Lập số chứa hoặc không chứa chữ số nào đó

1. PHƯƠNG PHÁP CHUNG
a. Lập số chứa số $x$ nào đó: Ta thực hiện như sau:
+ Gọi số cần lập theo dạng $n=\overline{abc\dots }$ hoặc $n=$ ▯▯▯….
+ Tính số cách chèn chữ số $x$ trong $n$ (hay số cách chọn vị trí của $x$ trong $n$).
+ Chọn các chữ số còn lại trong $n.$
+ Dùng quy tắc nhân ta được số các số tự nhiên cần lập.
b. Lập số không chứa số $x$ nào đó: Ta thực hiện như sau: Cách 1:
+ Gọi số cần lập theo dạng $n=\overline{abc\dots }$ hoặc $n=$ ▯▯▯….
+ Chọn $a$, $b$, $c$ … (không được chọn số $x$).
Cách 2: Dùng phép đếm gián tiếp:
+ Lập các số dạng tổng quát.
+ Lập các số chứa số $x.$
+ Lấy tổng trừ các số chứa số $x$ suy ra số các số không chứa số $x.$

c. Lưu ý
+ Cũng giống các bài toán đã xét ta có thể sử dụng hai phương pháp đếm.
+ Nếu chữ số $x$ xuất hiện $k$ lần trong $n$ thì có thể sử dụng hoán vị hoặc chỉnh hợp lặp. Hay tìm số cách chọn $k$ vị trí cho $k$ chữ số $x$ (theo công thức số tổ hợp: Vì $k$ chữ số này giống nhau nên không phân biệt vị trí sắp xếp). Sau đó xếp các chữ số còn lại trong $n.$
+ Trong các trường hợp lập số $n$ có chứa nhiều chữ số $x$, $y$, $z$ … thì ta cũng thực hiện tương tự các bước đối với từng chữ số $x$, $y$, $z$ ….
2. BÀI TOÁN ÁP DỤNG
Bài 1: Từ các chữ số $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7.$ Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $5$ chữ số khác nhau và:
a) Bắt đầu bằng chữ số $3.$
b) Chữ số hàng chục bằng $4.$
c) Không bắt đầu bởi số $12.$
d) Luôn có mặt chữ số $5.$
Lời giải:
a) Gọi $n=\overline{abcd}$ là số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán.
Do $n$ bắt đầu bằng chữ số $3$ nên ta có:
Có $1$ cách chọn $a.$
Có $7$ cách chọn $b.$
Có $6$ cách chọn $c.$
Có $5$ cách chọn $d.$
Vậy có $1.7.6.5=210$ số.
b) Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng: $n=\overline{ab4d}.$
Có $6$ cách chọn $a.$
Có $6$ cách chọn $b.$
Có $5$ cách chọn $d.$
Vậy có: $6.6.5=180$ số.
c) Gọi $n=\overline{abcd}$ là số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán.
Cách 1: (Dùng phương pháp đếm trực tiếp)
+ Nếu $a\ne 1$, khi đó $b$, $c$, $d$ chọn tùy ý.
Có $6$ cách chọn $a.$
Có $A_7^3=210$ cách chọn $b$, $c$, $d.$
Suy ra trường hợp này có: $6.210=1260$ số.
+ Nếu $a=1$, khi đó $b\ne \{1;2\}$ và $c$, $d$ chọn tùy ý.
Có $6$ cách chọn $b.$
Có $A_6^2=30$ cách chọn $c$, $d.$
Suy ra trường hợp này có: $6.30=180$ số.
Vậy tất cả có: $1260+180=1440$ số tự nhiên có $4$ chữ số khác nhau và không bắt đầu bằng số $12.$
Cách 2: (Dùng phương pháp đếm gián tiếp)
+ Đầu tiên ta tính số các số tự nhiên có $4$ chữ số khác nhau $n=\overline{abcd}.$
Có $7$ cách chọn $a.$
Có $A_7^3=210$ cách chọn $b$, $c$, $d.$
Vậy có $7.210=1470$ số tự nhiên có $4$ chữ số khác nhau.
+ Tiếp theo tính các số tự nhiên bắt đầu bởi $12$ có dạng: $n=\overline{12cd}.$
Có $A_6^2=30$ số.
Suy ra số các số tự nhiên có $4$ chữ số khác nhau và không bắt đầu bởi $12$ là:
$1470–30=1440$ số.
d) Cách 1:
Gọi $n=\overline{abcd}$ là số tự nhiên cần tìm:
+ Nếu $a=5$, khi đó có: $A_7^3=210$ cách chọn $b$, $c$, $d.$ Tức là có $210$ số.
