Tổng hợp key Windows 8, Windows 10, Windows 11, Office 2019 ProPlus, Office 2016 ProPlus, Office 2013 ProPlus tại đây!

Lý thuyết phương trình mặt phẳng toán 12

Phương trình mặt phẳng

Bài tập vận dụng!

1. Véc tơ pháp tuyến và cặp véc tơ chỉ phương của mặt phẳng

+) Véc tơ \(\overrightarrow n \left( { \ne \overrightarrow 0 } \right)\) là một véc tơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng \(\left( P \right)\) nếu giá của nó vuông góc với \(\left( P \right)\).

+) Hai véc tơ không cùng phương \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) được gọi là cặp véc tơ chỉ phương (VTCP) của \(\left( P \right)\) nếu giá của chúng nằm trong \(\left( P \right)\) hoặc song song với \(\left( P \right)\).

+) Nếu \(\overrightarrow n \) là một VTPT của \(\left( P \right)\) thì \(k.\overrightarrow n \left( {k \ne 0} \right)\) cũng là VTPT của \(\left( P \right)\), do đó một mặt phẳng có vô số VTPT.

+) Nếu \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) là cặp VTCP của \(\left( P \right)\) thì \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]\) là một VTPT của \(\left( P \right)\).

2. Phương trình mặt phẳng

+) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)\) làm VTPT thì \(\left( P \right)\) có phương trình:

Nhận xét:

\(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)

+) Nếu \({a^2} + {b^2} + {c^2} > 0\) (\(a,b,c\) không đồng thời bằng \(0\)) thì phương trình \(ax + by + cz + d = 0\) là phương trình của một mặt phẳng có VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)\).

3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0;\left( Q \right):a'x + b'y + c'z + d' = 0\) có các VTPT lần lượt là \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right),\overrightarrow {n'}  = \left( {a';b';c'} \right)\). Khi đó hai mặt phẳng:

- cắt nhau nếu \(\overrightarrow n  \ne k.\overrightarrow {n'} \)

- song song nếu \(\overrightarrow n  = k.\overrightarrow {n'} \) và \(d \ne k.d'\)

- trùng nhau nếu  \(\overrightarrow n  = k.\overrightarrow {n'} \) và \(d = k.d'\)

- vuông góc nếu \(\overrightarrow n .\overrightarrow {n'}  = 0\).

Nhận xét:

Nếu \(a'b'c'd' \ne 0\) thì:
+) \(\dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}}\) hoặc \(\dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}\) hoặc \(\dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}\) thì \(\left( P \right),\left( Q \right)\) cắt nhau.

+) \(\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}} \ne \dfrac{d}{{d'}}\) thì \(\left( P \right)//\left( Q \right)\)

+) \(\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}} = \dfrac{d}{{d'}}\) thì \(\left( P \right) \equiv \left( Q \right)\)

+) \(a.a' + b.b' + c.c' = 0\) thì \(\left( P \right) \bot \left( Q \right)\).

4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

- Khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0\) là:

Nhận xét:

\(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

- Đặc biệt, nếu điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right) \in \left( P \right)\) thì \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = 0\)

5. Góc giữa hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0;\left( Q \right):a'x + b'y + c'z + d' = 0\)

Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right),\left( Q \right)\) là góc có:

Nhận xét:

\(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {a.a' + b.b' + c.c'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {a{'^2} + b{'^2} + c{'^2}} }}\)

Nhận xét:

Góc giữa hai mặt phẳng là \(\alpha \) thì \(0 \le \alpha \le {90^0} \Rightarrow 0 \le \cos \alpha \le 1\).


Nguồn: vungoi

Đăng nhận xét

About the Author

Ngày hôm nay cho tôi buồn một lúc
Sau nhiều năm bươn trải kiếp con người
Cố gượng cười mà lòng có thảnh thơi
Thèm được khóc như cái thời nhỏ dại
Oops!
It seems there is something wrong with your internet connection. Please connect to the internet and start browsing again.
AdBlock Detected!
We have detected that you are using adblocking plugin in your browser.
The revenue we earn by the advertisements is used to manage this website, we request you to whitelist our website in your adblocking plugin.