Trục tọa độ và hệ trục tọa độ

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. TRỤC TỌA ĐỘ
1. Định nghĩa: Trục tọa độ (trục hay trục số) là một đường thẳng trên đó ta đã xác định một điểm $O$ và một vectơ đơn vị $\overrightarrow{i}$ (tức là $\left|\overrightarrow{i}\right|=1$).

Điểm $O$ được gọi là gốc tọa độ, vectơ $\overrightarrow{i}$ được gọi là vectơ đơn vị của trục tọa độ. Kí hiệu $(O;\overrightarrow{i})$ hay $x^{\prime }Ox$ hoặc đơn giản là $Ox.$
2. Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục
+ Cho vectơ $\overrightarrow{u}$ nằm trên trục $(O;\overrightarrow{i})$ thì có số thực $a$ sao cho $\overrightarrow{u}=a\overrightarrow{i}$ với $a\in R.$ Số $a$ như thế được gọi là tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ đối với trục $(O;\overrightarrow{i}).$
+ Cho điểm $M$ nằm trên $(O;\overrightarrow{i})$ thì có số $m$ sao cho $\overrightarrow{OM}=m\overrightarrow{i}.$ Số $m$ như thế được gọi là tọa độ của điểm $M$ đối với trục $(O;\overrightarrow{i}).$
Như vậy tọa độ điểm $M$ là tọa độ vectơ $\overrightarrow{OM}.$
3. Độ dài đại số của vectơ trên trục
Cho hai điểm $A$, $B$ nằm trên trục $Ox$ thì tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ kí hiệu là $\overline{AB}$ và gọi là độ dài đại số của vectơ $\overrightarrow{AB}$ trên trục $Ox.$
Như vậy $\overrightarrow{AB}=\overline{AB}.\overrightarrow{i}.$
Tính chất:
+ $\overline{AB}=–\overline{BA}.$
+ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\iff \overline{AB}=\overline{CD}.$
+ $\mathrm{\forall }A,B,C\in (O;\overrightarrow{i})$: $\overline{AB}+\overline{BC}=\overline{AC}.$
II. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
1. Định nghĩa: Hệ trục tọa độ gồm hai trục vuông góc $Ox$ và $Oy$ với hai vectơ đơn vị lần lượt là $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}.$ Điểm $O$ gọi là gốc tọa độ, $Ox$ gọi là trục hoành và $Oy$ gọi là trục tung. Kí hiệu $Oxy$ hay $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}).$
2. Tọa độ điểm, tọa độ vectơ
+ Trong hệ trục tọa độ $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ nếu $\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$ thì cặp số $(x;y)$ được gọi là tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$, kí hiệu là $\overrightarrow{u}=(x;y)$ hay $\overrightarrow{u}(x;y).$
$x$ được gọi là hoành độ, $y$ được gọi là tung độ của vectơ $\overrightarrow{u}.$
+ Trong hệ trục tọa độ $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$, tọa độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$ gọi là tọa độ của điểm $M$, kí hiệu là $M=(x;y)$ hay $M(x;y).$ $x$ được gọi là hoành độ, $y$ được gọi là tung độ của điểm $M.$

Nhận xét: Gọi $H$, $K$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên $Ox$ và $Oy$ thì $M(x;y)$ $\iff \overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$ $=\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{OK}.$
Như vậy $\overrightarrow{OH}=x\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{OK}=y\overrightarrow{j}$ hay $x=\overline{OH}$, $y=\overline{OK}.$
3. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm tam giác
+ Cho $A\left(x_A;y_A\right)$, $B\left(x_B;y_B\right)$ và $M$ là trung điểm $AB.$ Tọa độ trung điểm $M\left(x_M;y_M\right)$ của đoạn thẳng $AB$ là $x_M=\frac{x_A+x_B}{2}$, $y_M=\frac{y_A+y_B}{2}.$
+ Cho tam giác $ABC$ có $A\left(x_A;y_A\right)$, $B\left(x_B;y_B\right)$, $C\left(x_C;y_C\right).$ Tọa độ trọng tâm $G\left(x_G;y_G\right)$ của tam giác $ABC$ là $x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}$ và $y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}.$
4. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Cho $\overrightarrow{u}=(x;y)$, $\overrightarrow{u^{\prime }}=\left(x^{\prime };y^{\prime }\right)$ và số thực $k.$ Khi đó ta có:
1) $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u^{\prime }}\iff \{\begin{array}{l}x=x^{\prime }\\ y=y^{\prime }\end{array}.$
2) $\overrightarrow{u}\pm \overrightarrow{v}=\left(x\pm x^{\prime };y\pm y^{\prime }\right).$
3) $k\overrightarrow{u}=(kx;ky).$
4) $\overrightarrow{u^{\prime }}$ cùng phương $\overrightarrow{u}$ $(\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0})$ khi và chỉ khi có số $k$ sao cho $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=kx\\ y^{\prime }=ky\end{array}.$
