Lý thuyết ôn tập chương Số phức toán 12

Ôn tập chương IV

Bài tập vận dụng!

1. Khái niệm số phức

+) Tập hợp số phức: $\mathbb{C}$

+) Số phức (dạng đại số) : $z=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R},a$ là phần thực, $b$ là phần ảo, $i$ là đơn vị ảo, $i^2=-1$)

+) $z$ là số thực $\iff$ phần ảo của $z$ bằng $0\left(b=0\right)$

+) $z$ là thuần ảo $\iff$ phần thực của $z$ bằng $0\left(a=0\right)$

Số $0$ vừa là số thực vừa là số ảo.

+) Hai số phức bằng nhau: $a+bi=a^{\prime }+b^{\prime }i\iff \{\begin{array}{l}a=a^{\prime }\\ b=b^{\prime }\end{array},(a,b,a^{\prime },b^{\prime }\in R)$

Chú ý: $i^{4k}=1;i^{4k+1}=i;i^{4k+2}=-1;i^{4k+3}=-i$

2. Biểu diễn hình học

Số phức $z=a+bi\left(a,b\in \mathbb{R}\right)$ được biểu diễn bởi điểm $M\left(a;b\right)$ hay bởi $\overrightarrow{u}=(a;b)$ trong $mp\left(Oxy\right)$ (mp phức)

3. Cộng và trừ số phức

+) $\left(a+bi\right)+\left(a^{\prime }+b^{\prime }i\right)=\left(a+a^{\prime }\right)+\left(b+b^{\prime }\right)i$

+) $\left(a+bi\right)-\left(a^{\prime }+b^{\prime }i\right)=\left(a-a^{\prime }\right)+\left(b-b^{\prime }\right)i$

+) Số đối của $z=a+bi$ là $-z=-a-bi$

+) $\overrightarrow{u}$ biểu diễn $z,\overrightarrow{u^{\prime }}$ biểu diễn $z^{\prime }$ thì $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u^{\prime }}$ biểu diễn $z+z^{\prime }$ và $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{u^{\prime }}$ biểu diễn $z-z^{\prime }$

4. Nhân hai số phức

+) $\left(a+bi\right)\left(a^{\prime }+b^{\prime }i\right)=\left(a{a}^{\prime }-b{b}^{\prime }\right)+\left(a{b}^{\prime }+b{a}^{\prime }\right)i$

+) $k(a+bi)=ka+kbi(k\in R)$

5. Số phức liên hợp

Số phức liên hợp của số phức $z=a+bi$ là $\overline{z}=a-bi$

+) $\overline{\stackrel{―}{z}}=z;\overline{z\pm z^{\prime }}=\bar{z}\pm \overline{z^{\prime }};$ $\overline{z.z^{\prime }}=\bar{z}.\overline{z^{\prime }};\stackrel{―}{\left({\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}\right)}={\displaystyle \frac{{\overline{z}}_1}{{\overline{z}}_2}};z.\overline{z}=a^2+b^2$

+) $z$ là số thực $\iff z=\bar{z}$; $z$ là số ảo $\iff z=-\bar{z}$

6. Môđun của số phức

Cho $z=a+bi$

+) $\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{z\overline{z}}=\left|\overrightarrow{OM}\right|$

+) $\left|z\right|\ge 0,\mathrm{\forall }z\in C,\left|z\right|=0\iff z=0$

+) $\left|z.z^{\prime }\right|=\left|z\right|.\left|z^{\prime }\right|$

+) $\left|{\displaystyle \frac{z}{z^{\prime }}}\right|={\displaystyle \frac{\left|z\right|}{\left|z^{\prime }\right|}}$

+) $\left|\left|z\right|-\left|z^{\prime }\right|\right|\le \left|z\pm z^{\prime }\right|\le \left|z\right|+\left|z^{\prime }\right|$

7. Chia hai số phức

+) Chia hai số phức: ${\displaystyle \frac{a+bi}{a^{\prime }+b^{\prime }i}}={\displaystyle \frac{a{a}^{\prime }-b{b}^{\prime }}{a{}^{\prime 2}+b{}^{\prime 2}}}+{\displaystyle \frac{a{b}^{\prime }+a^{\prime }b}{a{}^{\prime 2}+b{}^{\prime 2}}}i$

+) $z^{-1}={\displaystyle \frac{1}{{\left|z\right|}^2}}\overline{z},(z\ne 0)$

+) ${\displaystyle \frac{z^{\prime }}{z}}=z^{\prime }{z}^{-1}={\displaystyle \frac{z^{\prime }.\overline{z}}{{\left|z\right|}^2}}={\displaystyle \frac{z^{\prime }.\overline{z}}{z.\overline{z}}}$

