Phương pháp: + Áp dụng khai triển \({(a + b)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^{n – k}}{b^k}.\)
+ Xác định số hạng tổng quát \(C_n^k{a^{n – k}}{b^k}.\)
+ Dùng các công thức lũy thừa chuyển số hạng tổng quát dưới dạng \(A.{x^{f(k)}}\) (với \(x\) là ẩn).
+ Đối chiếu với giả thiết giải phương trình \(f(k) = h\), tìm \(k\) tương ứng.
+ Suy ra hệ số cần tìm.
Lưu ý: Một số tính chất của lũy thừa:
\({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}.\)
\(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m – n}}.\)
\({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}.\)
\({(ab)^m} = {a^m}.{b^m}.\)
\({\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} = \frac{{{a^m}}}{{{b^m}}}.\)
\(\frac{1}{{{a^n}}} = {a^{ – n}}.\)
\(\sqrt[m]{{{a^n}}} = {a^{\frac{n}{m}}}.\)
\(\sqrt[m]{{\sqrt[n]{a}}} = \sqrt[{mn}]{a}.\)
2. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Tìm hệ số của \({x^{31}}\) trong khai triển \({\left( {x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^{40}}.\)
Lời giải:
Ta có: \({\left( {x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^{40}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{40} {C_{40}^k} {x^k}{\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^{40 – k}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{40} {C_{40}^k} {x^{3k – 80}}.\)
Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_{40}^k{x^{3k – 80}}.\)
Để có hệ số của \({x^{31}}\) thì \(3k – 80 = 31\) \( \Leftrightarrow k = 37.\)
Vậy hệ số của \({x^{31}}\) là: \(C_{40}^{37} = 9880.\)
Bài 2: Tìm hệ số không chứa \(x\) của khai triển nhị thức Newton của \({\left( {\sqrt[3]{x} + \frac{1}{{\sqrt[4]{x}}}} \right)^7}\) với \(x > 0.\)
Lời giải:
Ta có: \({\left( {\sqrt[3]{x} + \frac{1}{{\sqrt[4]{x}}}} \right)^7}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {(\sqrt[3]{x})^{7 – k}}{\left( {\frac{1}{{\sqrt[4]{x}}}} \right)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {x^{\frac{{7 – k}}{3}}}.\frac{1}{{{x^{\frac{k}{4}}}}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {x^{\frac{{28 – 7k}}{{12}}}}.\)
Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_7^k{x^{\frac{{28 – 7k}}{{12}}}}.\)
Để có số hạng không chứa \(x\) thì \(\frac{{28 – 7k}}{{12}} = 0\) \( \Leftrightarrow k = 4.\)
Vậy số hạng không chứa \(x\) trong khai triển là: \(C_7^4 = 35.\)
Bài 3: Tìm hệ số của \({x^{29}}{y^8}\) trong khai triển \({\left( {{x^3} – xy} \right)^{15}}.\)
Lời giải:
Ta có: \({\left( {{x^3} – xy} \right)^{15}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {\left( {{x^3}} \right)^{15 – k}}.{( – xy)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} .{( – 1)^k}.{x^{45 – 2k}}.{y^k}.\)
Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_{15}^k.{( – 1)^k}.{x^{45 – 2k}}.{y^k}.\)
Hệ số của \({x^{29}}{y^8}\) là: \(C_{15}^k.{( – 1)^k}\) với \(k\) thỏa mãn: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{45 – 2k = 29}\\
{k = 8}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow k = 8.\)
Vậy hệ số của \({x^{29}}{y^8}\) trong khai triển là: \(C_{15}^8.{( – 1)^8} = 6435.\)
Bài 4: Tìm hệ số không chứa \(x\) trong khai triển: \({\left( {2x + \frac{1}{{\sqrt[5]{x}}}} \right)^{18}}\) \((x > 0).\)
Lời giải:
Ta có: \({\left( {2x + \frac{1}{{\sqrt[5]{x}}}} \right)^{18}}\) \( = {\left( {2x + {x^{ – \frac{1}{5}}}} \right)^{18}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{18} {C_{18}^k} {(2x)^{18 – k}}{\left( {{x^{ – \frac{1}{5}}}} \right)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{18} {C_{18}^k} {.2^{18 – k}}.{x^{\frac{{90 – 6k}}{5}}}.\)
Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_{18}^k{.2^{18 – k}}.{x^{\frac{{90 – 6k}}{5}}}.\)
Hệ số của số hạng không chứa \(x\) trong khai triển là: \(C_{18}^k{.2^{18 – k}}\) với \(k\) thỏa mãn: \(\frac{{90 – 6k}}{5} = 0\) \( \Leftrightarrow k = 15.\)
Vậy số hạng không chứa \(x\) trong khai triển là: \(C_{18}^{15}{.2^3} = 6528.\)
Bài 5: Tìm hệ số không chứa \(x\) trong khai triển: \({\left( {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}} + \sqrt[4]{{{x^3}}}} \right)^{17}}\) với \(x \ne 0.\)
Lời giải:
Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_{17}^k{\left( {{x^{ – \frac{2}{3}}}} \right)^{17 – k}}{\left( {{x^{\frac{3}{4}}}} \right)^k}\) \( = C_{17}^k{x^{\frac{{17}}{{16}}k – \frac{{17}}{2}}}\) với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{k \in N}\\
{k \le 17}
\end{array}} \right..\)
Để có số hạng không chứa \(x\) thì: \(\frac{{17}}{{16}}k – \frac{{17}}{2} = 0\) \( \Leftrightarrow k = 8.\)
Vậy số hạng không chứa \(x\) trong khai triển là: \(C_{17}^8 = 24310.\)
Bài 6: Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^8}\) trong khai triển \({\left( {\frac{1}{{{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right)^{12}}.\)
Lời giải:
Ta có: \({\left( {\frac{1}{{{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right)^{12}}\) \( = {\left( {{x^{ – 3}} + {x^{\frac{5}{2}}}} \right)^{12}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {\left( {{x^{ – 3}}} \right)^{12 – k}}{\left( {{x^{\frac{5}{2}}}} \right)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {x^{\frac{{ – 72 + 11k}}{2}}}.\)
Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_{12}^k{x^{\frac{{ – 72 + 11k}}{2}}}.\)
Hệ số của số hạng chứa \({x^8}\) là \(C_{12}^k\) với \(k\) thỏa mãn \(\frac{{ – 72 + 11k}}{2} = 8\) \( \Leftrightarrow k = 8.\)
Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^8}\) trong khai triển là: \(C_{12}^8 = 495.\)
Bài 7: Tìm số hạng không chứa \(x\) trong khai triển: \({\left( {2{x^3} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^{10}}.\)
Lời giải:
Ta có: \({\left( {2{x^3} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^{10}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left( {2{x^3}} \right)^{10 – k}}{\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {2^{10 – k}}{x^{30 – 5k}}.\)
Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_{10}^k{2^{10 – k}}{x^{30 – 5k}}.\)
Số hạng không chứa \(x\) trong khai triển là \(C_{10}^k{2^{10 – k}}\) với \(k\) thỏa mãn \(30 – 5k = 0\) \( \Leftrightarrow k = 6.\)
Vậy số hạng không chứa \(x\) trong khai triển là: \(C_{10}^6{2^4} = 3360.\)
Bài 8: Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^7}\) trong khai triển \({\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^{15}}.\)
Lời giải:
Ta có: \({\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^{15}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {x^{15 – k}}{\left( {\frac{1}{x}} \right)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {x^{15 – 2k}}.\)
Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_{15}^k{x^{15 – 2k}}.\)
Hệ số của số hạng chứa \({x^7}\) là \(C_{15}^k\) với \(k\) thỏa mãn \(15 – 2k = 7\) \( \Leftrightarrow k = 4.\)
Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^7}\) trong khai triển là: \(C_{15}^4 = 1365.\)
Bài 9: Tìm số hạng không chứa \(x\) trong khai triển: \({\left( {2x – \frac{1}{x}} \right)^{10}}.\)
Lời giải:
Ta có: \( = {\left( {2x – \frac{1}{x}} \right)^{10}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {(2x)^{10 – k}}{\left( { – \frac{1}{x}} \right)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {(2)^{10 – k}}{( – 1)^k}{x^{10 – 2k}}.\)
Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_{10}^k{(2)^{10 – k}}{( – 1)^k}{x^{10 – 2k}}.\)
Để có số hạng không chứa \(x\) thì \(10 – 2k = 0\) \( \Leftrightarrow k = 5.\)
Vậy số hạng không chứa \(x\) trong khai triển là: \(C_{10}^5{(2)^5}{( – 1)^5} = – 8064.\)
Bài 10: Tìm hệ số của \({x^{16}}\) trong khai triển: \({\left( {{x^2} – 2x} \right)^{10}}.\)
Lời giải:
Ta có: \({\left( {{x^2} – 2x} \right)^{10}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left( {{x^2}} \right)^{10 – k}}{( – 2x)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {( – 2)^k}{x^{20 – k}}.\)
Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_{10}^k{( – 2)^k}{x^{20 – k}}.\)
Hệ số của \({x^{16}}\) là \(C_{10}^k{( – 2)^k}\) với \(k\) thỏa mãn \(20 – k = 16\) \( \Leftrightarrow k = 4.\)
Vậy hệ số của \({x^{16}}\) trong khai triển: \(C_{10}^4{( – 2)^4} = 3360.\)
Bài 11: Tìm hệ số của \({x^{25}}{y^{10}}\) trong khai triển: \({\left( {{x^3} + xy} \right)^{15}}.\)
Lời giải:
Ta có: \({\left( {{x^3} + xy} \right)^{15}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {\left( {{x^3}} \right)^{15 – k}}{(xy)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {x^{45 – 2k}}{y^k}.\)
Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_{15}^k{x^{45 – 2k}}{y^k}.\)
Hệ số của \({x^{25}}{y^{10}}\) là \(C_{15}^k\) với \(k\) thỏa mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{45 – 2k = 25}\\
{k = 10}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow k = 10.\)
Vậy hệ số của \({x^{25}}{y^{10}}\) trong khai triển là: \(C_{15}^{10} = 3003.\)
Bài 12: Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^8}\) trong khai triển của nhị thức Newton: \({\left( {x – \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^{20}}.\)
Lời giải:
Ta có: \({\left( {x – \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^{20}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{20} {C_{20}^k} {x^{20 – k}}{\left( { – \frac{2}{x}} \right)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{20} {C_{20}^k} {( – 2)^k}{x^{20 – 2k}}.\)
Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_{20}^k{( – 2)^k}{x^{20 – 2k}}.\)
Hệ số của số hạng chứa \({x^8}\) trong khai triển là: \(C_{20}^k{( – 2)^k}\) với \(k\) thỏa mãn: \(20 – 2k = 8\) \( \Leftrightarrow k = 6.\)
Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^8}\) là: \(C_{20}^6{( – 2)^6} = 2480640.\)
Bài 13: Tìm hệ số của \({x^8}\) trong khai triển thành đa thức của \({\left[ {1 + {x^2}(1 – x)} \right]^8}.\)
Lời giải:
Ta có: \({\left[ {1 + {x^2}(1 – x)} \right]^8}\) \( = C_8^0 + C_8^1{x^2}(1 – x)\) \( + C_8^2{x^4}{(1 – x)^2} + C_8^3{x^6}{(1 – x)^3}\) \( + C_8^4{x^8}{(1 – x)^4} + C_8^5{x^{10}}{(1 – x)^5}\) \( + C_8^6{x^{12}}{(1 – x)^6} + C_8^7{x^{14}}{(1 – x)^7}\) \( + C_8^8{x^{16}}{(1 – x)^8}.\)
Nhận xét:
Bậc của \(x\) trong \(3\) số hạng đầu luôn nhỏ hơn \(8.\)
Bậc của \(x\) trong \(4\) số hạng cuối luôn lớn hơn \(8.\)
Do đó \({x^8}\) chỉ có trong số hạng thứ tư và thứ năm.
