Loại nghiệm không thích hợp khi giải phương trình lượng giác

I. PHƯƠNG PHÁP
Bài toán: Loại nghiệm không thích hợp của phương trình lượng giác.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG:
Ta thường gặp hai dạng toán sau:
Dạng 1: Tìm nghiệm thuộc $(a,b)$ của phương trình.
Ta thực hiện theo các bước:
+ Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình.
+ Bước 2: Giải phương trình để tìm nghiệm $x=\alpha +\frac{2k\pi }{n}$, $k,n\in Z.$
+ Bước 3: Tìm nghiệm thuộc $(a,b):$
$a<\alpha +\frac{2k\pi }{n}<b$ $\stackrel{k,n\in Z}{\iff }\left(k_0,n_0\right)$ $\Rightarrow x_0=\alpha +\frac{2k_0\pi }{n_0}.$
Dạng 2: Phương trình chứa ẩn ở mẫu.
Ta thực hiện theo các bước:
+ Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình $x\ne \beta +\frac{2l\pi }{n}$, $l,n\in Z.$
+ Bước 2: Giải phương trình để tìm nghiệm $x_0=\alpha +\frac{2k\pi }{n}$, $k,n\in Z.$
+ Bước 3: Kiểm tra điều kiện ta lựa chọn một trong hai phương pháp sau:
Phương pháp đại số:
Nghiệm $x_0$ bị loại khi và chỉ khi:
$\alpha +\frac{2k\pi }{n}=\beta +\frac{2l\pi }{n}.$
Nghiệm $x_0$ chấp nhận được khi và chỉ khi:
$\alpha +\frac{2k\pi }{n}\ne \beta +\frac{2l\pi }{n}.$
Phương pháp hình học:
Biểu diễn các điểm $x=\beta +\frac{2l\pi }{n}$, $l,n\in Z$ trên đường tròn đơn vị, khi đó ta được tập các điểm $C=\left\{C_1,\dots ,C_p\right\}.$
Biểu diễn các điểm $x=\alpha +\frac{2k\pi }{n}$, $k,n\in Z$ trên đường tròn đơn vị, khi đó ta được tập các điểm $D=\left\{D_1,\dots ,D_q\right\}.$
Lấy tập $E=D\mathrm{\setminus }C=\left\{E_1,\dots ,E_r\right\}$, từ đó kết luận nghiệm của phương trình là:
$x=E_1+2k\pi$, …, $x=E_r+2k\pi$, $k\in Z.$
Ví dụ 1: Tìm các nghiệm thuộc $\left(\frac{\pi }{2},3\pi \right)$ của phương trình:
$\sin \left(2x+\frac{5\pi }{2}\right)–3\cos \left(x–\frac{7\pi }{2}\right)$ $=1+2\sin x.$
Biến đổi phương trình về dạng:
$\sin \left(2x+\frac{\pi }{2}+2\pi \right)$ $–3\cos \left(x+\frac{\pi }{2}–4\pi \right)$ $=1+2\sin x.$
$\iff \cos 2x+3\sin x=1+2\sin x$ $\iff 1–2{\sin }^{2}x=1–\sin x$ $\iff 2{\sin }^{2}x–\sin x=0.$
$\iff [\begin{array}{l}\sin x=0\\ \sin x=\frac{1}{2}\end{array}$ $\iff [\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\frac{\pi }{6}+2k\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi \end{array}$ $\stackrel{x\in \left(\frac{\pi }{2},3\pi \right)}{\iff }[\begin{array}{l}x=\pi ,x=2\pi \\ x=\frac{13\pi }{6}\\ x=\frac{5\pi }{6},x=\frac{17\pi }{6}\end{array}.$
Vậy phương trình có $5$ nghiệm.
