Bài toán: Loại nghiệm không thích hợp của phương trình lượng giác.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG:
Ta thường gặp hai dạng toán sau:
Dạng 1: Tìm nghiệm thuộc \((a,b)\) của phương trình.
Ta thực hiện theo các bước:
+ Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình.
+ Bước 2: Giải phương trình để tìm nghiệm \(x = \alpha + \frac{{2k\pi }}{n}\), \(k,n \in Z.\)
+ Bước 3: Tìm nghiệm thuộc \((a,b):\)
\(a < \alpha + \frac{{2k\pi }}{n} < b\) \(\mathop \Leftrightarrow \limits^{k,n \in Z} \left( {{k_0},{n_0}} \right)\) \( \Rightarrow {x_0} = \alpha + \frac{{2{k_0}\pi }}{{{n_0}}}.\)
Dạng 2: Phương trình chứa ẩn ở mẫu.
Ta thực hiện theo các bước:
+ Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình \(x \ne \beta + \frac{{2l\pi }}{n}\), \(l,n \in Z.\)
+ Bước 2: Giải phương trình để tìm nghiệm \({x_0} = \alpha + \frac{{2k\pi }}{n}\), \(k,n \in Z.\)
+ Bước 3: Kiểm tra điều kiện ta lựa chọn một trong hai phương pháp sau:
Phương pháp đại số:
Nghiệm \({x_0}\) bị loại khi và chỉ khi:
\(\alpha + \frac{{2k\pi }}{n} = \beta + \frac{{2l\pi }}{n}.\)
Nghiệm \({x_0}\) chấp nhận được khi và chỉ khi:
\(\alpha + \frac{{2k\pi }}{n} \ne \beta + \frac{{2l\pi }}{n}.\)
Phương pháp hình học:
Biểu diễn các điểm \(x = \beta + \frac{{2l\pi }}{n}\), \(l,n \in Z\) trên đường tròn đơn vị, khi đó ta được tập các điểm \(C = \left\{ {{C_1}, \ldots ,{C_p}} \right\}.\)
Biểu diễn các điểm \(x = \alpha + \frac{{2k\pi }}{n}\), \(k,n \in Z\) trên đường tròn đơn vị, khi đó ta được tập các điểm \(D = \left\{ {{D_1}, \ldots ,{D_q}} \right\}.\)
Lấy tập \(E = D\backslash C = \left\{ {{E_1}, \ldots ,{E_r}} \right\}\), từ đó kết luận nghiệm của phương trình là:
\(x = {E_1} + 2k\pi \), …, \(x = {E_r} + 2k\pi \), \(k \in Z.\)
Ví dụ 1: Tìm các nghiệm thuộc \(\left( {\frac{\pi }{2},3\pi } \right)\) của phương trình:
\(\sin \left( {2x + \frac{{5\pi }}{2}} \right) – 3\cos \left( {x – \frac{{7\pi }}{2}} \right)\) \( = 1 + 2\sin x.\)
Biến đổi phương trình về dạng:
\(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{2} + 2\pi } \right)\) \( – 3\cos \left( {x + \frac{\pi }{2} – 4\pi } \right)\) \( = 1 + 2\sin x.\)
\( \Leftrightarrow \cos 2x + 3\sin x = 1 + 2\sin x\) \( \Leftrightarrow 1 – 2{\sin ^2}x = 1 – \sin x\) \( \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x – \sin x = 0.\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin x = 0}\\
{\sin x = \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = k\pi }\\
{x = \frac{\pi }{6} + 2k\pi }\\
{x = \frac{{5\pi }}{6} + 2k\pi }
\end{array}} \right.\) \(\mathop \Leftrightarrow \limits^{x \in \left( {\frac{\pi }{2},3\pi } \right)} \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \pi ,x = 2\pi }\\
{x = \frac{{13\pi }}{6}}\\
{x = \frac{{5\pi }}{6},x = \frac{{17\pi }}{6}}
\end{array}} \right..\)
Vậy phương trình có \(5\) nghiệm.