Xét trong khai triển \(C_8^3{x^6}{(1 – x)^3}\) thì hệ số của \({x^8}\) là: \(C_8^3.C_3^2.\)
Xét trong khai triển \(C_8^4{x^8}{(1 – x)^4}\) thì hệ số của \({x^8}\) là: \(C_8^4.C_4^0.\)
Vậy hệ số của \({x^8}\) trong khai triển \({\left[ {1 + {x^2}(1 – x)} \right]^8}\) là: \(C_8^3.C_3^2 + C_8^4.C_4^0 = 238.\)
Bài 14: Tìm hệ số của \({x^5}\) trong khai triển \({(x + 1)^4} + {(x + 1)^5} + {(x + 1)^6} + {(x + 1)^7}.\)
Lời giải:
Hệ số của \({x^5}\) trong khai triển là tổng hệ số của \({x^5}\) trong từng khai triển \({(x + 1)^i}\), \(i = \overline {4…7} .\)
Nhận xét rằng trong khai triển \({(x + 1)^4}\) không chứa \({x^5}.\) Ta có:
\({(x + 1)^5} + {(x + 1)^6} + {(x + 1)^7}\) \( = \sum\limits_{{k_1} = 0}^5 {C_5^{{k_1}}} {x^{{k_1}}}\) \( + \sum\limits_{{k_2} = 0}^6 {C_6^{{k_2}}} {x^{{k_2}}}\) \( + \sum\limits_{{k_3} = 0}^7 {C_7^{{k_3}}} {x^{{k_3}}}.\)
Chọn \({k_1} = {k_2} = {k_3} = 5\) ta được hệ số của \({x^5}\) trong khai triển là: \(C_5^5 + C_6^5 + C_7^5 = 28.\)
Bài 15: Cho đa thức \(P(x) = {(1 + x)^9} + {(1 + x)^{10}}\) \( + {(1 + x)^{11}} + \ldots + {(1 + x)^{14}}\) có dạng khai triển là: \(P(x) = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_{14}}{x^{14}}.\) Hãy tính hệ số \({a_9}.\)
Lời giải:
Để tính hệ số \({a_9}\) là hệ số của \({x^9}\) ta tính hệ số \({a_9}\) trong từng nhị thức của \(P(x)\) rồi tính tổng của chúng.
Xét khai triển \({(1 + x)^9} = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k} {x^k}.\)
Hệ số của \({x^9}\) trong khai triển trên tương ứng \(k = 9\) là \(C_9^9.\)
Xét khai triển \({(1 + x)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^k}.\)
Hệ số của \({x^9}\) trong khai triển trên tương ứng \(k = 9\) là \(C_{10}^9.\)
Thực hiện tương tự cho các nhị thức còn lại trong \(P(x)\) ta được:
\({a_9} = C_9^9 + C_{10}^9 + C_{11}^9 + C_{12}^9 + C_{13}^9 + C_{14}^9 = 3003.\)
Bài 16: Cho \(A = {\left( {x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^{20}} + {\left( {{x^3} – \frac{1}{x}} \right)^{10}}.\) Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức \(A\) gồm bao nhiêu số hạng?
