+ Điểm \(A({x_0};{y_0}) \in \Delta \).
+ Một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right)\) của \(Δ.\)
Khi đó phương trình tổng quát của \(Δ\) là \(a\left( {x – {x_0}} \right) + b\left( {y – {y_0}} \right) = 0\).
Chú ý:
a. Đường thẳng \(Δ\) có phương trình tổng quát là: \(ax + by + c = 0\), \({a^2} + {b^2} \ne 0\) nhận \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
b. Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì VTPT đường thẳng này cũng là VTPT của đường thẳng kia.
c. Phương trình đường thẳng \(Δ\) qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) có dạng \(Δ\): \(a\left( {x – {x_0}} \right) + b\left( {y – {y_0}} \right) = 0\) với \({a^2} + {b^2} \ne 0\). Đặc biệt:
+ Nếu đường thẳng \(Δ\) song song với trục \(Oy:\) \(Δ:\) \(x = {x_0}\).
+ Nếu đường thẳng \(Δ\) cắt trục \(Oy:\) \(Δ:\) \(y – {y_0} = k\left( {x – {x_0}} \right)\).
d. Phương trình đường thẳng đi qua \(A\left( {a;0} \right), B\left( {0;b} \right)\) với \(ab \ne 0\) có dạng \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\).
Ví dụ 1: Cho tam giác \(ABC\) biết \(A\left( {2;0} \right), B\left( {0;4} \right), C(1;3)\). Viết phương trình tổng quát của:
a. Đường cao \(AH\).
b. Đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\).
c. Đường thẳng \(AB\).
d. Đường thẳng qua \(C\) và song song với đường thẳng \(AB\).
a. Vì \(AH \bot BC\) nên \(\overrightarrow {BC} \) là vectơ pháp tuyến của \(AH.\)
Ta có \(\overrightarrow {BC} \left( {1; – 1} \right)\) suy ra đường cao \(AH\) đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow {BC} \) là vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là \(1.\left( {x – 2} \right) – 1.\left( {y – 0} \right) = 0\) hay \(x – y – 2 = 0\).
b. Đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\) đi qua trung điểm \(BC\) và nhận vectơ \(\overrightarrow {BC} \) làm vectơ pháp tuyến.
Gọi \(I\) là trung điểm \(BC\) khi đó \({x_I} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2} = \frac{1}{2}\), \({y_I} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2} = \frac{7}{2}\) \( \Rightarrow I\left( {\frac{1}{2};\frac{7}{2}} \right)\).
Suy ra phương trình tổng quát của đường trung trực \(BC\) là:
\(1.\left( {x – \frac{1}{2}} \right) – 1.\left( {y – \frac{7}{2}} \right) = 0\) hay \(x – y + 3 = 0\).
c. Phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\) có dạng \(\frac{x}{2} + \frac{y}{4} = 1\) hay \(2x + y – 4 = 0\).
d. Giải bằng 2 cách sau:
Cách 1: Đường thẳng \(AB\) có VTPT là \(\overrightarrow n \left( {2;1} \right)\) do đó vì đường thẳng cần tìm song song với đường thẳng \(AB\) nên nhận \(\overrightarrow n \left( {2;1} \right)\) làm VTPT do đó có phương trình tổng quát là \(2.\left( {x – 1} \right) + 1.\left( {y – 3} \right) = 0\) hay \(2x + y – 5 = 0\).
Cách 2: Đường thẳng \(Δ\) song song với đường thẳng \(AB\) có dạng \(2x + y + c = 0\).
Điểm \(C\) thuộc \(Δ\) suy ra \(2.1 + 3 + c = 0\) \( \Rightarrow c = – 5\).
Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình tổng quát là \(2x + y – 5 = 0\).
Ví dụ 2: Cho đường thẳng \(d:x – 2y + 3 = 0\) và điểm \(M\left( { – 1;2} \right)\). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng \(Δ\) biết:
a. \(Δ\) đi qua điểm \(M\) và có hệ số góc \(k = 3\).
b. \(Δ\) đi qua \(M\) và vuông góc với đường thẳng \(d\).
c. \(Δ\) đối xứng với đường thẳng \(d\) qua \(M\).
a. Đường thẳng \(Δ\) có hệ số góc \(k = 3\) có phương trình dạng \(y = 3x + m\).
Mặt khác \(M \in \Delta \) \( \Rightarrow 2 = 3.\left( { – 1} \right) + m\) \( \Rightarrow m = 5\).
Suy ra phương trình tổng quát đường thẳng \(Δ\) là \(y = 3x + 5\) hay \(3x – y + 5 = 0\).
b. Ta có \(x – 2y + 3 = 0\) \( \Leftrightarrow y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}\) do đó hệ số góc của đường thẳng \(d\) là \({k_d} = \frac{1}{2}\).
Vì \(\Delta \bot d\) nên hệ số góc của \(Δ\) là \({k_\Delta }\) thì \({k_d}.{k_\Delta } = – 1 \Rightarrow {k_\Delta } = – 2\).