Ví dụ 2: Tìm các nghiệm thuộc \([0,2\pi ]\) của phương trình:
\(5\left( {\sin x + \frac{{\cos 3x + \sin 3x}}{{1 + 2\sin 2x}}} \right)\) \( = \cos 2x + 3.\)
Điều kiện:
\(1 + 2\sin 2x \ne 0\) \( \Leftrightarrow \sin 2x \ne – \frac{1}{2}\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x \ne – \frac{\pi }{6} + 2k\pi }\\
{2x \ne \frac{{7\pi }}{6} + 2k\pi }
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne – \frac{\pi }{{12}} + k\pi }\\
{x \ne \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi }
\end{array}} \right.\), \(k \in Z.\)
Ta có:
\(\cos 3x + \sin 3x\) \( = 4{\cos ^3}x – 3\cos x + 3\sin x – 4{\sin ^3}x.\)
\( = 4\left( {{{\cos }^3}x – {{\sin }^3}x} \right) – 3(\cos x – \sin x).\)
\( = (\cos x – \sin x)[4(1 + \cos x\sin x) – 3]\) \( = (\cos x – \sin x)(1 + 2\sin 2x).\)
Khi đó phương trình có dạng:
\(5(\sin x + \cos x – \sin x) = \cos 2x + 3\) \( \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x – 5\cos x + 2 = 0.\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos x = 2\:{\rm{(loại)}}}\\
{\cos x = \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + 2k\pi \), \(k \in Z\) \(\mathop \Leftrightarrow \limits^{x \in \left[ {0,2\pi } \right]} \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{3}}\\
{x = \frac{{5\pi }}{3}}
\end{array}} \right..\)
Vậy phương trình có hai nghiệm.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
\(\frac{1}{{\cos x}} + \frac{1}{{\sin 2x}} = \frac{2}{{\sin 4x}}.\)
Điều kiện:
\(\sin 4x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{4}\), \(k \in Z\) \((*).\)
Biến đổi phương trình về dạng:
\(4\sin x\cos 2x + 2\cos 2x = 2\) \( \Leftrightarrow 2\sin x\cos 2x = 1 – \cos 2x.\)
\( \Leftrightarrow 2\sin x\cos 2x = 2{\sin ^2}x\) \( \Leftrightarrow (\cos 2x – \sin x)\sin x = 0.\)
\( \Leftrightarrow \left( {1 – 2{{\sin }^2}x – \sin x} \right)\sin x = 0\) \( \Leftrightarrow (\sin x + 1)(2\sin x – 1)\sin x = 0.\)
\(\mathop \Leftrightarrow \limits^{(*)} \sin x = \frac{1}{2}\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{6} + 2k\pi }\\
{x = \frac{{5\pi }}{6} + 2k\pi }
\end{array}} \right.\), \(k \in Z.\)
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
Nhận xét: Trong lời giải trên chúng ta đã linh hoạt trong việc kiểm tra điều kiện \((*)\) để loại đi các nghiệm \(\sin x = 0\) và \(\sin x = – 1\) bởi:
\(\sin 4x = 4\sin x\cos x\cos 2x.\)
Ví dụ 4: Giải phương trình:
\(\frac{{\sin x\cot 5x}}{{\cos 9x}} = 1.\)
Điều kiện:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin 5x \ne 0}\\
{\cos 9x \ne 0}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{5x \ne l\pi }\\
{9x \ne \frac{\pi }{2} + l\pi }
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne \frac{{l\pi }}{5}}\\
{x \ne \frac{\pi }{{18}} + \frac{{l\pi }}{9}}
\end{array}} \right.\), \(l \in Z\) \((*).\)
Biến đổi phương trình về dạng:
\(\cos 5x\sin x = \cos 9x\sin 5x\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}(\sin 6x – \sin 4x)\) \( = \frac{1}{2}(\sin 14x – \sin 4x).\)
\( \Leftrightarrow \sin 14x = \sin 6x\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{14x = 6x + 2k\pi }\\
