Để viết phương trình tham số của đường thẳng \(Δ\) ta cần xác định:
+ Điểm \(A({x_0};{y_0}) \in \Delta.\)
+ Một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {a;b} \right)\) của \(Δ.\)
Khi đó phương trình tham số của \(Δ\) là \(\left\{ \begin{array}{l}
x = {x_0} + at\\
y = {y_0} + bt
\end{array} \right.\) với \(t ∈ R.\)
Phương trình chính tắc của đường thẳng
Để viết phương trình chính tắc của đường thẳng \(Δ\) ta cần xác định:
+ Điểm \(A({x_0};{y_0}) \in \Delta. \)
+ Một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {a;b} \right), ab \ne 0\) của \(Δ.\)
Phương trình chính tắc của đường thẳng \(Δ\) là \(\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b}.\) (trường hợp \(ab = 0\) thì đường thẳng không có phương trình chính tắc).
Chú ý:
+ Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì chúng có cùng VTCP và VTPT.
+ Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia và ngược lại.
+ Nếu \(Δ\) có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {a;b} \right)\) thì \(\overrightarrow n = \left( { – b;a} \right)\) là một VTPT của \(Δ.\)
Ví dụ 1: Cho điểm \(A\left( {1; – 3} \right)\) và \(B( – 2;3).\) Viết phương trình tham số của đường thẳng \(Δ\) trong mỗi trường hợp sau:
a. \(Δ\) đi qua \(A\) và nhận vectơ \(\overrightarrow n \left( {1;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
b. \(Δ\) đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng \(AB.\)
c. \(Δ\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB.\)
a. Vì \(Δ\) nhận vectơ \(\overrightarrow n \left( {1;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến nên VTCP của \(Δ\) là \(\overrightarrow u \left( { – 2;1} \right).\)
Vậy phương trình tham số của đường thẳng \(Δ\) là \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 – 2t\\
y = – 3 + t
\end{array} \right.\)
b. Ta có \(\overrightarrow {AB} \left( { – 3;6} \right)\) mà \(Δ\) song song với đường thẳng \(AB\) nên nhận \(\overrightarrow u \left( { – 1;2} \right)\) làm VTCP.
Vậy phương trình tham số của đường thẳng \(Δ\) là \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}
x = – t\\
y = 2t
\end{array} \right.\)
c. Vì \(Δ\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\) nên nhận \(\overrightarrow {AB} \left( { – 3;6} \right)\) làm VTPT và đi qua trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB.\)
Ta có \(I\left( { – \frac{1}{2};0} \right)\) và \(Δ\) nhận \(\overrightarrow u \left( { – 1;2} \right)\) làm VTCP nên phương trình tham số của đường thẳng \(Δ\) là \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}
x = – \frac{1}{2} – t\\
y = 2t
\end{array} \right.\)
Ví dụ 2: Viết phương trình tổng quát, tham số, chính tắc (nếu có) của đường thẳng \(Δ\) trong mỗi trường hợp sau:
a. \(Δ\) đi qua điểm \(A\left( {3;0} \right)\) và \(B\left( {1;3} \right).\)
b. \(Δ\) đi qua \(N\left( {3;4} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(d’:\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 – 3t\\
y = 4 + 5t
\end{array} \right.\)
a. Đường thẳng \(Δ\) đi qua hai điểm \(A\) và \(B\) nên nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( { – 2;3} \right)\) làm vectơ chỉ phương do đó phương trình tham số là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 3 – 2t}\\
{y = 3t}
\end{array}} \right.;\) phương trình chính tắc là \(\frac{{x – 3}}{{ – 2}} = \frac{y}{3};\) phương trình tổng quát là \(3\left( {x – 3} \right) = – 2y\) hay \(3x + 2y – 9 = 0.\)
b. \(\Delta \bot d’\) nên VTCP của \(d’\) cũng là VTPT của \(Δ\) nên đường thẳng \(Δ\) nhận \(\overrightarrow u \left( { – 3;5} \right)\) làm VTPT và \(\overrightarrow v \left( { – 5; – 3} \right)\) làm VTCP do đó đó phương trình tổng quát là \( – 3\left( {x – 3} \right) + 5\left( {y – 4} \right) = 0\) hay \(3x – 5y + 11 = 0;\) phương trình tham số là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 3 – 5t}\\
{y = 4 – 3t}
\end{array}} \right.;\) phương trình chính tắc là \(\frac{{x – 3}}{{ – 5}} = \frac{{y – 4}}{{ – 3}}.\)
Ví dụ 3: Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( { – 2;1} \right), B\left( {2;3} \right)\) và \(C\left( {1; – 5} \right).\)
a. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh \(BC\) của tam giác.