Lời giải:
Ta có: \(A = {\left( {x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^{20}} + {\left( {{x^3} – \frac{1}{x}} \right)^{10}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{20} {{{( – 1)}^k}} C_{20}^k{x^{20 – k}}{\left( {{x^{ – 2}}} \right)^k}\) \( + \sum\limits_{h = 0}^{10} {{{( – 1)}^h}} C_{10}^h{\left( {{x^3}} \right)^{10 – h}}{\left( {{x^{ – 1}}} \right)^h}.\)
\( = \sum\limits_{k = 0}^{20} {{{( – 1)}^k}} C_{20}^k{x^{20 – 3k}}\) \( + \sum\limits_{h = 0}^{10} {{{( – 1)}^h}} C_{10}^h{x^{30 – 4h}}.\)
Trong khai triển \({\left( {x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^{20}}\) có \(21\) số hạng và khai triển \({\left( {{x^3} – \frac{1}{x}} \right)^{10}}\) có \(11\) số hạng.
Xét trường hợp \(20 – 3k = 30 – 4h\) \( \Leftrightarrow 4h – 10 = 3k.\)
Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{k \in N}\\
{h \in N}
\end{array}} \right.\) suy ra: \(4h – 10\) phải chia hết cho \(3.\)
Mặt khác \(0 \le h \le 10\), suy ra: \(h = 4\), \(h = 7\), \(h = 10.\)
Suy ra trong hai khai triển của \({\left( {x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^{20}}\) và \({\left( {{x^3} – \frac{1}{x}} \right)^{10}}\) có \(3\) số hạng có lũy thừa của \(x\) giống nhau.
Vì vậy sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức \(A\) gồm có: \(21 + 11 – 3 = 29\) số hạng.
Bài 17: Tìm hệ số của \({x^5}\) trong khai triển thành đa thức của: \(x{(1 – 2x)^5} + {x^2}{(1 + 3x)^{10}}.\)
Lời giải:
Hệ số của \({x^5}\) trong khai triển \(x{(1 – 2x)^5} + {x^2}{(1 + 3x)^{10}}\) bằng tổng hệ số chứa \({x^5}\) trong khai triển \(x{(1 – 2x)^5}\) và \({x^2}{(1 + 3x)^{10}}.\)
Xét khai triển: \(x{(1 – 2x)^5}\) \( = x.\sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} {( – 2x)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} {( – 2)^k}{x^{k + 1}}.\)
Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_5^k{( – 2)^k}{x^{k + 1}}.\)
Chọn \(k = 4\) ta được hệ số của \({x^5}\) là: \(C_5^4{( – 2)^4} = 80.\)
Xét khai triển \({x^2}{(1 + 3x)^{10}}\) \( = {x^2}\sum\limits_{h = 0}^{10} {C_{10}^h} {(3x)^h}\) \( = \sum\limits_{h = 0}^{10} {C_{10}^h} {3^h}{x^{h + 2}}.\)
Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_{10}^h{3^h}{x^{h + 2}}.\)
Chọn \(h=3\), ta được hệ số của \({x^5}\) là: \(C_{10}^3{3^3} = 3240.\)
Vậy hệ số của \({x^5}\) trong khai triển \(x{(1 – 2x)^5} + {x^2}{(1 + 3x)^{10}}\) là: \(80 + 3240 = 3320.\)
Bài 18: Tìm số hạng không chứa \(x\) trong khai triển nhị thức: \({\left( {\frac{x}{{\sqrt[5]{x}}} + {x^{\frac{{ – 28}}{{25}}}}} \right)^{12}}.\)
Lời giải:
Ta có: \({\left( {\frac{x}{{\sqrt[5]{x}}} + {x^{\frac{{ – 28}}{{25}}}}} \right)^{12}}\) \( = {\left( {{x^{\frac{4}{5}}} + {x^{\frac{{ – 28}}{{25}}}}} \right)^{12}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {\left( {{x^{\frac{4}{5}}}} \right)^{12 – k}}{\left( {{x^{\frac{{ – 28}}{{25}}}}} \right)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {x^{\frac{{240 – 48k}}{{25}}}}.\)
Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_{12}^k{x^{\frac{{240 – 48k}}{{25}}}}.\)
Số hạng không chứa \(x\) trong khai triển là \(C_{12}^k\) với \(k\) thỏa mãn:
\(\frac{{240 – 48k}}{{25}} = 0\) \( \Leftrightarrow k = 5.\)