5) Cho $A\left(x_A;y_A\right)$, $B\left(x_B;y_B\right)$ thì $\overrightarrow{AB}=\left(x_B–x_A;y_B–y_A\right).$
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
DẠNG TOÁN 1: TÌM TỌA ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM – TỌA ĐỘ VECTƠ – ĐỘ DÀI ĐẠI SỐ CỦA VECTƠ VÀ CHỨNG MINH HỆ THỨC LIÊN QUAN TRÊN TRỤC $(O;\overrightarrow{i}).$
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng các kiến thức cơ bản sau:
+ Điểm $M$ có tọa độ $a$ $\iff \overrightarrow{OM}=a\overrightarrow{i}.$
+ Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có độ dài đại số là $m=\overline{AB}\iff \overrightarrow{AB}=m\overrightarrow{i}.$
+ Nếu $a$, $b$ lần lượt là tọa độ của $A$, $B$ thì $\overline{AB}=b–a.$
Các tính chất:
+ $\overline{AB}=–\overline{BA}.$
+ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\iff \overline{AB}=\overline{CD}.$
+ $\mathrm{\forall }A,B,C\in (O;\overrightarrow{i})$: $\overline{AB}+\overline{BC}=\overline{AC}.$
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Trên trục tọa độ $(O;\overrightarrow{i})$ cho ba điểm $A$, $B$, $C$ có tọa độ lần lượt là $–2$, $1$ và $4.$
a) Tính tọa độ các vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CA}.$
b) Chứng minh $B$ là trung điểm của $AC.$
a) Ta có $\overline{AB}=1+2=3$, $\overline{BC}=3$, $\overline{CA}=–6.$
b) Ta có $\overline{BA}=–3=–\overline{BC}$ $\Rightarrow \overrightarrow{BA}=–\overrightarrow{BC}$ suy ra $B$ là trung điểm $AC.$
Ví dụ 2: Trên trục tọa độ $(O;\overrightarrow{i})$ cho $4$ điểm $A$, $B$, $C$, $D$ bất kỳ. Chứng minh $\overline{AB}.\overline{CD}+\overline{AC}.\overline{DB}+\overline{AD}.\overline{BC}=0.$
Cách 1: Giả sử tọa độ các điểm $A$, $B$, $C$, $D$ lần lượt là $a$, $b$, $c$, $d.$
Ta có:
$\overline{AB}.\overline{CD}=(b–a)(d–c)$ $=bd+ac–bc–ad.$
$\overline{AC}.\overline{DB}=(c–a)(b–d)$ $=bc+ad–cd–ab.$
$\overline{AD}.\overline{BC}=(d–a)(c–b)$ $=cd+ab–ac–bd.$
Cộng vế với vế lại ta được $\overline{AB}.\overline{CD}+\overline{AC}.\overline{DB}+\overline{AD}.\overline{BC}=0.$
Cách 2: $\overline{AB}.\overline{CD}+\overline{AC}.\overline{DB}+\overline{AD}.\overline{BC}.$
$=\overline{AB}.(\overline{AD}–\overline{AC})$ $+\overline{AC}.(\overline{AB}–\overline{AD})$ $+\overline{AD}.(\overline{AC}–\overline{AB}).$
$=\overline{AB}.\overline{AD}–\overline{AB}.\overline{AC}$ $+\overline{AC}.\overline{AB}–\overline{AC}.\overline{AD}$ $+\overline{AD}.\overline{AC}–\overline{AD}.\overline{AB}$ $=0.$
3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Trên trục tọa độ $(O;\overrightarrow{i})$ cho hai điểm $A$ và $B$ có tọa độ lần lượt $a$ và $b.$
a) Tìm tọa độ điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{MB}$ $(k\ne 1).$
b) Tìm tọa độ trung điểm $I$ của $AB.$
c) Tìm tọa độ điểm $N$ sao cho $2\overline{NA}=–5\overline{NB}.$
a) $x_M=\frac{kb–a}{k–1}.$
b) $x_1=\frac{a+b}{2}.$
c) $x_N=\frac{5b+2a}{7}.$
Bài 2: Trên trục tọa độ $(O;\overrightarrow{i})$ cho $4$ điểm $A$, $B$, $C$, $D$ có tọa độ lần lượt là $a$, $b$, $c$, $d$ và thỏa mãn hệ thức $2(ab+cd)=(a+b)(c+d).$ Chứng minh rằng $\frac{\overline{DA}}{\overline{DB}}=–\frac{\overline{CA}}{\overline{CB}}.$
Ta có: $\frac{\overline{DA}}{\overline{DB}}=–\frac{\overline{CA}}{\overline{CB}}$ $\iff \frac{a–d}{b–d}=–\frac{a–c}{b–c}.$
$\iff ab–ac–bd+cd$ $=bc–ab–cd+ad.$
$\iff 2(ab+cd)$ $=c(a+b)+d(a+b).$
$\iff 2(ab+cd)$ $=(a+b)(c+d).$
DẠNG TOÁN 2: TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM – TỌA ĐỘ VECTƠ TRÊN MẶT PHẲNG $Oxy.$
1. PHƯƠNG PHÁP
Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ ta làm như sau: Dựng vectơ $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{a}.$ Gọi $H$, $K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $Ox$, $Oy.$ Khi đó $\overrightarrow{a}\left(a_1;a_2\right)$ với $a_1=\overline{OH}$, $a_2=\overline{OK}.$
Để tìm tọa độ điểm $A$ ta đi tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{OA}.$
Nếu biết tọa độ hai điểm $A\left(x_A;y_A\right)$, $B\left(x_B;y_B\right)$ suy ra tọa độ $\overrightarrow{AB}$ được xác định theo công thức $\overrightarrow{AB}=\left(x_B–x_A;y_B–y_A\right).$
Chú ý: $\overline{OH}=OH$ nếu $H$ nằm trên tia $Ox$ (hoặc $Oy$) và $\overline{OH}=–OH$ nếu $H$ nằm trên tia đối tia $Ox$ (hoặc $Oy$).