+ Nếu $a\ne 5$, khi đó:
Có $3$ cách xếp chữ số $5$ trong $n$ (ở các vị trí $b$, $c$ hoặc $d$).
Có $6$ cách chọn $a.$
Có $A_6^2=30$ cách chọn $2$ chữ số còn lại trong $n.$
Suy ra có: $3.6.30=540$ số.
Vậy tất cả có: $210+540=750$ số.
Cách 2:
Gọi $n=\overline{abcd}$ là số tự nhiên có $4$ chữ số khác nhau và không có mặt chữ số $5.$
Có $6$ cách chọn $a.$
Có $A_6^3=120$ cách chọn $b$, $c$, $d.$
Suy ra có: $6.120=720$ số có $4$ chữ số khác nhau và không có mặt chữ số $5.$
Mà có tất cả $1470$ số tự nhiên có $4$ chữ số khác nhau (theo câu c).
Vậy có: $1470–720=750$ số tự nhiên có $4$ chữ số khác nhau và luôn có mặt chữ số $5.$
Bài 2: Từ các chữ số $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm $5$ chữ số khác nhau và nhất thiết phải có $2$ chữ số $1$, $5.$
Lời giải:
Gọi $n=\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5}$ là số cần lập.
Bước 1: Xếp $1$, $5$ vào $2$ trong $5$ vị trí trong $n:$ có $A_5^2=20$ cách.
Bước 2: có $A_5^3=60$ cách xếp $3$ trong $5$ số còn lại vào $3$ vị trí còn lại của $n.$
Vậy có $20.60=1200$ số.
Bài 3: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm $5$ chữ số, trong đó chữ số $0$ có mặt đúng $2$ lần, chữ số $1$ có mặt đúng $1$ lần và hai chữ số còn lại phân biệt?
Lời giải:
Gọi số cần tìm là: $\overline{abcde}$ và mỗi chữ số tương ứng với $1$ ô trống: ▯▯▯▯▯.
Chọn $2$ ô xếp cho $2$ số $0$ có: $C_4^2$ cách chọn (trừ ô đầu tiên).
Chọn $1$ ô để xếp chữ số $1$ có $3$ cách chọn.
Chọn $2$ ô còn lại chọn từ các chữ số $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$ có $A_8^2$ cách chọn.
Vậy có: $C_4^2.3.A_8^2=1008$ số.
Bài 4:
1. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm $6$ chữ số đôi một khác nhau, trong đó có mặt chữ số $0$ nhưng không có mặt chữ số $1.$
2. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm $7$ chữ số, biết rằng chữ số $2$ có mặt đúng $2$ lần, chữ số $3$ có mặt đúng $3$ lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần.
Lời giải:
1. Số được xét có dạng: $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6}.$
Xếp chữ số $0$ vào các vị trí từ $a_2$ đến $a_6:$ có $5$ cách xếp. Còn lại $5$ vị trí, ta chọn $5$ trong $8$ chữ số để xếp vào $5$ vị trí này: có $A_8^5$ cách.
Vậy tất cả có: $5.A_8^5=33600$ cách.
2. Số được xét có dạng: $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6{a}_7}.$
Chọn $2$ vị trí để xếp hai chữ số $2:$ có $C_7^2$ cách.
Chọn $3$ vị trí để xếp ba chữ số $3:$ có $C_5^3$ cách.
Còn $2$ vị trí, chọn $2$ chữ số tuỳ ý để xếp vào $2$ vị trí này: có $2!C_8^2$ cách.
Như vậy nếu xét cả các số bắt đầu bằng chữ số $0$ thì có: $C_7^2.C_5^3.2!C_8^2=11760$ số.
Trong các số này, cần loại bỏ các số bắt đầu bởi chữ số $0.$
Đối với các số $\overline{0a_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6{a}_7}:$
Chọn $2$ vị trí để xếp chữ số $2:$ có $C_6^2$ cách.
Chọn $3$ vị trí để xếp ba chữ số $3:$ có $C_4^3$ cách.
Chọn $1$ số để xếp vào vị trí còn lại: có $7$ cách.
Như vậy loại này có: $C_6^2.C_4^3.7=420$ số.
Vậy tất cả có: $11760–420=11340$ số.
