,\,\,x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]$, nếu đặt $x = \sin t$ thì nguyên hàm $I$ tính theo biến $t$ trở thành:

A. $I = t + \sin 2t + C.$

B. $I = \dfrac{t}{2} + \cos 2t + C.$

C. $I = \dfrac{t}{2} + \dfrac{{\sin 2t}}{4} + C.$

D. $I = \dfrac{t}{2} - \dfrac{{\cos 2t}}{4} + C.$

Giải:

Đặt $x = \sin t \Leftrightarrow dx = \cos t\,dt$ và $1 - {x^2} = 1 - {\sin ^2}t = {\cos ^2}t$

Suy ra

$\begin{array}{l}\int {\sqrt {1 - {x^2}} \,{\rm{d}}x} = \int {\sqrt {{{\cos }^2}t} \,\cos t\,{\rm{d}}t} = \int {{{\cos }^2}t\,{\rm{d}}t} = \int {\dfrac{{1 + \cos 2t}}{2}\,{\rm{d}}t} \\ = \int {\left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos 2t} \right){\rm{d}}t} = \dfrac{t}{2} + \dfrac{{\sin 2t}}{4} + C.\end{array}$

(Vì $x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow \cos x > 0$ $ \Rightarrow \sqrt {{{\cos }^2}x} = \cos x$)

Vậy $I = \dfrac{t}{2} + \dfrac{{\sin 2t}}{4} + C.$

Chọn C.