Vậy số hạng không chứa \(x\) trong khai triển là: \(C_{12}^k = 729.\)
Bài 19: Gọi \({a_0}\), \({a_1}\), \({a_2}\), …, \({a_{11}}\) là hệ số trong khai triển: \({(x + 1)^{10}}(x + 2)\) \( = {x^{11}} + {a_1}{x^{10}} + {a_2}{x^9} + \ldots . + {a_{10}}x + {a_{11}}.\) Tìm hệ số của \({a_5}.\)
Lời giải:
Ta có: \({(x + 1)^{10}}(x + 2)\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{10 – k}}(x + 2)\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{11 – k}} + \sum\limits_{k = 0}^{10} 2 C_{10}^k{x^{10 – k}}.\)
Ta có hệ số \({a_5}\) chính là hệ số của \({x^6}\) trong khai triển.
Xét tổng: \(\sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{11 – k}}\) có số hạng tổng quát là: \(C_{10}^k{x^{11 – k}}.\)
Chọn \(k = 5\), ta được hệ số của số hạng chứa \({x^6}\) là: \(C_{10}^5.\)
Xét tổng: \(\sum\limits_{k = 0}^{10} 2 C_{10}^k{x^{10 – k}}\) có số hạng tổng quát là: \(2C_{10}^k{x^{10 – k}}.\)
Chọn \(k = 4\), ta được hệ số của số hạng chứa \({x^6}\) là: \(2C_{10}^4.\)
Vậy \({a_5} = C_{10}^5 + 2C_{10}^4 = 672.\)
Bài 20: Tìm hệ số của số hạng thứ tư trong khai triển \({\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^{10}}.\)
Lời giải:
Ta có: \({\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^{10}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{10 – k}}{\left( {\frac{1}{x}} \right)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{10 – 2k}}.\)
Số hạng thứ \(k +1\) trong khai triển là: \({T_{k + 1}} = C_{10}^k{x^{10 – 2k}}.\)
Chọn \(k = 3\), ta được hệ số của số hạng thứ tư trong khai triển đó là: \(C_{10}^3 = 120.\)
Bài 21: Tìm hệ số của số hạng thứ \(31\) trong khai triển \({\left( {x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^{40}}.\)
Lời giải:
Ta có: \({\left( {x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^{40}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{40} {C_{40}^k} {x^{40 – k}}{\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{40} {C_{40}^k} {x^{40 – 3k}}.\)
Số hạng thứ \(k +1\) trong khai triển là: \({T_{k + 1}} = C_{40}^k{x^{40 – 3k}}.\)
Chọn \(k = 30\), ta được hệ số của số hạng thứ \(31\) trong khai triển là:
\(C_{40}^{30} = 847660528.\)
Bài 22: Tìm hạng tử chứa \({x^2}\) trong khai triển \({\left( {\sqrt[3]{{{x^{ – 2}}}} + x} \right)^7}.\)
Lời giải:
Ta có: \({\left( {\sqrt[3]{{{x^{ – 2}}}} + x} \right)^7}\) \( = {\left( {{x^{ – \frac{2}{3}}} + x} \right)^7}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {\left( {{x^{ – \frac{2}{3}}}} \right)^{7 – k}}{x^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {x^{\frac{{ – 14 + 5k}}{3}}}.\)
Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_7^k{x^{\frac{{ – 14 + 5k}}{3}}}.\)
Hạng tử chứa \({x^2}\) trong khai triển là \(C_7^k{x^{\frac{{ – 14 + 5k}}{3}}}\) với \(k\) thỏa mãn:
\(\frac{{ – 14 + 5k}}{3} = 2\) \( \Leftrightarrow k = 4.\)
Vậy hạng tử chứa \({x^2}\) trong khai triển là \(C_7^4{x^2} = 35{x^2}.\)
Bài 23: Cho đa thức \(P(x) = (1 + x) + 2{(1 + x)^2}\) \( + 3{(1 + x)^3} + \ldots + 20{(1 + x)^{20}}\) được viết dưới dạng: \(P(x) = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_{20}}{x^{20}}.\) Tìm hệ số \({a_{15}}\)?.