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm $M(x;y).$ Tìm tọa độ của các điểm:
a) $M_1$ đối xứng với $M$ qua trục hoành.
b) $M_2$ đối xứng với $M$ qua trục tung.
c) $M_3$ đối xứng với $M$ qua gốc tọa độ.

a) $M_1$ đối xứng với $M$ qua trục hoành suy ra $M_1(x;–y).$
b) $M_2$ đối xứng với $M$ qua trục tung suy ra $M_2(–x;y).$
c) $M_3$ đối xứng với $M$ qua gốc tọa độ suy ra $M_3(–x;–y).$
Ví dụ 2: Trong hệ trục tọa độ $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$, cho hình vuông $ABCD$ tâm $I$ và có $A(1;3).$ Biết điểm $B$ thuộc trục $(O;\overrightarrow{i})$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng với $\overrightarrow{i}.$ Tìm tọa độ các vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AC}.$

Từ giả thiết ta xác định được hình vuông trên mặt phẳng tọa độ (hình bên).
Vì điểm $A(1;3)$ suy ra $AB=3$, $OB=1.$
Do đó $B(1;0)$, $C(4;0)$, $D(4;3).$
Vậy $\overrightarrow{AB}(0;–3)$, $\overrightarrow{BC}(3;0)$ và $\overrightarrow{AC}(3;–3).$
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy.$ Cho hình thoi $ABCD$ cạnh $a$ và $\widehat{BAD}={60}^0.$ Biết $A$ trùng với gốc tọa độ $O$, $C$ thuộc trục $Ox$ và $x_B\ge 0$, $y_B\ge 0.$ Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi $ABCD.$

Từ giả thiết ta xác định được hình thoi trên mặt phẳng tọa độ $Oxy.$
Gọi $I$ là tâm hình thoi ta có:
$BI=AB\sin \widehat{BAI}$ $=a\sin {30}^0=\frac{a}{2}.$
$AI=\sqrt{A{B}^2–B{I}^2}$ $=\sqrt{a^2–\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$
Suy ra:
$A(0;0)$, $B\left(\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a}{2}\right)$, $C(a\sqrt{3};0)$, $D\left(\frac{a\sqrt{3}}{2};–\frac{a}{2}\right).$
3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho hình bình hành $ABCD$ có $AD=4$ và chiều cao ứng với cạnh $AD=3$, $\widehat{BAD}={60}^0.$ Chọn hệ trục tọa độ $(A;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ sao cho $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{AD}$ cùng hướng, $y_B>0.$ Tìm tọa độ các vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{AC}.$
Kẻ $BH\mathrm{\perp }AD$ $\Rightarrow BH=3$, $AB=2\sqrt{3}$, $AH=\sqrt{3}.$
$A(0;0)$, $B(\sqrt{3};3)$, $C(4+\sqrt{3};3)$, $D(4;0).$
$\overrightarrow{AB}=(\sqrt{3};3)$, $\overrightarrow{BC}=(4;0)$, $\overrightarrow{CD}=(–\sqrt{3};–3)$, $\overrightarrow{AC}=(4+\sqrt{3};3).$
Bài 2: Cho lục giác đều $ABCDEF.$ Chọn hệ trục tọa độ $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ trong đó $O$ là tâm lục giác đều, $\overrightarrow{i}$ cùng hướng với $\overrightarrow{OD}$, $\overrightarrow{j}$ cùng hướng $\overrightarrow{EC}.$ Tính tọa độ các đỉnh lục giác đều, biết cạnh của lục giác là $6.$
$A(–6;0)$, $D(6;0)$, $B(–3;3\sqrt{3})$, $C(3;3\sqrt{3})$, $F(–3;–3\sqrt{3})$, $E(3;–3\sqrt{3}).$
DẠNG TOÁN 3: XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ ĐIỂM – VECTƠ LIÊN QUAN ĐẾN BIỂU THỨC DẠNG $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{u}–\overrightarrow{v}$, $k\overrightarrow{u}.$
1. PHƯƠNG PHÁP
Dùng công thức tính tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{u}–\overrightarrow{v}$, $k\overrightarrow{u}.$
Với $\overrightarrow{u}=(x;y)$, $\overrightarrow{u^{\prime }}=\left(x^{\prime };y^{\prime }\right)$ và số thực $k$, khi đó $\overrightarrow{u}\pm \overrightarrow{v}=\left(x\pm x^{\prime };y\pm y^{\prime }\right)$ và $k\overrightarrow{u}=(kx;ky).$
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $3$ vectơ: $\overrightarrow{a}=(3;2)$, $\overrightarrow{b}=(–1;5)$, $\overrightarrow{c}=(–2;–5).$ Tìm tọa độ của vectơ sau:
a) $\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}$ với $\overrightarrow{u}=3\overrightarrow{i}–4\overrightarrow{j}$ và $\overrightarrow{v}=\frac{\pi }{2}\overrightarrow{i}.$
b) $\overrightarrow{k}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{l}=–\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}.$
a) Ta có: $\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}=3\overrightarrow{i}–4\overrightarrow{j}+\pi \overrightarrow{i}$ $=(3+\pi )\overrightarrow{i}–4\overrightarrow{j}$ suy ra $\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}=(3+\pi ;–4).$
b) Ta có $2\overrightarrow{a}=(6;4)$, $\overrightarrow{b}=(–1;5)$ suy ra $\overrightarrow{k}=(6–1;4+5)=(5;9).$
$–\overrightarrow{a}=(–3;–2)$, $2\overrightarrow{b}=(–2;10)$ và $5\overrightarrow{c}=(–10;–25)$ suy ra:
$\overrightarrow{l}=(–3–2–10;–2+10–25)$ $=(–15;–17).$
Ví dụ 2: Cho $\overrightarrow{a}=(1;2)$, $\overrightarrow{b}=(–3;4)$, $\overrightarrow{c}=(–1;3).$ Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ biết:
a) $2\overrightarrow{u}–3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}.$
b) $3\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}=3\overrightarrow{c}.$
a) Ta có: $2\overrightarrow{u}–3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$ $\iff \overrightarrow{u}=\frac{3}{2}\overrightarrow{a}–\frac{1}{2}\overrightarrow{b}.$
Suy ra $\overrightarrow{u}=\left(\frac{3}{2}+\frac{3}{2};3–2\right)=(3;1).$
b) Ta có: $3\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}=3\overrightarrow{c}$ $\iff \overrightarrow{u}=–\frac{2}{3}\overrightarrow{a}–\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}.$
Suy ra: $\overrightarrow{u}=\left(–\frac{2}{3}+3–1;–\frac{4}{3}–4+3\right)$ $=\left(\frac{4}{3};–\frac{7}{3}\right).$
Ví dụ 3: Cho ba điểm $A(-4;0)$, $B(0;3)$ và $C(2;1).$
a) Xác định tọa độ vectơ $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{AB}–\overrightarrow{AC}.$
b) Tìm điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}.$
a) Ta có: $\overrightarrow{AB}(4;3)$, $\overrightarrow{AC}(6;1)$ suy ra $\overrightarrow{u}=(2;5).$
b) Gọi $M(x;y)$, ta có: $\overrightarrow{MA}(–4–x;–y)$, $\overrightarrow{MB}(–x;3–y)$, $\overrightarrow{MC}(2–x;1–y).$
Suy ra $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}$ $=(–6x+2;–6y+9).$
Do đó $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$ $\Rightarrow \{\begin{array}{l}–6x+2=0\\ –6y+9=0\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}\\ y=\frac{3}{2}\end{array}.$
Vậy $M\left(\frac{1}{3};\frac{3}{2}\right).$
3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho các vectơ $\overrightarrow{a}=(2;0)$, $\overrightarrow{b}=\left(–1;\frac{1}{2}\right)$, $\overrightarrow{c}=(4;6).$ Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{u}$ biết:
a) $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{a}–4\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}.$
b) $\overrightarrow{a}–2\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{u}=\overrightarrow{c}.$
a) $\overrightarrow{u}=(28;–28).$
b) $\overrightarrow{u}=\left(0;\frac{7}{2}\right).$
Bài 2: Cho ba điểm $A(-4;0)$, $B(-5;0)$ và $C(3;-3).$
a) Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}–2\overrightarrow{BC}+3\overrightarrow{CA}.$
b) Tìm điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}.$
a) $\overrightarrow{u}(–38;3).$
b) $M(–2;–1).$
DẠNG TOÁN 4: XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ CÁC ĐIỂM CỦA MỘT HÌNH.