Ví dụ 2: Tìm các nghiệm thuộc $[0,2\pi ]$ của phương trình:
$5\left(\sin x+\frac{\cos 3x+\sin 3x}{1+2\sin 2x}\right)$ $=\cos 2x+3.$
Điều kiện:
$1+2\sin 2x\ne 0$ $\iff \sin 2x\ne –\frac{1}{2}$ $\iff [\begin{array}{l}2x\ne –\frac{\pi }{6}+2k\pi \\ 2x\ne \frac{7\pi }{6}+2k\pi \end{array}$ $\iff [\begin{array}{l}x\ne –\frac{\pi }{12}+k\pi \\ x\ne \frac{7\pi }{12}+k\pi \end{array}$, $k\in Z.$
Ta có:
$\cos 3x+\sin 3x$ $=4{\cos }^{3}x–3\cos x+3\sin x–4{\sin }^{3}x.$
$=4\left({\cos }^{3}x–{\sin }^{3}x\right)–3(\cos x–\sin x).$
$=(\cos x–\sin x)[4(1+\cos x\sin x)–3]$ $=(\cos x–\sin x)(1+2\sin 2x).$
Khi đó phương trình có dạng:
$5(\sin x+\cos x–\sin x)=\cos 2x+3$ $\iff 2{\cos }^{2}x–5\cos x+2=0.$
$\iff [\begin{array}{l}\cos x=2(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{ạ}\mathrm{i})\\ \cos x=\frac{1}{2}\end{array}$ $\iff x=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi$, $k\in Z$ $\stackrel{x\in \left[0,2\pi \right]}{\iff }[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{3}\\ x=\frac{5\pi }{3}\end{array}.$
Vậy phương trình có hai nghiệm.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
$\frac{1}{\cos x}+\frac{1}{\sin 2x}=\frac{2}{\sin 4x}.$
Điều kiện:
$\sin 4x\ne 0\iff x\ne \frac{k\pi }{4}$, $k\in Z$ $(\ast ).$
Biến đổi phương trình về dạng:
$4\sin x\cos 2x+2\cos 2x=2$ $\iff 2\sin x\cos 2x=1–\cos 2x.$
$\iff 2\sin x\cos 2x=2{\sin }^{2}x$ $\iff (\cos 2x–\sin x)\sin x=0.$
$\iff \left(1–2{\sin }^{2}x–\sin x\right)\sin x=0$ $\iff (\sin x+1)(2\sin x–1)\sin x=0.$
$\stackrel{(\ast )}{\iff }\sin x=\frac{1}{2}$ $\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+2k\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi \end{array}$, $k\in Z.$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
Nhận xét: Trong lời giải trên chúng ta đã linh hoạt trong việc kiểm tra điều kiện $(\ast )$ để loại đi các nghiệm $\sin x=0$ và $\sin x=–1$ bởi:
$\sin 4x=4\sin x\cos x\cos 2x.$
Ví dụ 4: Giải phương trình:
$\frac{\sin x\cot 5x}{\cos 9x}=1.$
Điều kiện:
$\{\begin{array}{l}\sin 5x\ne 0\\ \cos 9x\ne 0\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}5x\ne l\pi \\ 9x\ne \frac{\pi }{2}+l\pi \end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}x\ne \frac{l\pi }{5}\\ x\ne \frac{\pi }{18}+\frac{l\pi }{9}\end{array}$, $l\in Z$ $(\ast ).$
Biến đổi phương trình về dạng:
$\cos 5x\sin x=\cos 9x\sin 5x$ $\iff \frac{1}{2}(\sin 6x–\sin 4x)$ $=\frac{1}{2}(\sin 14x–\sin 4x).$
$\iff \sin 14x=\sin 6x$ $\iff [\begin{array}{l}14x=6x+2k\pi \\ 14x=\pi –6x+2k\pi \end{array}$ $\iff [\begin{array}{l}x=\frac{k\pi }{4}\\ x=\frac{\pi }{20}+\frac{k\pi }{10}\end{array}$, $k\in Z.$
Kiểm tra điều kiện $(\ast ):$
+ Với $x=\frac{k\pi }{4}$, ta cần có:
$\{\begin{array}{l}\frac{k\pi }{4}\ne \frac{l\pi }{5}\\ \frac{k\pi }{4}\ne \frac{\pi }{18}+\frac{l\pi }{9}\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}5k\ne 4l\\ 9k\ne 2+4l\end{array}$ $\iff [\begin{array}{l}k=4n+1\\ k=4n+3\end{array}$ $\Rightarrow [\begin{array}{l}x=\frac{(4n+1)\pi }{4}\\ x=\frac{(4n+3)\pi }{4}\end{array}$, $n\in Z.$
+ Với $x=\frac{\pi }{20}+\frac{k\pi }{10}$, ta cần có:
$\{\begin{array}{l}\frac{\pi }{20}+\frac{k\pi }{10}\ne \frac{l\pi }{5}\\ \frac{\pi }{20}+\frac{k\pi }{10}\ne \frac{\pi }{18}+\frac{l\pi }{9}\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}1+2k\ne 4l\\ 18k\ne 1+20l\end{array}$ luôn đúng $\Rightarrow x=\frac{\pi }{20}+\frac{k\pi }{10}$, $k\in Z.$
Vậy phương trình có ba họ nghiệm.