Lời giải:
Hệ số \({a_{15}}\) là hệ số của \({x^{15}}\) trong khai triển \(P(x).\)
Ta nhận thấy \({x^{15}}\) chỉ xuất hiện trong số hạng khai triển thứ \(15\) trở đi, tức là trong tổng \(15{(1 + x)^{15}}\) \( + 16{(1 + x)^{16}}\) \( + 17{(1 + x)^{17}}\) \( + \ldots + 20{(1 + x)^{20}}.\)
Mà \(15{(1 + x)^{15}}\) \( + 16{(1 + x)^{16}}\) \( + \ldots + 20{(1 + x)^{20}}\) \( = 15\sum\limits_{{k_1} = 0}^{15} {C_{15}^{{k_1}}} {x^{{k_1}}}\) \( + 16\sum\limits_{{k_2} = 0}^{16} {C_{16}^{{k_2}}} {x^{{k_2}}}\) \( + \ldots + 20\sum\limits_{{k_6} = 0}^{20} {C_{20}^{{k_6}}} {x^{{k_6}}}.\)
Chọn \({k_1} = {k_2} = {k_3} = \ldots = {k_6}\) ta được hệ số của \(x^{15}\) trong khai triển \(P(x)\) là:
\(15C_{15}^{15} + 16C_{16}^{15}\) \( + 17C_{17}^{15} + \ldots + 20C_{20}^{15}\) \( = 400995.\)
Bài 24: Khai triển \(P(x) = {(3 + x)^{50}}\) \( = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_{50}}{x^{50}}.\)
a/ Tính hệ số \({a_{46}}.\)
b/ Tính tổng \(S = {a_0} + {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_{50}}.\)
Lời giải:
a) Ta có: \({(3 + x)^{50}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{50} {C_{50}^k} {3^{50 – k}}{x^k}\) \((*).\)
Ta có: \({a_k} = C_{50}^k{3^{50 – k}}\), \(\forall k = \overline {0..50} .\)
Suy ra: \({a_{46}} = C_{50}^{46}{3^4} = 18654300.\)
b) Nhận thấy \(S = {a_0} + {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_{50}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{50} {C_{50}^k} {3^{50 – k}}.\)
Từ \((*)\) chọn \(x= 1\), ta được: \({(3 + 1)^{50}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{50} {C_{50}^k} {3^{50 – k}}\) \( \Leftrightarrow \sum\limits_{k = 0}^{50} {C_{50}^k} {3^{50 – k}} = {4^{50}}.\)
Vậy \(S = {a_0} + {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_{50}} = {4^{50}}.\)
Bài 25:
a/ Tìm số hạng của khai triển \({\left( {\sqrt 3 + \sqrt[3]{2}} \right)^9}\) là một số nguyên.
