Lý thuyết ôn tập chương vii toán 12

Ôn tập chương VII

Bài tập vận dụng!

1. Hệ trục tọa độ trong không gian

+) \({\overrightarrow i ^2} = {\overrightarrow j ^2} = {\overrightarrow k ^2} = 1\) và \(\overrightarrow i .\overrightarrow j  = \overrightarrow i .\overrightarrow k \,\, = \,\,\overrightarrow k .\overrightarrow j  = 0\)

+) $\vec 0 = (0;0;0),\,\,\vec i = (1;0;0),$ $\vec j = (0;1;0),\,\,\vec k = (0;0;1)$

2. Các công thức điểm, véc tơ

+) \(\vec a \pm \vec b\, = \,\,({a_1} \pm {b_1};\,\,{a_2} \pm {b_2};\,\,{a_3} \pm {b_3})\)

+) \(k\vec a\,\, = \,\,(k{a_1};\,\,k{a_2};\,\,k{a_3})\)

+) \(\overrightarrow a  = \overrightarrow b \,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {b_1}\\{a_2} = {b_2}\\{a_3} = {b_3}\end{array} \right.\)

+) \(\overrightarrow a \) cùng phương \(\overrightarrow b \,(\vec b \ne \vec 0)\,\) \(\Leftrightarrow\overrightarrow a  = k\overrightarrow b \,(k \in \mathbb{R})\)

\( \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}{a_1} = k{b_1}\\{a_2} = k{b_2}\\{a_3} = k{b_3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,\dfrac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \dfrac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = \dfrac{{{a_3}}}{{{b_3}}},({b_1},\,\,{b_2},\,\,{b_3} \ne 0)\)

+) \(\vec a.\vec b = {a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2} + {a_3}.{b_3}\)

+) \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b \,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3} = 0\)

+) \({\vec a^2} = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2\)

+) \(\left| {\vec a} \right| = \,\,\sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_2^2} \)

+) \(\cos (\vec a,\,\,\vec b)\,\, = \,\dfrac{{\vec a.\vec b}}{{\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|}}\,\, = \,\,\dfrac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}}}{{\sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} .\sqrt {b_1^2 + b_2^2 + b_3^2} }}\)  (với \(\vec a,\,\,\vec b \ne \vec 0\))

+) \(M \in \left( {Oxy} \right) \Leftrightarrow z = 0;\) \(M \in \left( {Oyz} \right) \Leftrightarrow x = 0;\) \(M \in \left( {Oxz} \right) \Leftrightarrow y = 0\)

+)\(M \in Ox \Leftrightarrow y = z = 0;\) \(M \in Oy \Leftrightarrow x = z = 0;\) \(M \in Oz \Leftrightarrow x = y = 0\)

+) \(\overrightarrow {AB}  = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A})\)

+) \(AB\,\, = \,\,\sqrt {{{({x_B} - {x_A})}^2} + {{({y_B} - {y_A})}^2} + {{({z_B} - {z_A})}^2}} \)

+) Toạ độ trung điểm \(M\)của đoạn thẳng \(AB\): \(M\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\dfrac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\)

+) Toạ độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\):

\(G\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\)

+) Toạ độ trọng tâm \(G\) của tứ diện \(ABCD\):

\(G\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4};\dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4};\dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_C}}}{4}} \right)\)

+) \(\,\left[ {\vec a,\vec b} \right]\,\, = \,\,\left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_2}}&{{a_3}}\\{{b_2}}&{{b_3}}\end{array}} \right|\,\,;\,\,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_3}}&{{a_1}}\\{{b_3}}&{{b_1}}\end{array}} \right|\,\,;\,\,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{a_2}}\\{{b_1}}&{{b_2}}\end{array}} \right|} \right) = \left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)\)

+) \([\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b ]\,\, \bot \,\,\overrightarrow a ;[\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b ]\,\, \bot \,\,\overrightarrow b \)

+) \(\left[ {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b \,} \right] =  - \left[ {\overrightarrow b ,\overrightarrow a } \right]\)                                 

+) \(\left[ {\vec i,\vec j} \right] = \vec k;\left[ {\vec j,\vec k} \right] = \vec i;\left[ {\vec k,\vec i} \right] = \vec j\)  

+) \(\left| {[\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b ]} \right|\,\, = \,\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|.\sin \left( {\vec a,\vec b} \right)\) (Chương trình nâng cao)

+) \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b \) cùng phương \( \Leftrightarrow [\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b ]\,\, = \,\,\overrightarrow 0 \) (chứng minh $3$ điểm thẳng hàng)

+) \(\vec a,\vec b,\vec c\) đồng phẳng \( \Leftrightarrow \left[ {\vec a,\vec b} \right].\vec c = 0\)

+) Diện tích hình bình hành \(ABCD\):

+) Diện tích tam giác \(ABC\): \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|\)

+) Thể tích khối hộp \(ABCDA'B'C'D'\): \({V_{ABCD.A'B'C'D'}}\,\, = \,\,\left| {[\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AD} ].\overrightarrow {AA'} } \right|\)

+) Thể tích tứ diện \(ABCD\):\({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}\left| {[\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} ]\,.\overrightarrow {AD} } \right|\)

3. Phương trình mặt phẳng

+) Trong không gian \(Oxyz\), mọi mặt phẳng đều có dạng phương trình:

\(Ax + By + Cz + D = 0\,\,\)với\({A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\)

+) Nếu mặt phẳng $(\alpha )$ có phương trình \(Ax + By + Cz + D = 0\,\,\)thì nó có một VTPT là $\overrightarrow n (A;\,B;\,C)$.

+) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm ${M_0}({x_0};{y_0};{z_0})$ và nhận vectơ $\overrightarrow n (A;\,B;\,C)$ khác $\overrightarrow 0 $ là VTPT là: $A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0$.

+) Nếu $\overrightarrow n $ là một VTPT của mặt phẳng $(\alpha )$ thì \(k\overrightarrow n \,\)\(\,(k \ne 0)\) cũng là một VTPT của mặt phẳng$(\alpha )$

+) Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm nó đi qua và một VTPT của nó.

+) Nếu $\overrightarrow u ,\,\overrightarrow v $ có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng $(\alpha )$ thì $\overrightarrow n  = {\rm{[}}\overrightarrow u ,\,\overrightarrow v {\rm{]}}$ là một VTPT của $(\alpha )$.

+) Khoảng cách từ điểm ${M_0}$ đến mặt phẳng $(\alpha )$ được tính: \(d({M_0},(\alpha )) = \dfrac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)

+) Góc giữa $\left( \alpha  \right)$ và $\left( \beta  \right)$ bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT $\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow {{n_\beta }} $. Tức là:

$\cos \left( {\left( \alpha  \right),\left( \beta  \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} .\overrightarrow {{n_\beta }} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_\beta }} } \right|}} = \dfrac{{\left| {{A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2}} \right|}}{{\sqrt {A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} .\sqrt {A_2^2 + B_2^2 + C_2^2} }}$

+) $(\alpha ){\rm{//}}(\beta )$

$\dfrac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \dfrac{{{B_1}}}{{{B_2}}} = \dfrac{{{C_1}}}{{{C_2}}} \ne \dfrac{{{D_1}}}{{{D_2}}}$

+) $(\alpha ) \equiv (\beta )$ $\Leftrightarrow\dfrac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \dfrac{{{B_1}}}{{{B_2}}} = \dfrac{{{C_1}}}{{{C_2}}} = \dfrac{{{D_1}}}{{{D_2}}}$

+) $(\alpha )$ cắt $(\beta )$ $\Leftrightarrow\dfrac{{{A_1}}}{{{A_2}}} \ne \dfrac{{{B_1}}}{{{B_2}}}$ hoặc $\dfrac{{{B_1}}}{{{B_2}}} \ne \dfrac{{{C_1}}}{{{C_2}}}$ hoặc $\dfrac{{{A_1}}}{{{A_2}}} \ne \dfrac{{{C_1}}}{{{C_2}}}$

4. Phương trình đường thẳng

+) Phương trình tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + {a_1}t\\y = {y_0} + {a_2}t\\z = {z_0} + {a_2}t\end{array} \right.;{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) với \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) là điểm đi qua và \(\overrightarrow u  = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) là VTCP \(\left( {{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2 \ne 0} \right)\)

+) Phương trình chính tắc: \(\dfrac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}} = \dfrac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}} = \dfrac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}}\) với \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) là điểm đi qua và \(\overrightarrow u  = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) là VTCP \(\left( {{a_1}{a_2}{a_3} \ne 0} \right)\)

+) Gọi $\varphi $ là góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\). Ta có: \(\cos \varphi  = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}\)

+) Gọi $\varphi $ là góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \((\alpha )\). Ta có: \(\sin \varphi  = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right|}}\)

+) Khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm  \({M_0}\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \)

\(d\left( {M,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{M_0}M} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}}\)

+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

\({\Delta _1}\) đi qua điểm \(M\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \)

\({\Delta _2}\) đi qua điểm \(N\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \)

\(d\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right){\rm{ = }}\dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {MN} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}\)

+) Vị trí tương đối của hai đường thẳng

$d$ song song $d'$ $\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  = k\overrightarrow {u'} \\M \in d,M \notin d'\end{array} \right.$

$d$ trùng $d'$ $\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  = k\overrightarrow {u'} \\M \in d,M \in d'\end{array} \right.$

$d$ cắt $d'$ $\Leftrightarrow\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MN}  = 0$ và \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} \) không cùng phương

$d$ chéo $d'$ $\Leftrightarrow\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MN}  \ne 0$

5. Phương trình mặt cầu

+) Phương trình chính tắc

Mặt cầu $\left( S \right):$\({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) có tâm $I\left( {a;b;c} \right)$, bán kính $R > 0$

+) Phương trình tổng quát

Mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ có tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} $ với ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0$



Nguồn: vungoi

About the author

Nguyễn Minh Phương
"một sáng khi con tỉnh giấc
Mặt Trời chưa mọc đằng đông
cửa nhà chắn hết mưa giông
vỡ tan nằm im ngoài cửa"

Đăng nhận xét