1. PHƯƠNG PHÁP
Dựa vào tính chất của hình và sử dụng công thức:
+ $M$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$ suy ra $x_M=\frac{x_A+x_B}{2}$, $y_M=\frac{y_A+y_B}{2}.$
+ $G$ trọng tâm tam giác $ABC$ suy ra $x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}$, $y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{2}.$
+ $\overrightarrow{u}(x;y)=\overrightarrow{u^{\prime }}\left(x^{\prime };y^{\prime }\right)$ $\iff \{\begin{array}{l}x=x^{\prime }\\ y=y^{\prime }\end{array}.$
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Cho tam giác $ABC$ có $A(2;1)$, $B(-1;-2)$, $C(-3;2).$
a) Tìm tọa độ trung điểm $M$ sao cho $C$ là trung điểm của đoạn $MB.$
b) Xác định trọng tâm tam giác $ABC.$
c) Tìm điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành.
a) $C$ là trung điểm của $MB$ suy ra $x_C=\frac{x_M+x_B}{2}$ $\Rightarrow x_M=2x_C–x_B=–5$ và $y_C=\frac{y_M+y_B}{2}$ $\Rightarrow y_M=2y_C–y_B=6.$
Vậy $M(–5;6).$
b) $G$ là trọng tâm tam giác suy ra:
$x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}$ $=\frac{2–1–3}{3}=–\frac{2}{3}$ và $y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{2}$ $=\frac{1–2+2}{3}=\frac{1}{3}.$
Vậy $G\left(–\frac{2}{3};\frac{1}{3}\right).$
c) Gọi $D(x;y)$ $\Rightarrow \overrightarrow{DC}=(–3–x;2–y).$
Ta có: $ABCD$ là hình bình hành suy ra:
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ $\iff \{\begin{array}{l}–3–x=–3\\ 2–y=–3\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ y=5\end{array}$ $\Rightarrow D(0;5).$
Vậy $D(0;5).$
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho $A(3;-1)$, $B(-1;2)$ và $I(1;-1).$ Xác định tọa độ các điểm $C$, $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, biết $I$ là trọng tâm tam giác $ABC.$ Tìm tọa độ tâm $O$ của hình bình hành $ABCD.$
Vì $I$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên:
$x_I=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}$ $\Rightarrow x_C=3x_I–x_A–x_B=1.$
$y_I=\frac{y_A+y_B+y_C}{2}$ $\Rightarrow y_C=3y_I–y_A–y_B=–4.$
Suy ra $C(1;-4).$
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành suy ra:
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ $\iff \{\begin{array}{l}–1–3=1–x_D\\ 2+1=–4–y_D\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}{x}_D=5\\ y_D=–7\end{array}$ $\Rightarrow D(5;–7).$
Điểm $O$ của hình bình hành $ABCD$ suy ra $O$ là trung điểm $AC$ do đó:
$x_O=\frac{x_A+x_C}{2}=2$, $y_O=\frac{y_A+y_C}{2}=–\frac{5}{2}$ $\Rightarrow O\left(2;–\frac{5}{2}\right).$
3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho ba điểm $A(3;4)$, $B(2;1)$, $C(-1;-2).$
a) Tìm tọa độ trung điểm cạnh $BC$ và tọa độ trọng tâm của tam giác $ABC.$
b) Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành.
a) Trung điểm $BC$ là $I\left(\frac{1}{2};–\frac{1}{2}\right)$, trọng tâm của tam giác $ABC$ là $G\left(\frac{4}{3};1\right).$
b) Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành $\iff \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ $\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ y=1\end{array}$ $\Rightarrow D(0;1).$
Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho $A(3;4)$, $B(-1;2)$, $I(4;1).$ Xác định tọa độ các điểm $C$, $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành và $I$ là trung điểm cạnh $CD.$ Tìm tọa độ tâm $O$ của hình bình hành $ABCD.$
Do $I(4;-1)$ là trung điểm của $CD$ nên đặt:
$C(4–x;–1–y)$, $D(4+x;–1+y)$ $\Rightarrow \overrightarrow{CD}(2x;2y).$
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành $\iff \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$ $\iff \{\begin{array}{l}x=2\\ y=1\end{array}.$
Vậy $C(2;–2)$, $D(6;0)$, $O\left(\frac{9}{2};2\right).$
Bài 3: Cho tam giác $ABC$ có $A(3;1)$, $B(1;-3)$, đỉnh $C$ nằm trên $Oy$ và trọng tâm $G$ nằm trên trục $Ox.$ Tìm tọa độ đỉnh $C.$
Từ giả thiết ta có $C(0;y)$, $G(x;0).$
$G$ là trọng tâm tam giác nên $\{\begin{array}{l}{x}_A+x_B+x_C=3x_G\\ y_A+y_B+y_C=3y_G\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{4}{3}\\ y=2\end{array}.$
Vậy $C(0;2).$
Bài 4: Cho tam giác $ABC$ có $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $CA$, $AB.$ Biết $M(1;1)$, $N(-2;-3)$, $P(2;-1).$ Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác $ABC.$
Ta có $\overrightarrow{MN}(–3;–4)$, $\overrightarrow{PA}\left(x_A–2;y_A+1\right)$, $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PA}\Rightarrow A(–1;–5).$
$N$ là trung điểm $AC$ suy ra $C(-3;-1).$
$M$ là trung điểm $BC$ suy ra $B(5;3).$
Bài 5: Cho tam giác $ABC$ có $A(3;4)$, $B(-1;2)$, $C(4;1).$ $A^{\prime }$ là điểm đối xứng của $A$ qua $B$, $B^{\prime }$ là điểm đối xứng của $B$ qua $C$, $C^{\prime }$ là điểm đối xứng của $C$ qua $A.$
a) Tìm tọa độ các điểm $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }.$
b) Chứng minh các tam giác $ABC$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cùng trọng tâm.