{14x = \pi – 6x + 2k\pi }
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{k\pi }}{4}}\\
{x = \frac{\pi }{{20}} + \frac{{k\pi }}{{10}}}
\end{array}} \right.\), \(k \in Z.\)
Kiểm tra điều kiện \((*):\)
+ Với \(x = \frac{{k\pi }}{4}\), ta cần có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{k\pi }}{4} \ne \frac{{l\pi }}{5}}\\
{\frac{{k\pi }}{4} \ne \frac{\pi }{{18}} + \frac{{l\pi }}{9}}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{5k \ne 4l}\\
{9k \ne 2 + 4l}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{k = 4n + 1}\\
{k = 4n + 3}
\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{(4n + 1)\pi }}{4}}\\
{x = \frac{{(4n + 3)\pi }}{4}}
\end{array}} \right.\), \(n \in Z.\)
+ Với \(x = \frac{\pi }{{20}} + \frac{{k\pi }}{{10}}\), ta cần có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{\pi }{{20}} + \frac{{k\pi }}{{10}} \ne \frac{{l\pi }}{5}}\\
{\frac{\pi }{{20}} + \frac{{k\pi }}{{10}} \ne \frac{\pi }{{18}} + \frac{{l\pi }}{9}}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 + 2k \ne 4l}\\
{18k \ne 1 + 20l}
\end{array}} \right.\) luôn đúng \( \Rightarrow x = \frac{\pi }{{20}} + \frac{{k\pi }}{{10}}\), \(k \in Z.\)
Vậy phương trình có ba họ nghiệm.
Nhận xét: Trong lời giải trên từ:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{5k \ne 4l\:(1)}\\
{9k \ne 2 + 4l\:(2)}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{k = 4n + 1}\\
{k = 4n + 3}
\end{array}} \right..\)
Bởi từ \((1)\) suy ra \(k\) không chia hết cho \(4\) và từ \((2)\) suy ra \(k\) lẻ, do đó:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{k = 4n + 1}\\
{k = 4n + 3}
\end{array}} \right.\) \((I).\)
Rồi lại thực hiện phép thử \((I)\) và \((2).\)
Còn đối với:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 + 2k \ne 4l}\\
{18k \ne 1 + 20l}
\end{array}} \right.\) luôn đúng.
Xuất phát từ tính chẵn lẻ của hai vế.
Ví dụ 5: Giải phương trình:
\(\sin 3x = \cos x\cos 2x\left( {{{\tan }^2}x + \tan 2x} \right).\)
Điều kiện:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos x \ne 0}\\
{\cos 2x \ne 0}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi }\\
{2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi }
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi }\\
{x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}}
\end{array}} \right.\), \(k \in Z.\) \((*).\)
Biến đổi phương trình về dạng:
\(\sin 3x = \cos x\cos 2x\left( {\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}}} \right)\) \( \Leftrightarrow \sin 3x = \frac{{{{\sin }^2}x\cos 2x}}{{\cos x}} + \sin 2x\cos x.\)
\( \Leftrightarrow \left( {3\sin x – 4{{\sin }^3}x} \right)\cos x\) \( = \left( {\cos 2x\sin x + 2{{\cos }^3}x} \right)\sin x.\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\left( {3 – 4{{\sin }^2}x} \right)\cos x – \left( {\cos 2x\sin x + 2{{\cos }^3}x} \right)} \right]\sin x = 0.\)
\( \Leftrightarrow (\cos x – \sin x)\cos 2x\sin x = 0\) \(\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( * \right)} \sin x = 0\) \( \Leftrightarrow x = k\pi \), \(k \in Z.\)
Vậy phương trình có một họ nghiệm.