Nhận xét: Trong lời giải trên từ:
$\{\begin{array}{l}5k\ne 4l(1)\\ 9k\ne 2+4l(2)\end{array}$ $\iff [\begin{array}{l}k=4n+1\\ k=4n+3\end{array}.$
Bởi từ $(1)$ suy ra $k$ không chia hết cho $4$ và từ $(2)$ suy ra $k$ lẻ, do đó:
$[\begin{array}{l}k=4n+1\\ k=4n+3\end{array}$ $(I).$
Rồi lại thực hiện phép thử $(I)$ và $(2).$
Còn đối với:
$\{\begin{array}{l}1+2k\ne 4l\\ 18k\ne 1+20l\end{array}$ luôn đúng.
Xuất phát từ tính chẵn lẻ của hai vế.
Ví dụ 5: Giải phương trình:
$\sin 3x=\cos x\cos 2x\left({\tan }^{2}x+\tan 2x\right).$
Điều kiện:
$\{\begin{array}{l}\cos x\ne 0\\ \cos 2x\ne 0\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ 2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\end{array}$, $k\in Z.$ $(\ast ).$
Biến đổi phương trình về dạng:
$\sin 3x=\cos x\cos 2x\left(\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}+\frac{\sin 2x}{\cos 2x}\right)$ $\iff \sin 3x=\frac{{\sin }^{2}x\cos 2x}{\cos x}+\sin 2x\cos x.$
$\iff \left(3\sin x–4{\sin }^{3}x\right)\cos x$ $=\left(\cos 2x\sin x+2{\cos }^{3}x\right)\sin x.$
$\iff \left[\left(3–4{\sin }^{2}x\right)\cos x–\left(\cos 2x\sin x+2{\cos }^{3}x\right)\right]\sin x=0.$
$\iff (\cos x–\sin x)\cos 2x\sin x=0$ $\stackrel{(\ast )}{\iff }\sin x=0$ $\iff x=k\pi$, $k\in Z.$
Vậy phương trình có một họ nghiệm.
II. CÁC BÀI TOÁN THI
Bài 1: Tìm $x$ thuộc đoạn $[0,14]$ là nghiệm đúng nghiệm phương trình:
$\cos 3x–4\cos 2x+3\cos x–4=0.$
Biến đổi phương trình về dạng:
$4{\cos }^{3}x–3\cos x$ $–4(\cos 2x+1)+3\cos x=0.$
$\iff 4{\cos }^{3}x–8{\cos }^{2}x=0$ $\iff \cos x=0$ $\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in Z.$
Vì $x\in [0,14]$ nên:
$0\le \frac{\pi }{2}+k\pi \le 14$ $\iff –\frac{1}{2}\le k\le \frac{14–\frac{\pi }{2}}{\pi }$ $\iff k=0,1,2,3.$
Vậy phương trình có các nghiệm $x=\frac{\pi }{2}$, $x=\frac{3\pi }{2}$, $x=\frac{5\pi }{2}$, $x=\frac{7\pi }{2}.$
Bài 2: Giải phương trình:
$\frac{\cos 2x+3\cot 2x+\sin 4x}{\cot 2x–\cos 2x}=2.$
Điều kiện:
$\{\begin{array}{l}\sin 2x\ne 0\\ \cot 2x–\cos 2x\ne 0\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}\sin 2x\ne 0\\ \left(\frac{1}{\sin 2x}–1\right)\cos 2x\ne 0\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}\sin 2x\ne 0\\ \cos 2x\ne 0\\ \sin 2x\ne 1\end{array}.$
$\iff \sin 4x\ne 0$ $\iff x\ne \frac{k\pi }{4}$ $k\in Z.$
Biến đổi phương trình về dạng:
$\cos 2x+3\frac{\cos 2x}{\sin 2x}+2\sin 2x\cos 2x$ $=2\left(\frac{\cos 2x}{\sin 2x}–\cos 2x\right).$
$\iff 1+\frac{3}{\sin 2x}+2\sin 2x$ $=2\left(\frac{1}{\sin 2x}–1\right)$ $\iff 2{\sin }^{2}2x+3\sin 2x+1=0.$
$\iff [\begin{array}{l}\sin 2x=–1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{ạ}\mathrm{i})\\ \sin 2x=–\frac{1}{2}\end{array}$ $\iff [\begin{array}{l}2x=–\frac{\pi }{6}+2k\pi \\ 2x=\pi +\frac{\pi }{6}+2k\pi \end{array}$ $\iff [\begin{array}{l}x=–\frac{\pi }{12}+k\pi \\ x=\frac{7\pi }{12}+k\pi \end{array}$, $k\in Z.$