a) $A^{\prime }$ là điểm đối xứng của $A$ qua $B$ suy ra $B$ là trung điểm của $A{A}^{\prime }$ do đó $A^{\prime }(-5;0).$ Tương tự $B^{\prime }(9;0)$, $C^{\prime }(2;7).$
b) Trọng tâm của tam giác $ABC$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cùng tọa độ là $\left(2;\frac{7}{3}\right).$
DẠNG TOÁN 5: BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỰ CÙNG PHƯƠNG CỦA HAI VECTƠ – PHÂN TÍCH MỘT VECTƠ QUA HAI VECTƠ KHÔNG CÙNG PHƯƠNG.
1. PHƯƠNG PHÁP
Cho $\overrightarrow{u}=(x;y)$, $\overrightarrow{u^{\prime }}=\left(x^{\prime };y^{\prime }\right).$ Vectơ $\overrightarrow{u^{\prime }}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{u}$ $(\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0})$ khi và chỉ khi có số $k$ sao cho: $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=kx\\ y^{\prime }=ky\end{array}.$
Chú ý: Nếu $xy\ne 0$ ta có $\overrightarrow{u^{\prime }}$ cùng phương $\overrightarrow{u}$ $\iff \frac{x^{\prime }}{x}=\frac{y^{\prime }}{y}.$
Để phân tích $\overrightarrow{c}\left(c_1;c_2\right)$ qua hai vectơ $\overrightarrow{a}\left(a_1;a_2\right)$, $\overrightarrow{b}\left(b_1;b_2\right)$ không cùng phương, ta giả sử $\overrightarrow{c}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}.$ Khi đó ta quy về giải hệ phương trình $\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y=c_1\\ a_{2}x+b_{2}y=c_2\end{array}.$
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Cho $\overrightarrow{a}=(1;2)$, $\overrightarrow{b}=(–3;0)$, $\overrightarrow{c}=(–1;3).$
a) Chứng minh hai vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ không cùng phương.
b) Phân tích vectơ $\overrightarrow{c}$ qua $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}.$
a) Ta có: $\frac{–3}{1}\ne \frac{0}{2}$ $\Rightarrow \overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương.
b) Giả sử $\overrightarrow{c}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}.$ Ta có $x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}=(x–3y;2x).$
Suy ra $\{\begin{array}{l}x–3y=–1\\ 2x=3\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{2}{3}\\ y=\frac{5}{9}\end{array}$ $\Rightarrow \overrightarrow{c}=\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{5}{9}\overrightarrow{b}.$
Ví dụ 2: Cho $\overrightarrow{u}=\left(m^2+m–2;4\right)$ và $\overrightarrow{v}=(m;2).$ Tìm $m$ để hai vectơ $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ cùng phương.
+ Với $m=0$: Ta có $\overrightarrow{u}=(–2;4)$, $\overrightarrow{v}=(0;2).$
Vì $\frac{0}{–2}\ne \frac{2}{4}.$ nên hai vectơ $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ không cùng phương.
+ Với $m\ne 0$: Ta có $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ cùng phương khi và chỉ khi:
$\frac{m^2+m–2}{m}=\frac{4}{2}$ $\iff m^2–m–2=0$ $\iff [\begin{array}{l}m=–1\\ m=2\end{array}.$
Vậy với $m=-1$ và $m=2$ là các giá trị cần tìm.
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho ba điểm $A(6;3)$, $B(-3;6)$, $C(1;-2).$
a) Chứng minh $A$, $B$, $C$ là ba đỉnh một tam giác.
b) Xác định điểm $D$ trên trục hoành sao cho ba điểm $A$, $B$, $D$ thẳng hàng.
c) Xác định điểm $E$ trên cạnh $BC$ sao cho $BE=2EC.$
d) Xác định giao điểm hai đường thẳng $DE$ và $AC.$
a) Ta có $\overrightarrow{AB}(–9;3)$, $\overrightarrow{AC}(–5;–5).$ Vì $\frac{–9}{–5}\ne \frac{3}{–5}$ suy ra $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương.
Hay $A$, $B$, $C$ là ba đỉnh một tam giác.
b) $D$ trên trục hoành $\Rightarrow D(x;0).$
Ba điểm $A$, $B$, $D$ thẳng hàng suy ra $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$ cùng phương.