II. CÁC BÀI TOÁN THI
Bài 1: Tìm \(x\) thuộc đoạn \([0,14]\) là nghiệm đúng nghiệm phương trình:
\(\cos 3x – 4\cos 2x + 3\cos x – 4 = 0.\)
Biến đổi phương trình về dạng:
\(4{\cos ^3}x – 3\cos x\) \( – 4(\cos 2x + 1) + 3\cos x = 0.\)
\( \Leftrightarrow 4{\cos ^3}x – 8{\cos ^2}x = 0\) \( \Leftrightarrow \cos x = 0\) \( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \), \(k \in Z.\)
Vì \(x \in [0,14]\) nên:
\(0 \le \frac{\pi }{2} + k\pi \le 14\) \( \Leftrightarrow – \frac{1}{2} \le k \le \frac{{14 – \frac{\pi }{2}}}{\pi }\) \( \Leftrightarrow k = 0,1,2,3.\)
Vậy phương trình có các nghiệm \(x = \frac{\pi }{2}\), \(x = \frac{{3\pi }}{2}\), \(x = \frac{{5\pi }}{2}\), \(x = \frac{{7\pi }}{2}.\)
Bài 2: Giải phương trình:
\(\frac{{\cos 2x + 3\cot 2x + \sin 4x}}{{\cot 2x – \cos 2x}} = 2.\)
Điều kiện:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin 2x \ne 0}\\
{\cot 2x – \cos 2x \ne 0}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin 2x \ne 0}\\
{\left( {\frac{1}{{\sin 2x}} – 1} \right)\cos 2x \ne 0}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin 2x \ne 0}\\
{\cos 2x \ne 0}\\
{\sin 2x \ne 1}
\end{array}} \right..\)
\( \Leftrightarrow \sin 4x \ne 0\) \( \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{4}\) \(k \in Z.\)
Biến đổi phương trình về dạng:
\(\cos 2x + 3\frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}} + 2\sin 2x\cos 2x\) \( = 2\left( {\frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}} – \cos 2x} \right).\)
\( \Leftrightarrow 1 + \frac{3}{{\sin 2x}} + 2\sin 2x\) \( = 2\left( {\frac{1}{{\sin 2x}} – 1} \right)\) \( \Leftrightarrow 2{\sin ^2}2x + 3\sin 2x + 1 = 0.\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin 2x = – 1\:{\rm{(loại)}}}\\
{\sin 2x = – \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x = – \frac{\pi }{6} + 2k\pi }\\
{2x = \pi + \frac{\pi }{6} + 2k\pi }
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \frac{\pi }{{12}} + k\pi }\\
{x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi }
\end{array}} \right.\), \(k \in Z.\)
Bài 3: Giải phương trình:
\(\frac{{{{(1 – \cos x)}^2} + {{(1 + \cos x)}^2}}}{{4(1 – \sin x)}}\) \( – {\tan ^2}x\sin x\) \( = \frac{{1 + \sin x}}{2} + {\tan ^2}x.\)
Điều kiện:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin x \ne 1}\\
{\cos x \ne 0}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \cos x \ne 0\) \( \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \), \(k \in Z.\)
Biến đổi phương trình về dạng:
\(\frac{{2 + 2{{\cos }^2}x}}{{4(1 – \sin x)}}\) \( = \frac{{1 + \sin x}}{2} + (1 + \sin x){\tan ^2}x.\)
\( \Leftrightarrow \frac{{1 + {{\cos }^2}x}}{{2(1 – \sin x)}}\) \( = \frac{{1 + \sin x}}{2}\left( {1 + 2{{\tan }^2}x} \right)\) \( = \frac{{1 + \sin x}}{2}.\frac{{{{\cos }^2}x + 2{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}\) \( = \frac{{1 + \sin x}}{2}.\frac{{{{\cos }^2}x + 2{{\sin }^2}x}}{{1 – {{\sin }^2}x}}\) \( = \frac{{{{\cos }^2}x + 2{{\sin }^2}x}}{{2(1 – \sin x)}}.\)
\( \Leftrightarrow 1 + {\cos ^2}x = {\cos ^2}x + 2{\sin ^2}x\) \( \Leftrightarrow 1 – 2{\sin ^2}x = 0.\)
\( \Leftrightarrow \cos 2x = 0\) \( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\), \(k \in Z.\)
Vậy phương trình có một họ nghiệm: \(x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\), \(k \in Z.\)
Bài 4: Giải phương trình:
\(3{\sin ^2}x + \frac{1}{2}\sin 2x + 2{\cos ^2}x\) \( = \frac{{3\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x – 1} \right)}}{{{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x – 1}}.\)
Ta có:
\({\sin ^4}x + {\cos ^4}x – 1\) \( = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x – 1\) \( = – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x.\)
\({\sin ^6}x + {\cos ^6}x – 1\) \( = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3}\) \( – 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) – 1\) \( = – 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x.\)
Điều kiện:
\({\sin ^6}x + {\cos ^6}x – 1 \ne 0\) \( \Leftrightarrow – 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x \ne 0\) \( \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0\) \( \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\), \(k \in Z\) \((*).\)
Biến đổi phương trình về dạng:
\(3{\sin ^2}x + \frac{1}{2}\sin 2x + 2{\cos ^2}x = 2\) \( \Leftrightarrow {\sin ^2}x + \sin x\cos x = 0.\)
\( \Leftrightarrow \sin x(\sin x + \cos x) = 0\) \(\mathop \Leftrightarrow \limits^{(*)} \sin x + \cos x = 0\) \( \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{4} + k\pi \), \(k \in Z.\)
Vậy phương trình có một họ nghiệm \(x = – \frac{\pi }{4} + k\pi \), \(k \in Z.\)
Bài 5: Giải phương trình:
\(\frac{{{{\sin }^4}2x + {{\cos }^4}2x}}{{\tan \left( {\frac{\pi }{4} – x} \right)\tan \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right)}} = {\cos ^4}2x.\)
Ta có:
\(\tan \left( {\frac{\pi }{4} – x} \right)\tan \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right)\) \( = \tan \left( {\frac{\pi }{4} – x} \right)\cot \left( {\frac{\pi }{2} – \frac{\pi }{4} – x} \right)\) \( = \tan \left( {\frac{\pi }{4} – x} \right)\cot \left( {\frac{\pi }{4} – x} \right) = 1.\)
Điều kiện:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos \left( {\frac{\pi }{4} – x} \right) \ne 0}\\
{\cos \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) \ne 0}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – \frac{\pi }{4} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi }\\
{\frac{\pi }{4} + x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi }
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne \frac{{3\pi }}{4} + k\pi }\\
{x \ne \frac{\pi }{4} + k\pi }
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\), \(k \in Z.\)
Biến đổi phương trình về dạng:
\({\sin ^4}2x + {\cos ^4}2x = {\cos ^4}2x\) \( \Leftrightarrow {\sin ^4}2x = 0\) \( \Leftrightarrow \sin 2x = 0\) \( \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2}\), \(k \in Z.\)
Vậy phương trình có một họ nghiệm \(x = \frac{{k\pi }}{2}\), \(k \in Z.\)
Bài 6: Giải phương trình:
\(\frac{{\sin 5x}}{{5\sin x}} = 1.\)
Điều kiện:
\(\sin x \ne 0\) \( \Leftrightarrow x \ne k\pi \), \(k \in Z.\)
Biến đổi phương trình về dạng:
\(\sin 5x = 5\sin x\) \( \Leftrightarrow \sin 5x – \sin x = 4\sin x\) \( \Leftrightarrow 2\cos 3x\sin 2x = 4\sin x.\)
\( \Leftrightarrow 4\cos 3x\sin x\cos x = 4\sin x\) \( \Leftrightarrow (\cos 3x\cos x – 1)\sin x = 0\) \( \Leftrightarrow \cos 3x\cos x = 1.\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos x = 1}\\
{\cos 3x = 1}
\end{array}} \right.}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos x = – 1}\\
{\cos 3x = – 1}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.\) vi phạm điều kiện vì \(\sin x \ne 0.\)
Vậy phương trình vô nghiệm.