Bài 5: Với các chữ số $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ ta lập các số mà mỗi số có năm chữ số trong đó các chữ số khác nhau từng đôi một. Hỏi:
1. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số $2.$
2. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt hai chữ số $1$ và $6.$
Lời giải:
1) Gọi $n=\overline{abcde}$ là số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Có $5$ cách xếp chữ số $2$ trong các chữ số của $n$, mỗi cách xếp chữ số $2$ có $A_5^4$ cách xếp $4$ chữ số còn lại của $n.$
Vậy có $2.A_5^4=240$ số $n.$
2) Gọi $n=\overline{abcde}$ là số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Có $A_5^2$ cách xếp hai chữ số $1$ và $6$ trong các chữ số của $n$, mỗi cách xếp như vậy có $A_4^3$ cách xếp $3$ chữ số còn lại của $n.$
Vậy có: $A_5^2.A_4^3=480$ số $n.$
Bài 6: Có thể lập được bao nhiêu số gồm $8$ chữ số từ các chữ số: $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ trong đó các chữ số $1$ và $6$ đều có mặt $2$ lần, các chữ số khác có mặt $1$ lần.
Lời giải:
Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng: $n=$ ▯▯▯▯▯▯▯▯.
Có $8$ ô trống, cần chọn ra $1$ ô điền chữ số $2$, $1$ ô điền chữ số $3$, $1$ ô điền chữ số $4$, $1$ ô điền chữ số $5.$ Sau đó trong $4$ ô còn lại, cần chọn $2$ ô điền chữ số $1$, cuối cùng còn lại $2$ ô điền chữ số $6.$
Chọn $1$ ô điền chữ số $2$ có $8$ cách chọn.
Chọn $1$ ô điền chữ số $3$ có $7$ cách chọn.
Chọn $1$ ô điền chữ số $4$ có $6$ cách chọn.
Chọn $1$ ô điền chữ số $5$ có $5$ cách chọn.
Chọn $2$ ô điền chữ số $1$ có $C_4^2$ cách chọn.
Chọn $2$ ô điền chữ số $6$ có $1$ cách chọn.
Vậy có tất cả có: $8.7.6.5\cdot C_4^2.1=10080$ số thoả yêu cầu đề bài.
Bài 7: Với các số: $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm $4$ chữ số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số $0.$
Lời giải:
Số các số tự nhiên gồm $4$ chữ số khác nhau được lập từ $6$ chữ số: $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ là: $5.A_5^3=300.$
Trong các số nói trên, số các số tự nhiên không có mặt chữ số $0$ là: $A_5^3=120.$
Vậy số các số tự nhiên thoả mãn yêu cầu là: $300–120=180$ số.
Bài 8: Cho $8$ chữ số $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7.$ Hỏi có thể lập được bao nhiêu số gồm $6$ chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số $4.$
Lời giải:
Cách 1:
Giả sử số cần tìm có dạng: $A=\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6}.$
+ Nếu $a_1=4$ thì các chữ số còn lại của $A$ là một trong $7$ chữ số $0$, $1$, $2$, $3$, $5$, $6$, $7.$
Vậy có $A_7^5=2520$ số.
+ Nếu $a_1\ne 4$ thì vì $a_1\ne 0$ nên chỉ có $6$ cách chọn $a_1.$
Vì số $4$ phải có đúng một trong $5$ vị trí còn lại là $a_2$, $a_3$, $a_4$, $a_5$, $a_6.$
Khi đó các vị trí khác (không có chữ số $4$) sẽ chỉ còn $A_6^4$ số khác nhau.
Vậy trường hợp này có $6.5.A_6^4=10800$ số.
Vậy tất cả có: $2520+10800=13320$ số.
Cách 2:
+ Gọi $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6}$ là một số tự nhiên gồm $6$ chữ số khác nhau.
Có $7$ cách chọn $a_1.$
Các chữ số còn lại có $A_7^5$ cách chọn.
Vậy có $7.A_7^5=17640$ số.
Gọi $\overline{abcdef}$ là số tự nhiên có $6$ chữ số khác nhau và không có mặt chữ số $4.$
Có $6$ cách chọn $a.$
Các chữ số còn lại có $A_6^5$ cách chọn.
Suy ra có: $6.A_6^5=4320$ số không có mặt chữ số $4.$
Vậy có: $17640–4320=13320$ số gồm $6$ chữ số khác nhau và nhất thiết có mặt chữ số $4.$
Bài 9: Với các chữ số $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có $5$ chữ số khác nhau và trong đó phải có chữ số $5.$
Lời giải:
Gọi $n=\overline{abcde}$ là số tự nhiên có $5$ chữ số khác nhau và có mặt chữ số $5.$ Xét các trường hợp sau:
+ Nếu $a=5$, khi đó $b$, $c$, $d$, $e$ chọn tùy ý trong các số $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $6.$
Số cách chọn $b$, $c$, $d$, $e$ là: $A_6^4.$
+ Nếu $a\ne 5$ khi đó có $5$ cách chọn $a$ từ các số $1$, $2$, $3$, $4$, $6.$
Sau đó xếp chữ số $5$ có $4$ cách chọn vị trí trong các chữ số của $n.$
$3$ chữ số còn lại trong $n$ có: $4$ cách chọn.