Mặt khác $\overrightarrow{AD}(x–6;–3)$ do đó $\frac{x–6}{–9}=\frac{–3}{3}$ $\Rightarrow x=15.$
Vậy $D(15;0).$
c) Vì $E$ thuộc đoạn $BC$ và $BE=2EC$ suy ra $\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{EC}.$
Gọi $E(x;y)$ khi đó $\overrightarrow{BE}(x+3;y–6)$, $\overrightarrow{EC}(1–x;–2–y).$
Do đó $\{\begin{array}{l}x+3=2(1–x)\\ y–6=2(–2–y)\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}x=–\frac{1}{3}\\ y=\frac{2}{3}\end{array}.$
Vậy $E\left(–\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right).$
d) Gọi $I(x;y)$ là giao điểm của $DE$ và $AC.$
Do đó $\overrightarrow{DI}(x–15;y)$, $\overrightarrow{DE}\left(–\frac{46}{3};\frac{2}{3}\right)$ cùng phương, suy ra:
$\frac{3(x–15)}{–46}=\frac{3y}{2}$ $\Rightarrow x+23y–15=0$ $(1).$
$\overrightarrow{AI}(x–6;y–3)$, $\overrightarrow{AC}(–5;–5)$ cùng phương, suy ra:
$\frac{x–6}{–5}=\frac{y–3}{–5}$ $\Rightarrow x–y–3=0$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $x=\frac{7}{2}$ và $y=\frac{1}{2}.$
Vậy giao điểm hai đường thẳng $DE$ và $AC$ là $I\left(\frac{7}{2};\frac{1}{2}\right).$
4. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho $4$ điểm $A(1;-2)$, $B(0;3)$, $C(-3;4)$ và $D(-1;8).$
a) Bộ ba trong $4$ điểm trên bộ nào thẳng hàng.
b) Chứng minh $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương.
c) Phân tích $\overrightarrow{CD}$ qua $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}.$
a) $A$, $B$, $D$ thẳng hàng.
b) $\overrightarrow{AB}(–1;5)$, $\overrightarrow{AC}(–4;6).$ Vì $\frac{–1}{–4}\ne \frac{5}{6}$ $\Rightarrow \overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương.
c) $\overrightarrow{CD}(2;4)$. $\overrightarrow{CD}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$ $\iff \{\begin{array}{l}–x–4y=2\\ 5x+6y=4\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}x=2\\ y=–1\end{array}$ $\Rightarrow \overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{AB}–\overrightarrow{AC}.$
Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho $4$ điểm $A(0;1)$, $B(1;3)$, $C(2;7)$ và $D(0;3).$ Tìm giao điểm của $2$ đường thẳng $AC$ và $BD.$
Gọi $I(x;y)$ là giao điểm $AC$ và $BD$ suy ra $\overrightarrow{AI}$, $\overrightarrow{AC}$ cùng phương và $\overrightarrow{BI}$, $\overrightarrow{BD}$ cùng phương.
Mặt khác: $\overrightarrow{AI}=(x;y–1)$, $\overrightarrow{AC}=(2;6)$ suy ra $\frac{x}{2}=\frac{y–1}{6}$ $\iff 6x–2y=–2$ $(1).$
$\overrightarrow{BI}=(x–1;y–3)$, $\overrightarrow{BD}=(–1;0)$ suy ra $y=3$, thế vào $(1)$ ta có $x=\frac{2}{3}.$
Vậy $I\left(\frac{2}{3};3\right)$ là điểm cần tìm.
Bài 3: Cho $\overrightarrow{a}=(3;2)$, $\overrightarrow{b}=(–3;1).$
a) Chứng minh $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương.
b) Đặt $\overrightarrow{u}=(2–x)\overrightarrow{a}+(3+y)\overrightarrow{b}.$ Tìm $x$, $y$ sao cho $\overrightarrow{u}$ cùng phương với $x\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}.$
a) $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương.
b) Ta có $\overrightarrow{u}=(–3x–3y–3;–2x+y+7).$
$x\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(3x–3;2x+1)$, $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(0;3).$
$\overrightarrow{u}$ cùng phương với $x\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ khi và chỉ khi có số $k$, $l$ sao cho $\overrightarrow{u}=k(x\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$, $\overrightarrow{u}=l(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}).$
Do đó: $\{\begin{array}{l}–3x–3y–3=k(3x–3)\\ –2x+y+7=k(2x+1)\\ –3x–3y–3=0\\ –2x+y+7=3l\end{array}.$
Suy ra $\{\begin{array}{c}x=2\\ y=–3\end{array}$ hoặc $\{\begin{array}{c}x=1\\ y=–2\end{array}.$
Bài 4: Cho tam giác $ABC$ có $A(3;4)$, $B(2;1)$, $C(-1;-2).$ Tìm điểm $M$ trên đường thẳng $BC$ sao cho $S_{ABC}=3S_{ABM}.$
Ta có $S_{ABC}=3S_{ABM}$ $\iff BC=3BM$ $\Rightarrow \overrightarrow{BC}=\pm 3\overrightarrow{BM}.$
Gọi $M(x;y)$ $\Rightarrow \overrightarrow{BM}(x–2;y–1)$, $\overrightarrow{BC}(–3;–3).$
Suy ra $\{\begin{array}{l}–3=3(x–2)\\ –3=3(y–1)\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ y=0\end{array}$ hoặc $\{\begin{array}{l}–3=–3(x–2)\\ –3=–3(y–1)\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}x=3\\ y=2\end{array}.$
Vậy có hai điểm thỏa mãn: $M_1(1;0)$, $M_2(3;2).$
Bài 5: Cho ba điểm $A(-1;-1)$, $B(0;1)$, $C(3;0).$
a) Chứng minh ba điểm $A$, $B$, $C$ tạo thành một tam giác.