Bài 3: Giải phương trình:
$\frac{{(1–\cos x)}^2+{(1+\cos x)}^2}{4(1–\sin x)}$ $–{\tan }^{2}x\sin x$ $=\frac{1+\sin x}{2}+{\tan }^{2}x.$
Điều kiện:
$\{\begin{array}{l}\sin x\ne 1\\ \cos x\ne 0\end{array}$ $\iff \cos x\ne 0$ $\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in Z.$
Biến đổi phương trình về dạng:
$\frac{2+2{\cos }^{2}x}{4(1–\sin x)}$ $=\frac{1+\sin x}{2}+(1+\sin x){\tan }^{2}x.$
$\iff \frac{1+{\cos }^{2}x}{2(1–\sin x)}$ $=\frac{1+\sin x}{2}\left(1+2{\tan }^{2}x\right)$ $=\frac{1+\sin x}{2}.\frac{{\cos }^{2}x+2{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}$ $=\frac{1+\sin x}{2}.\frac{{\cos }^{2}x+2{\sin }^{2}x}{1–{\sin }^{2}x}$ $=\frac{{\cos }^{2}x+2{\sin }^{2}x}{2(1–\sin x)}.$
$\iff 1+{\cos }^{2}x={\cos }^{2}x+2{\sin }^{2}x$ $\iff 1–2{\sin }^{2}x=0.$
$\iff \cos 2x=0$ $\iff x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in Z.$
Vậy phương trình có một họ nghiệm: $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in Z.$
Bài 4: Giải phương trình:
$3{\sin }^{2}x+\frac{1}{2}\sin 2x+2{\cos }^{2}x$ $=\frac{3\left({\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x–1\right)}{{\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x–1}.$
Ta có:
${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x–1$ $={\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)}^2–2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x–1$ $=–2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x.$
${\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x–1$ $={\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)}^3$ $–3{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)–1$ $=–3{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x.$
Điều kiện:
${\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x–1\ne 0$ $\iff –3{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x\ne 0$ $\iff \sin 2x\ne 0$ $\iff x\ne \frac{k\pi }{2}$, $k\in Z$ $(\ast ).$
Biến đổi phương trình về dạng:
$3{\sin }^{2}x+\frac{1}{2}\sin 2x+2{\cos }^{2}x=2$ $\iff {\sin }^{2}x+\sin x\cos x=0.$
$\iff \sin x(\sin x+\cos x)=0$ $\stackrel{(\ast )}{\iff }\sin x+\cos x=0$ $\iff x=–\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in Z.$
Vậy phương trình có một họ nghiệm $x=–\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in Z.$
Bài 5: Giải phương trình:
$\frac{{\sin }^{4}2x+{\cos }^{4}2x}{\tan \left(\frac{\pi }{4}–x\right)\tan \left(\frac{\pi }{4}+x\right)}={\cos }^{4}2x.$
Ta có:
$\tan \left(\frac{\pi }{4}–x\right)\tan \left(\frac{\pi }{4}+x\right)$ $=\tan \left(\frac{\pi }{4}–x\right)\cot \left(\frac{\pi }{2}–\frac{\pi }{4}–x\right)$ $=\tan \left(\frac{\pi }{4}–x\right)\cot \left(\frac{\pi }{4}–x\right)=1.$
Điều kiện:
$\{\begin{array}{l}\cos \left(\frac{\pi }{4}–x\right)\ne 0\\ \cos \left(\frac{\pi }{4}+x\right)\ne 0\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}x–\frac{\pi }{4}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ \frac{\pi }{4}+x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}x\ne \frac{3\pi }{4}+k\pi \\ x\ne \frac{\pi }{4}+k\pi \end{array}$ $\iff x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in Z.$
Biến đổi phương trình về dạng:
${\sin }^{4}2x+{\cos }^{4}2x={\cos }^{4}2x$ $\iff {\sin }^{4}2x=0$ $\iff \sin 2x=0$ $\iff x=\frac{k\pi }{2}$, $k\in Z.$
Vậy phương trình có một họ nghiệm $x=\frac{k\pi }{2}$, $k\in Z.$
Bài 6: Giải phương trình:
$\frac{\sin 5x}{5\sin x}=1.$
Điều kiện:
$\sin x\ne 0$ $\iff x\ne k\pi$, $k\in Z.$
Biến đổi phương trình về dạng:
$\sin 5x=5\sin x$ $\iff \sin 5x–\sin x=4\sin x$ $\iff 2\cos 3x\sin 2x=4\sin x.$
$\iff 4\cos 3x\sin x\cos x=4\sin x$ $\iff (\cos 3x\cos x–1)\sin x=0$ $\iff \cos 3x\cos x=1.$
$\iff [\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}\cos x=1\\ \cos 3x=1\end{array}\\ \{\begin{array}{c}\cos x=–1\\ \cos 3x=–1\end{array}\end{array}$ vi phạm điều kiện vì $\sin x\ne 0.$
Vậy phương trình vô nghiệm.
Bài 7: Giải phương trình:
$\frac{\cos x–2\sin x\cos x}{2{\cos }^{2}x–\sin x–1}=\sqrt{3}.$
Ta có:
$2{\cos }^{2}x–\sin x–1$ $=–2{\sin }^{2}x–\sin x+1$ $=(\sin x+1)(1–2\sin x).$
Điều kiện:
$2{\cos }^{2}x+\sin x–1\ne 0$ $\iff (\sin x+1)(1–2\sin x)\ne 0.$
$\iff \{\begin{array}{l}\sin x\ne –1\\ \sin x\ne \frac{1}{2}\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}x\ne –\frac{\pi }{2}+2k\pi \\ x\ne \frac{\pi }{6}+2k\pi \\ x\ne \frac{5\pi }{6}+2k\pi \end{array}$, $k\in Z.$
Biến đổi phương trình về dạng:
$\frac{\cos x(1–2\sin x)}{(\sin x+1)(1–2\sin x)}=\sqrt{3}$ $\iff \cos x=\sqrt{3}\sin x+\sqrt{3}.$
$\iff \sqrt{3}\sin x–\cos x=–\sqrt{3}$ $\iff \sin \left(x–\frac{\pi }{6}\right)=–\frac{\sqrt{3}}{2}.$
$\iff [\begin{array}{c}x–\frac{\pi }{6}=–\frac{\pi }{3}+2k\pi \\ x–\frac{\pi }{6}=\frac{4\pi }{3}+2k\pi \end{array}$ $\iff [\begin{array}{l}x=–\frac{\pi }{6}+2k\pi \\ x=\frac{3\pi }{2}+2k\pi (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{ạ}\mathrm{i})\end{array}$, $k\in Z.$
Vậy phương trình có một họ nghiệm.
Bài 8: Giải phương trình:
$\tan x–\sin 2x–\cos 2x$ $+2\left(2\cos x–\frac{1}{\cos x}\right)=0.$
Điều kiện:
$\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in Z.$
Biến đổi phương trình về dạng:
$\frac{\sin x}{\cos x}–2\sin x\cos x–\cos 2x$ $+2\left(\frac{2{\cos }^{2}x–1}{\cos x}\right)=0.$
$\iff \sin x\left(\frac{1}{\cos x}–2\cos x\right)$ $–\cos 2x+\frac{2\cos 2x}{\cos x}=0.$
$\iff –\sin x.\frac{\cos 2x}{\cos x}$ $–\cos 2x+\frac{2\cos 2x}{\cos x}=0$ $\iff \frac{\cos 2x}{\cos x}(–\sin x–\cos x+2)=0.$
$\iff [\begin{array}{l}\cos 2x=0\\ \cos x+\sin x=2\end{array}$ $\iff x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in Z.$
Vậy phương trình có một họ nghiệm.