b. Viết phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến \(AM.\)
c. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(D\), \(G\) với \(D\) là chân đường phân giác trong góc \(A\) và \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC.\)
a. Ta có \(\overrightarrow {BC} \left( { – 1; – 8} \right)\) suy ra đường thẳng chứa cạnh \(BC\) có phương trình là:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 – t\\
y = 3 – 8t
\end{array} \right.\)
b. \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(M\left( {\frac{3}{2}; – 1} \right)\) do đó đường thẳng chứa đường trung tuyến \(AM\) nhận \(\overrightarrow {AM} \left( {\frac{7}{2}; – 2} \right)\) làm VTCP nên có phương trình là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = – 2 + \frac{7}{2}t}\\
{y = 1 – 2t}
\end{array}} \right.\)
c. Gọi \(D({x_D};{y_D})\) là chân đường phân giác hạ từ \(A\) của tam giác \(ABC.\)
Ta có \(\overrightarrow {BD} = \frac{{AB}}{{AC}}\overrightarrow {DC}.\)
Mà \(AB = \sqrt {{{( – 2 – 2)}^2} + {{(3 – 1)}^2}} \) \( = 2\sqrt 5 \) và \(AC = \sqrt {{{(1 + 2)}^2} + {{( – 5 – 1)}^2}} \) \( = 3\sqrt 5 \) suy ra:
\(\overrightarrow {BD} = \frac{{AB}}{{AC}}\overrightarrow {DC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {DC} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_D} – 2 = \frac{2}{3}(1 – {x_D})\\
{y_D} – 3 = \frac{2}{3}( – 5 – {y_D})
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_D} = \frac{8}{5}\\
{y_D} = \frac{{ – 1}}{5}
\end{array} \right. \Rightarrow D(\frac{8}{5}; – \frac{1}{5}).\)
\(G\left( {\frac{1}{3}; – \frac{1}{3}} \right)\) là trọng tâm của tam giác \(ABC.\)
Ta có \(\overrightarrow {DG} \left( { – \frac{{19}}{{15}}; – \frac{2}{{15}}} \right)\) suy ra đường thẳng \(DG\) nhận \(\overrightarrow u (19;2)\) làm VTCP nên có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{1}{3} + 19t\\
y = \frac{{ – 1}}{3} + 2t
\end{array} \right.\)
Ví dụ 4: Cho tam giác \(ABC\) biết \(AB:x + y – 1 = 0,\) \(AC:x – y + 3 = 0\) và trọng tâm \(G\left( {1;2} \right).\) Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh \(BC.\)
Ta có tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x + y – 1 = 0\\
x – y + 3 = 0
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = – 1\\
y = 2
\end{array} \right.\) \( \Rightarrow A( – 1;2).\)
Gọi \(M(x;y)\) là trung điểm của \(BC.\)
Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(\overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {GM} \), \(\overrightarrow {AG} \left( {2;0} \right)\), \(\overrightarrow {GM} \left( {x – 1;y – 2} \right)\) suy ra:
\(\left\{ \begin{array}{l}
2 = 2.(x – 1)\\
0 = 2.(y – 2)
\end{array} \right. \Rightarrow M(2;2).\)
\(B\left( {{x_B};{y_B}} \right) \in AB\) \( \Rightarrow {x_B} + {y_B} – 1 = 0\) \( \Rightarrow {y_B} = 1 – {x_B}\) do đó \(B\left( {{x_B};1 – {x_B}} \right).\)
\(C\left( {{x_C};{y_C}} \right) \in AC\) \( \Rightarrow {x_C} – {y_C} + 3 = 0\) \( \Rightarrow {y_C} = {x_C} + 3\) do đó \(C\left( {{x_C};{x_C} + 3} \right).\)
Mà \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_M} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2}\\
{y_M} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2}
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_B} + {x_C} = 4\\
{x_C} – {x_B} = 0
\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_B} = 2\\
{x_C} = 2
\end{array} \right.\)
Vậy \(B\left( {2; – 1} \right), C(2;5) \Rightarrow \overrightarrow {BC} \left( {0;6} \right)\) suy ra phương trình đường thẳng \(BC\) là \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = – 1 + 6t
\end{array} \right.\)