b) Xác định tọa độ điểm $D$ biết $D$ thuộc đoạn thẳng $BC$ và $2BD=5DC.$
c) Xác định tọa độ giao điểm của $AD$ và $BG$ trong đó $G$ là trọng tâm tam giác $ABC.$
a) Ta có $\overrightarrow{AB}(1;2)$, $\overrightarrow{AC}(4;1).$ Vì $\frac{1}{4}\ne \frac{2}{1}$ $\Rightarrow \overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương.
b) Ta có $2\overrightarrow{BD}=5\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{BD}\left(x_D;y_D–1\right)$, $\overrightarrow{DC}\left(3–x_D;–y_D\right).$
Do đó $\{\begin{array}{c}2x_D=5\left(3–x_D\right)\\ 2\left(y_D–1\right)=5\left(–y_D\right)\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}{x}_D=\frac{15}{7}\\ y_D=\frac{2}{7}\end{array}$ $\Rightarrow D\left(\frac{15}{7};\frac{2}{7}\right).$
c) Ta có $G\left(\frac{2}{3};0\right).$ Gọi $I(x;y)$ là giao điểm của $AD$ và $BG.$
Do đó $\overrightarrow{AI}(x+1;y+1)$, $\overrightarrow{AD}\left(\frac{22}{7};\frac{9}{7}\right)$ cùng phương suy ra:
$\frac{7(x+1)}{22}=\frac{7(y+1)}{9}$ $\Rightarrow 9x–22y–13=0.$
$\overrightarrow{BI}(x;y–1)$, $\overrightarrow{BG}\left(–\frac{1}{3};0\right)$ cùng phương suy ra tồn tại $k$: $\overrightarrow{BI}=k\overrightarrow{BG}$ $\Rightarrow y=1.$
Từ đó $I\left(\frac{35}{9};1\right).$
Bài 6: Tìm trên trục hoành điểm $P$ sao cho tổng khoảng cách từ $P$ tới hai điểm $A$ và $B$ là nhỏ nhất, biết:
a) $A(1;1)$ và $B(2;-4).$
b) $A(1;2)$ và $B(3;4).$
a) Dễ thấy điểm $A$, $B$ nằm ở hai phía với trục hoành.
Ta có $PA+PB\ge AB.$ Dấu bằng xảy ra $\iff \overrightarrow{AP}$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}.$
Suy ra $\frac{x_P–1}{2–1}=\frac{0–1}{–4–1}$ $\Rightarrow x_P=\frac{6}{5}$ $\Rightarrow P\left(\frac{6}{5};0\right).$
b) Dễ thấy $A$, $B$ cùng phía với trục hoành. Gọi $A^{\prime }$ là điểm đối xứng với $A$ qua trục hoành, suy ra $A^{\prime }(1;-2)$ và $PA=P{A}^{\prime }.$
Ta có $PA+PB=P{A}^{\prime }+PB\ge A^{\prime }B.$ Dấu bằng xảy ra $\iff \overrightarrow{A^{\prime }P}$ cùng phương với $\overrightarrow{A^{\prime }B}.$
Suy ra $\frac{x_P–1}{3–1}=\frac{0+2}{4+2}$ $\Rightarrow x_P=\frac{5}{3}$ $\Rightarrow P\left(\frac{5}{3};0\right).$
Bài 7: Cho hình bình hành $ABCD$ có $A(-2;3)$ và tâm $I(1;1).$ Biết điểm $K(-1;2)$ nằm trên đường thẳng $AB$ và điểm $D$ có hoành độ gấp đôi tung độ. Tìm các đỉnh còn lại của hình bình hành.
$I$ là trung điểm $AC$ nên $C(4;-1).$
Gọi $D(2a;a)$ $\Rightarrow B(2–2a;2–a).$
$\overrightarrow{AK}(1;–1)$, $\overrightarrow{AB}(4–2a;–1–a).$
Vì $\overrightarrow{AK}$, $\overrightarrow{AB}$ cùng phương nên $\frac{4–2a}{1}=\frac{–1–a}{–1}$ $\Rightarrow a=1$ $\Rightarrow D(2;1)$, $B(0;1).$