+) ${\displaystyle \frac{z^{\prime }}{z}}=w\iff z^{\prime }=wz$

8. Căn bậc hai của số phức

+) $z=x+yi$  là căn bậc hai của số phức  $w=a+bi$ $\iff z^2=w$ $\iff \{\begin{array}{c}{x}^2-y^2=a\\ 2xy=b\end{array}$

+) $w=0$ có đúng $1$ căn bậc hai là $z=0$

+) $w\ne 0$ có đúng hai căn bậc hai đối nhau

+) Hai căn bậc hai của số thực $a>0$ là $\pm \sqrt{a}$

+) Hai căn bậc hai của số thực $a<0$ là  $\pm \sqrt{-a}.i$

9. Phương trình bậc hai với hệ số phức

Cho phương trình $A{z}^2+Bz+C=0(\ast )$($A,B,C$ là các số phức cho trước, $A\ne 0$)

$\mathrm{\Delta }=B^2-4AC$

+) $\mathrm{\Delta }\ne 0$: $(\ast )$ có hai nghiệm phân biệt $z_{1,2}={\displaystyle \frac{-B\pm \delta }{2A}}$, ($\delta$ là $1$ căn bậc hai của $\mathrm{\Delta }$)

+) $\mathrm{\Delta }=0$: $(\ast )$ có $1$ nghiệm kép: $z_1=z_2=-{\displaystyle \frac{B}{2A}}$

Chú ý: Nếu $z_0\in \mathbb{C}$ là một nghiệm của $(\ast )$ thì $\overline{z_0}$ cũng là một nghiệm của $(\ast )$

10. Dạng lượng giác của số phức (dành cho chương trình nâng cao)

a) Acgumen của số phức $\mathbf{z}\ne \mathbf{0}$

Cho số phức $z\ne 0.$  Gọi $M$ là điểm biểu diễn số $z.$ Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu $Ox,$  tia cuối $OM$ được gọi là một acgumen của $z.$  Nếu $\phi$ là một acgumen của $z$ thì mọi acgumen của $z$ có dạng $\phi +k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

b) Dạng lượng giác của số phức

Dạng $z=r\left(\cos \phi +i\sin \phi \right)\left(r>0\right)$ là dạng lượng giác của $z=a+bi\left(a,b\in R\right)\left(z\ne 0\right)$

$\iff \{\begin{array}{l}r=\sqrt{a^2+b^2}\\ c\mathrm{o}\mathrm{s}\phi ={\displaystyle \frac{a}{r}}\\ \sin \phi ={\displaystyle \frac{b}{r}}\end{array}$ ($\phi$ là acgumen của $z,\phi =\left(Ox,OM\right)$)

c) Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác

Nếu $z=r\left(\cos \phi +i\sin \phi \right),$$z^{\prime }=r^{\prime }\left(\cos {\phi }^{\prime }+i\sin {\phi }^{\prime }\right)$ thì:

$z.z^{\prime }=r{r}^{\prime }\left[\cos (\phi +{\phi }^{\prime })+i\sin (\phi +{\phi }^{\prime })\right]$

${\displaystyle \frac{z}{z^{\prime }}}={\displaystyle \frac{r}{r^{\prime }}}\left[c\mathrm{o}\mathrm{s}(\phi -{\phi }^{\prime })+\mathrm{i}\sin (\phi -{\phi }^{\prime })\right]$.

d) Công thức Moa-vrơ

Với $n$ là số nguyên, $n\ge 1$ thì: ${\left[r(c\mathrm{o}\mathrm{s}\phi +\mathrm{i}\sin \phi )\right]}^n=r^n(\cos n\phi +\mathrm{i}\sin n\phi )$

Khi $r=1,$ ta được : $(c\mathrm{o}\mathrm{s}\phi +\mathrm{i}\sin \phi {)}^n=(\cos n\phi +\mathrm{i}\sin n\phi )$

e) Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác

Các căn bậc hai của số phức  $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )\left(r>0\right)$ là : $\sqrt{r}\left(c\mathrm{o}\mathrm{s}{\displaystyle \frac{\phi }{2}}+\mathrm{i}\sin {\displaystyle \frac{\phi }{2}}\right)$ và $-\sqrt{r}\left(c\mathrm{o}\mathrm{s}{\displaystyle \frac{\phi }{2}}+\mathrm{i}\sin {\displaystyle \frac{\phi }{2}}\right)=\sqrt{r}\left[c\mathrm{o}\mathrm{s}\left({\displaystyle \frac{\phi }{2}}+\pi \right)+\mathrm{i}\sin \left({\displaystyle \frac{\phi }{2}}+\pi \right)\right]$

Nguồn: vungoi