b/ Tìm số hạng hữu tỉ của khai triển \({\left( {\sqrt 3 – \sqrt {15} } \right)^6}.\)
c/ Xác định các số hạng hữu tỉ của khai triển \({\left( {\sqrt[5]{3} + \sqrt[3]{7}} \right)^{36}}.\)
d/ Có bao nhiêu hạng tử nguyên của khai triển \({\left( {\sqrt 3 + \sqrt[4]{5}} \right)^{124}}.\)
Lời giải:
a) Ta có: \({\left( {\sqrt 3 + \sqrt[3]{2}} \right)^9}\) \( = {\left( {{3^{\frac{1}{2}}} + {2^{\frac{1}{3}}}} \right)^9}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k} {\left( {{3^{\frac{1}{2}}}} \right)^{9 – k}}{\left( {{2^{\frac{1}{3}}}} \right)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k} {(3)^{\frac{{9 – k}}{2}}}{(2)^{\frac{k}{3}}}.\)
Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_9^k{(3)^{\frac{{9 – k}}{2}}}{(2)^{\frac{k}{3}}}.\)
Số hạng nguyên trong khai triển là số hạng có \(k\) thỏa mãn: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{9 – k \vdots 2}\\
{k \vdots 3}\\
{k = \overline {0..9} }
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{k = 3}\\
{k = 9}
\end{array}} \right..\)
Vậy các số hạng nguyên trong khai triển là: \({T_4} = C_9^3{.3^3}.2 = 4536\), \({T_{10}} = C_9^9{2^3} = 8.\)
b) Ta có: \({\left( {\sqrt 3 – \sqrt {15} } \right)^6}\) \( = {3^3}{\left( {1 – \sqrt 5 } \right)^6}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^6 2 7C_6^k{( – 1)^k}{.5^{\frac{k}{2}}}.\)
Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(27C_6^k{( – 1)^k}{.5^{\frac{k}{2}}}.\)
Để có số hạng hữu tỷ thì \({5^{\frac{k}{2}}}\) là số hữu tỷ, suy ra: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{k \vdots 2}\\
{k = \overline {0..6} }
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow k \in \{ 0;2;4;6\} .\)
Vậy các số hạng hữu tỷ là: \({T_1} = 27C_6^0 = 27\), \({T_3} = 27C_6^2.{( – 1)^2}.5 = 810\), \({T_5} = 27C_6^4{( – 1)^4}{.5^2} = 10125\), \({T_7} = 27C_6^6{( – 1)^6}{.5^3} = 3375.\)
c) Ta có: \({\left( {\sqrt[5]{3} + \sqrt[3]{7}} \right)^{36}}\) \( = {\left( {{3^{\frac{1}{5}}} + {7^{\frac{1}{3}}}} \right)^{36}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{36} {C_{36}^k} {3^{\frac{{36 – k}}{5}}}{.7^{\frac{k}{3}}}.\)
Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_{36}^k{3^{\frac{{36 – k}}{5}}}{.7^{\frac{k}{3}}}.\)
Số hạng hữu tỷ trong khai triển là số hạng chứa \(k\) thỏa mãn điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{36 – k \vdots 5}\\
{k \vdots 3}\\
{k = \overline {0..36} }
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow k \in \{ 6;21;36\} .\)
Vậy các số hạng hữu tỷ trong khai triển là: \({T_7} = C_{36}^6{3^6}{7^2}\), \({T_{22}} = C_{36}^{21}{3^3}{7^7}\), \({T_{37}} = C_{36}^{36}{7^{12}}.\)
d) Ta có: \({\left( {\sqrt 3 + \sqrt[4]{5}} \right)^{124}}\) \( = {\left( {{3^{\frac{1}{2}}} + {5^{\frac{1}{4}}}} \right)^{124}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{124} {C_{124}^k} {.3^{\frac{{124 – k}}{2}}}{.5^{\frac{k}{4}}}.\)
Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_{124}^k{.3^{\frac{{124 – k}}{2}}}{.5^{\frac{k}{4}}}.\)
Số hạng nguyên trong khai triển thỏa mãn điều kiện:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{124 – k \vdots 2}\\
{k \vdots 4}\\
{k = \overline {0..124} }
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{k = 4h}\\
{k = \overline {0..124} }\\
{h \in N}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow 0 \le 4h \le 124\) \( \Leftrightarrow 0 \le h \le 31.\)
Vậy có \(32\) số hạng nguyên trong khai triển.