Bài 7: Giải phương trình:
\(\frac{{\cos x – 2\sin x\cos x}}{{2{{\cos }^2}x – \sin x – 1}} = \sqrt 3 .\)
Ta có:
\(2{\cos ^2}x – \sin x – 1\) \( = – 2{\sin ^2}x – \sin x + 1\) \( = (\sin x + 1)(1 – 2\sin x).\)
Điều kiện:
\(2{\cos ^2}x + \sin x – 1 \ne 0\) \( \Leftrightarrow (\sin x + 1)(1 – 2\sin x) \ne 0.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin x \ne – 1}\\
{\sin x \ne \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne – \frac{\pi }{2} + 2k\pi }\\
{x \ne \frac{\pi }{6} + 2k\pi }\\
{x \ne \frac{{5\pi }}{6} + 2k\pi }
\end{array}} \right.\), \(k \in Z.\)
Biến đổi phương trình về dạng:
\(\frac{{\cos x(1 – 2\sin x)}}{{(\sin x + 1)(1 – 2\sin x)}} = \sqrt 3 \) \( \Leftrightarrow \cos x = \sqrt 3 \sin x + \sqrt 3 .\)
\( \Leftrightarrow \sqrt 3 \sin x – \cos x = – \sqrt 3 \) \( \Leftrightarrow \sin \left( {x – \frac{\pi }{6}} \right) = – \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x – \frac{\pi }{6} = – \frac{\pi }{3} + 2k\pi }\\
{x – \frac{\pi }{6} = \frac{{4\pi }}{3} + 2k\pi }
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \frac{\pi }{6} + 2k\pi }\\
{x = \frac{{3\pi }}{2} + 2k\pi \:{\rm{(loại)}}}
\end{array}} \right.\), \(k \in Z.\)
Vậy phương trình có một họ nghiệm.
Bài 8: Giải phương trình:
\(\tan x – \sin 2x – \cos 2x\) \( + 2\left( {2\cos x – \frac{1}{{\cos x}}} \right) = 0.\)
Điều kiện:
\(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \), \(k \in Z.\)
Biến đổi phương trình về dạng:
\(\frac{{\sin x}}{{\cos x}} – 2\sin x\cos x – \cos 2x\) \( + 2\left( {\frac{{2{{\cos }^2}x – 1}}{{\cos x}}} \right) = 0.\)
\( \Leftrightarrow \sin x\left( {\frac{1}{{\cos x}} – 2\cos x} \right)\) \( – \cos 2x + \frac{{2\cos 2x}}{{\cos x}} = 0.\)
\( \Leftrightarrow – \sin x.\frac{{\cos 2x}}{{\cos x}}\) \( – \cos 2x + \frac{{2\cos 2x}}{{\cos x}} = 0\) \( \Leftrightarrow \frac{{\cos 2x}}{{\cos x}}( – \sin x – \cos x + 2) = 0.\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos 2x = 0}\\
{\cos x + \sin x = 2}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\), \(k \in Z.\)
Vậy phương trình có một họ nghiệm.
Bài 9: Giải phương trình:
\(1 + \cot 2x = \frac{{1 – \cos 2x}}{{{{\sin }^2}2x}}.\)
Điều kiện:
\(\sin 2x \ne 0\) \( \Leftrightarrow 2x \ne k\pi \) \( \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\), \(k \in Z\) \((*).\)
Biến đổi phương trình về dạng:
\(1 + \frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}} = \frac{{1 – \cos 2x}}{{1 – {{\cos }^2}2x}}\) \( \Leftrightarrow \frac{{\cos 2x + \sin 2x}}{{\sin 2x}} = \frac{1}{{1 + \cos 2x}}.\)
\( \Leftrightarrow (\cos 2x + \sin 2x)(1 + \cos 2x) = \sin 2x.\)
\( \Leftrightarrow \cos 2x + \sin 2x\) \( + (\cos 2x + \sin 2x)\cos 2x\) \( = \sin 2x.\)
\( \Leftrightarrow (\cos 2x + \sin 2x + 1)\cos 2x = 0.\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos 2x = 0}\\
{\sqrt 2 \cos \left( {2x – \frac{\pi }{4}} \right) = – 1}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos 2x = 0}\\
{\cos \left( {2x – \frac{\pi }{4}} \right) = – \frac{{\sqrt 2 }}{2}}
\end{array}} \right..\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x = \frac{\pi }{2} + k\pi }\\
{2x – \frac{\pi }{4} = \pm \frac{{3\pi }}{4} + 2k\pi }
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}}\\
{x = \frac{\pi }{2} + k\pi }\\
{x = – \frac{\pi }{4} + k\pi }
\end{array}} \right.\) \(\mathop \Leftrightarrow \limits^{(*)} x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\), \(k \in Z.\)
Vậy phương trình có một họ nghiệm.