Suy ra có: $5.4.A_5^3=1200$ số.
Vậy có tất cả $A_6^4+1200=1560$ số tự nhiên có $5$ chữ số khác nhau và trong đó có mặt chữ số $5.$
Bài 10:
1. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm $6$ chữ số đôi một khác nhau, trong đó có mặt chữ số $0$ nhưng không có mặt chữ số $1.$
2. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm $7$ chữ số, biết rằng chữ số $2$ có mặt đúng $2$ lần, chữ số $3$ có mặt đúng $3$ lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần.
Lời giải:
1. Số được xét có dạng: $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6}.$
Xếp chữ số $0$ vào các vị trí từ $a_2$ đến $a_6:$ có $5$ cách xếp.
Còn lại $5$ vị trí, ta chọn $5$ trong $8$ chữ số để xếp vào $5$ vị trí này: có $A_8^5$ cách.
Vậy tất cả có: $5.A_8^5=33600$ cách.
2. Số được xét có dạng: $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6{a}_7}.$
Chọn $2$ vị trí để xếp hai chữ số $2:$ có $C_7^2$ cách.
Chọn $3$ vị trí để xếp ba chữ số $3:$ có $C_5^3$ cách.
Còn $2$ vị trí, chọn $2$ chữ số tuỳ ý để xếp vào $2$ vị trí này: có $2!C_8^2$ cách.
Như vậy nếu xét cả các số bắt đầu bằng chữ số $0$ thì có: $C_7^2.C_5^3.2!C_8^2=11760$ số.
Trong các số này, cần loại bỏ các số bắt đầu bởi chữ số $0.$
Đối với các số $\overline{0a_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6{a}_7}:$
Chọn $2$ vị trí để xếp chữ số $2:$ có $C_6^2$ cách.
Chọn $3$ vị trí để xếp ba chữ số $3:$ có $C_4^3$ cách.
Chọn $1$ số để xếp vào vị trí còn lại: có $7$ cách.
Như vậy loại này có: $C_6^2.C_4^3.7=420$ số.
Vậy tất cả có: $11760–420=11340$ số.
Bài 11: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm $4$ chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng $3$ lần?
Lời giải:
Số các số tự nhiên có $4$ chữ số là: $9.10.10.10=9000$ số.
Ta tìm số các số tự nhiên có $1$ chữ số lặp lại đúng $3$ lần:
+ Số $0$ lặp lại đúng $3$ lần ứng với số tự nhiên $\overline{a000}$ với $a\in \{1,2,3,\dots ,9\}$ $\Rightarrow$ có $9$ số.
+ Số $1$ lặp lại đúng $3$ lần ứng với các số:
$\overline{a111}$ với $a\in \{2,3,4,\dots ,9\}$ $\Rightarrow$ có $8$ số.
$\overline{1b11}$ với $b\in \{0,2,3,\dots ,9\}$ $\Rightarrow$ có $9$ số.
$\overline{11c1}$ với $c\in \{0,2,3,\dots ,9\}$ $\Rightarrow$ có $9$ số.
$\overline{111d}$ với $d\in \{0,2,3,\dots ,9\}$ $\Rightarrow$ có $9$ số.
Suy ra có $8+9+9+9=35$ số.
+ Tương tự với mỗi số từ $2$ đến $9$ ta cũng tìm được $35$ số tự nhiên sao cho mỗi chữ số trên lặp lại đúng $3$ lần.
Do đó số các số tự nhiên có một chữ số lặp lại đúng $3$ lần là:
$9+9.35=324$ số.
Vậy số các số tự nhiên gồm $4$ chữ số mà trong đó không có chữ số nào lặp lại đúng $3$ lần là: $9000–324=8076$ số.
Bài 12: Hỏi từ $10$ chữ số $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$ có thể lập được bao nhiêu số gồm $6$ chữ số khác nhau, sao cho trong các chữ số đó có mặt số $0$ và $1.$
Lời giải:
Gọi số tự nhiên cần tìm có các chữ số tương ứng các ô trống sau: ▯▯▯▯▯▯.