Do đó \(\Delta :y = – 2x + m\), \(M \in \Delta \) \( \Rightarrow 2 = – 2.( – 1) + m\) \( \Rightarrow m = – 2\).
Suy ra phương trình tổng quát đường thẳng \(\Delta \) là \(y = – 2x – 2\) hay \(2x + y + 2 = 0\).
c. Giải bằng 2 cách sau:
Cách 1: Ta có \( – 1 – 2.2 + 3 \ne 0\) do đó \(M \notin d\) vì vậy đường thẳng \(Δ\) đối xứng với đường thẳng \(d\) qua \(M\) sẽ song song với đường thẳng \(d\) suy ra đường thẳng \(Δ\) có VTPT là \(\overrightarrow n \left( {1; – 2} \right)\).
Ta có \(A\left( {1;2} \right) \in d\), gọi \(A’\) đối xứng với \(A\) qua \(M\) khi đó \(A’ \in \Delta \).
Ta có \(M\) là trung điểm của \(AA’\).
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_M} = \frac{{{x_A} + {x_{A’}}}}{2}}\\
{{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_{A’}}}}{2}}
\end{array}} \right.\) \({ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{A’}} = 2{x_M} – {x_A} = – 3}\\
{{y_{A’}} = 2{y_M} – {y_A} = 2}
\end{array}} \right.}\) \( \Rightarrow A’\left( { – 3;2} \right)\).
Vậy phương trình tổng quát đường thẳng \(Δ\) là \(1.\left( {x + 3} \right) – 2\left( {y – 2} \right) = 0\) hay \(x – 2y + 7 = 0\).
Cách 2: Gọi \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm bất kỳ thuộc đường thẳng \(d\), \(A’\left( {x;y} \right)\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(M\).
Khi đó \(M\) là trung điểm của \(AA’\), suy ra:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_M} = \frac{{{x_0} + x}}{2}}\\
{{y_M} = \frac{{{y_0} + y}}{2}}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ – 1 = \frac{{{x_0} + x}}{2}}\\
{2 = \frac{{{y_0} + y}}{2}}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_0} = – 2 – x}\\
{{y_0} = 4 – y}
\end{array}} \right.\)
Ta có \(A \in d\) \( \Rightarrow {x_0} – 2{y_0} + 3 = 0\), suy ra:
\(\left( { – 2 – x} \right) – 2.\left( {4 – y} \right) + 3 = 0\) \( \Leftrightarrow x – 2y + 7 = 0\).
Vậy phương trình tổng quát của \(Δ\) đối xứng với đường thẳng \(d\) qua \(M\) là \(x – 2y + 7 = 0\).
Ví dụ 3: Biết hai cạnh của một hình bình hành có phương trình \(x – y = 0\) và \(x + 3y – 8 = 0\), tọa độ một đỉnh của hình bình hành là \(\left( { – 2;2} \right)\). Viết phương trình các cạnh còn lại của hình bình hành.
Đặt tên hình bình hành là \(ABCD\) với \(A\left( { – 2;2} \right)\), do tọa độ điểm \(A\) không là nghiệm của hai phương trình đường thẳng trên nên ta giả sử \(BC: x – y = 0\), \(CD:x + 3y – 8 = 0\).
Vì \(AB\parallel CD\) nên cạnh \(AB\) nhận \(\overrightarrow {{n_{CD}}} \left( {1;3} \right)\) làm VTPT do đó có phương trình là \(1.\left( {x + 2} \right) + 3.\left( {y – 2} \right) = 0\) hay \(x + 3y – 4 = 0\).
Tương tự cạnh \(AD\) nhận \(\overrightarrow {{n_{BC}}} \left( {1; – 1} \right)\) làm VTPT do đó có phương trình là \(1.\left( {x + 2} \right) – 1.\left( {y – 2} \right) = 0\) hay \(x – y + 4 = 0\).
Ví dụ 4: Cho điểm \(M\left( {1;4} \right)\). Viết phương trình đường thẳng qua \(M\) lần lượt cắt hai tia \(Ox\), tia \(Oy\) tại \(A\) và \(B\) sao cho tam giác \(OAB\) có diện tích nhỏ nhất.
Giả sử \(A\left( {a;0} \right), B\left( {0;b} \right)\) với \(a > 0, b > 0\). Khi đó đường thẳng đi qua \(A, B\) có dạng \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\). Do \(M \in AB\) nên \(\frac{1}{a} + \frac{4}{b} = 1\).
Mặt khác \({S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}ab\).
Áp dụng BĐT Côsi, ta có: \(1 = \frac{1}{a} + \frac{4}{b} \ge 2\sqrt {\frac{4}{{ab}}} \) \( \Rightarrow ab \ge 16 \Rightarrow {S_{OAB}} \ge 8\).
Suy ra \({S_{OAB}}\) nhỏ nhất khi \(\frac{1}{a} = \frac{4}{b}\) và \(\frac{1}{a} + \frac{4}{b} = 1\) do đó \(a = 2; b = 8\).
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là \(\frac{x}{2} + \frac{y}{8} = 1\) hay \(4x + y – 8 = 0\).