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài tập 1. Giải các phương trình sau:
a. \(6\sin x – 2{\cos ^3}x = \frac{{5\sin 4x\cos x}}{{2\cos 2x}}.\)
b. \(\frac{{{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x}}{{\sin 2x}} = \frac{1}{2}(\tan x + \cot x).\)
Bài tập 2. Giải các phương trình sau:
a. \(\frac{{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}}{{\cos x + \cos 2x + \cos 3x}} = \sqrt 3 .\)
b. \(\frac{{1 + 2{{\sin }^2}x – 3\sqrt 2 \sin x + \sin 2x}}{{2\sin x\cos x – 1}} = 1.\)
c. \(2(\sin 3x – \cos 3x) = \frac{1}{{\sin x}} + \frac{1}{{\cos x}}.\)
d. \(\frac{{{{\sin }^3}x + {{\cos }^3}x}}{{2\cos x – \sin x}} = \cos 2x.\)
e. \(2\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sin x}} + \frac{1}{{\cos x}}.\)
f. \(\frac{1}{{\tan x + \cot 2x}} = \frac{{\sqrt 2 (\cos x – \sin x)}}{{\cot x – 1}}.\)
g. \(\frac{{{{\cot }^2}x – {{\tan }^2}x}}{{\cos 2x}} = 16(1 + \cos 4x).\)
Bài tập 3. Giải các phương trình sau:
a. \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x\) \( = \frac{7}{8}\cot \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\cot \left( {\frac{\pi }{6} – x} \right).\)
b. \(\frac{1}{{\cos x}} + \frac{1}{{\sin 2x}} = \frac{2}{{\sin 4x}}.\)
Bài tập 4. Giải các phương trình sau:
a. \(6\sin x – 2{\cos ^3}x = \frac{{5\sin 4x\cos x}}{{2\cos 2x}}.\)
b. \({\sin ^2}x – \sin x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} – \frac{1}{{\sin x}} = 0.\)
Bài tập 5. Tìm các nghiệm của phương trình: \(\sin \frac{x}{2} – \cos \frac{x}{2} = 1 – \sin x\) thoả mãn điều kiện \(\left| {\frac{x}{2} – \frac{\pi }{2}} \right| \le \frac{{3\pi }}{4}.\)
Bài tập 6. Tìm các nghiệm của phương trình: \(\frac{1}{2}(\cos 5x + \cos 7x)\) \( – {\cos ^2}2x + {\sin ^2}3x = 0\) thoả mãn điều kiện \(|x| < 2.\)
Bài tập 7. Tìm các nghiệm của phương trình: \(\frac{{3\pi }}{4}\sin \left( {2x + \frac{{5\pi }}{2}} \right) – 3\cos \left( {x – \frac{{7\pi }}{2}} \right)\) \( = 1 + 2\sin x\) thoả mãn điều kiện \(x \in \left( {\frac{\pi }{2},3\pi } \right).\)
Bài tập 8. Tìm tổng các nghiệm thoả mãn \(1 \le x \le \pi \) của phương trình:
\(\cos 2x – {\tan ^2}x = \frac{{{{\cos }^2}x – {{\cos }^3}x – 1}}{{{{\cos }^2}x}}.\)