Bài 9: Giải phương trình:
$1+\cot 2x=\frac{1–\cos 2x}{{\sin }^{2}2x}.$
Điều kiện:
$\sin 2x\ne 0$ $\iff 2x\ne k\pi$ $\iff x\ne \frac{k\pi }{2}$, $k\in Z$ $(\ast ).$
Biến đổi phương trình về dạng:
$1+\frac{\cos 2x}{\sin 2x}=\frac{1–\cos 2x}{1–{\cos }^{2}2x}$ $\iff \frac{\cos 2x+\sin 2x}{\sin 2x}=\frac{1}{1+\cos 2x}.$
$\iff (\cos 2x+\sin 2x)(1+\cos 2x)=\sin 2x.$
$\iff \cos 2x+\sin 2x$ $+(\cos 2x+\sin 2x)\cos 2x$ $=\sin 2x.$
$\iff (\cos 2x+\sin 2x+1)\cos 2x=0.$
$\iff [\begin{array}{l}\cos 2x=0\\ \sqrt{2}\cos \left(2x–\frac{\pi }{4}\right)=–1\end{array}$ $\iff [\begin{array}{l}\cos 2x=0\\ \cos \left(2x–\frac{\pi }{4}\right)=–\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}.$
$\iff [\begin{array}{l}2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ 2x–\frac{\pi }{4}=\pm \frac{3\pi }{4}+2k\pi \end{array}$ $\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\\ x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x=–\frac{\pi }{4}+k\pi \end{array}$ $\stackrel{(\ast )}{\iff }x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in Z.$
Vậy phương trình có một họ nghiệm.
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài tập 1. Giải các phương trình sau:
a. $6\sin x–2{\cos }^{3}x=\frac{5\sin 4x\cos x}{2\cos 2x}.$
b. $\frac{{\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x}{\sin 2x}=\frac{1}{2}(\tan x+\cot x).$
Bài tập 2. Giải các phương trình sau:
a. $\frac{\sin x+\sin 2x+\sin 3x}{\cos x+\cos 2x+\cos 3x}=\sqrt{3}.$
b. $\frac{1+2{\sin }^{2}x–3\sqrt{2}\sin x+\sin 2x}{2\sin x\cos x–1}=1.$
c. $2(\sin 3x–\cos 3x)=\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x}.$
d. $\frac{{\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x}{2\cos x–\sin x}=\cos 2x.$
e. $2\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x}.$
f. $\frac{1}{\tan x+\cot 2x}=\frac{\sqrt{2}(\cos x–\sin x)}{\cot x–1}.$
g. $\frac{{\cot }^{2}x–{\tan }^{2}x}{\cos 2x}=16(1+\cos 4x).$
Bài tập 3. Giải các phương trình sau:
a. ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x$ $=\frac{7}{8}\cot \left(x+\frac{\pi }{3}\right)\cot \left(\frac{\pi }{6}–x\right).$
b. $\frac{1}{\cos x}+\frac{1}{\sin 2x}=\frac{2}{\sin 4x}.$
Bài tập 4. Giải các phương trình sau:
a. $6\sin x–2{\cos }^{3}x=\frac{5\sin 4x\cos x}{2\cos 2x}.$
b. ${\sin }^{2}x–\sin x+\frac{1}{{\sin }^{2}x}–\frac{1}{\sin x}=0.$
Bài tập 5. Tìm các nghiệm của phương trình: $\sin \frac{x}{2}–\cos \frac{x}{2}=1–\sin x$ thoả mãn điều kiện $\left|\frac{x}{2}–\frac{\pi }{2}\right|\le \frac{3\pi }{4}.$
Bài tập 6. Tìm các nghiệm của phương trình: $\frac{1}{2}(\cos 5x+\cos 7x)$ $–{\cos }^{2}2x+{\sin }^{2}3x=0$ thoả mãn điều kiện $|x|<2.$
Bài tập 7. Tìm các nghiệm của phương trình: $\frac{3\pi }{4}\sin \left(2x+\frac{5\pi }{2}\right)–3\cos \left(x–\frac{7\pi }{2}\right)$ $=1+2\sin x$ thoả mãn điều kiện $x\in \left(\frac{\pi }{2},3\pi \right).$
Bài tập 8. Tìm tổng các nghiệm thoả mãn $1\le x\le \pi$ của phương trình:
$\cos 2x–{\tan }^{2}x=\frac{{\cos }^{2}x–{\cos }^{3}x–1}{{\cos }^{2}x}.$