Xét các trường hợp sau:
+ Nếu ô trống thứ nhất bằng $1$, khi đó:
Có $5$ cách xếp chữ số $0$ vào $1$ trong $5$ ô trống còn lại.
Có $A_8^4=1680$ cách chọn $4$ chữ số khác $0$ và $1$ để xếp vào $4$ ô trống còn lại.
Suy ra trường hợp này có $5.1680=8400$ số.
+ Nếu ô trống thứ nhất khác $1$, khi đó:
Có $8$ cách chọn $1$ chữ số xếp vào ô trống thứ nhất.
Có $A_5^2=20$ cách chọn $2$ ô để xếp $2$ chữ số $0$ và $1.$
Có $A_7^3=210$ cách chọn $3$ chữ số xếp vào $3$ ô trống còn lại.
Suy ra loại này có: $8.20.210=33600$ số.
Vậy tất cả có: $8400+33600=42000$ số.
Bài 13: Có bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số thỏa mãn điều kiện sau:
a) Bắt đầu bằng chữ số $1.$
b) Có đúng $2$ chữ số giống nhau.
Lời giải:
a) Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng $n=\overline{1bcd}.$
Có $10$ cách chọn $b.$
Có $10$ cách chọn $c.$
Có $10$ cách chọn $d.$
Vậy có $10.10.10=1000$ số.
b) Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng $n=$ ▯▯▯▯ (mỗi chữ số tương ứng $1$ ô trống).
Xét các trường hợp sau:
* Trong $n$ có $2$ chữ số giống nhau $a$ và khác chữ số $0.$
Có $9$ cách chọn $2$ chữ số $a$ giống nhau khác $0.$
+ Nếu ô trống đầu tiên là $a$ thì có $3$ cách đặt chữ số $a$ thứ hai trong $3$ ô trống còn lại.
Mỗi cách đặt đó có $A_9^2=72$ cách chọn hai chữ số khác $a$ xếp vào $2$ ô trống còn lại.
Suy ra có: $3.72=216$ cách.
+ Nếu ô trống đầu tiên khác $a$, khi đó:
Có $8$ cách chọn một chữ số để đặt vào ô trống đầu tiên (trừ $0$ và $a$).
Có $C_3^2=3$ cách chọn $2$ ô trống để đặt hai chữ số $a.$
Có $8$ cách chọn $1$ chữ số để xếp vào ô trống còn lại.
Suy ra có: $8.3.3=192$ cách.
Vậy trường hợp này có $9.(216+192)=3672$ số.
* Trong $n$ có $2$ chữ số $0.$
Có $C_3^2=3$ cách chọn $3$ ô trống để xếp $2$ chữ số $0.$
Có $A_9^2=72$ cách chọn $2$ chữ số khác nhau xếp vào $2$ ô trống còn lại.
Vậy trường hợp này có $3.72=216$ số.
Vậy tất cả có: $3602+216=3888$ số.
Bài 14: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm $7$ chữ số sao cho:
a) Trong đó có $2$ chữ số $1$, $3$ chữ số $2$, các chữ số còn lại xuất hiện đúng $1$ lần.
b) Trong đó có $2$ chữ số $0$, $3$ chữ số $2$, các chữ số còn lại xuất hiện đúng $1$ lần.
Lời giải:
a) Gọi số tự nhiên cần tìm có các chữ số tương ứng với các ô trống, dạng:
$n=$ ▯▯▯▯▯▯▯.
Xét các trường hợp sau:
+ $n$ có chứa chữ số $0$, khi đó:
Có $6$ cách chọn ô trống để đặt chữ số $0$ (trừ ô đầu tiên).
Có $C_6^2=15$ cách chọn $2$ ô trống để xếp $2$ chữ số $1.$
Có $C_4^3=4$ cách chọn $3$ ô trống để xếp $3$ chữ số $2.$
Ô trống còn lại có $7$ cách chọn chữ số (trừ số $0$, $1$, $2$).
Suy ra trường hợp này có: $6.15.4.7=2520$ số.
+ $n$ không chứa chữ số $0$, khi đó:
Có $C_7^2=21$ cách chọn $2$ ô trống để xếp $2$ chữ số $1.$
Có $C_5^3=10$ cách chọn $3$ ô trống để xếp $3$ chữ số $2.$
Có $A_7^2=42$ cách chọn $2$ chữ số (trừ số $0$, $1$, $2$) để xếp vào $2$ ô trống còn lại trong $n.$
Suy ra trường hợp này có: $21.10.42=8820$ số.
Vậy tất cả có: $2520+8820=11340$ số thỏa mãn.
b) Gọi số tự nhiên cần tìm có các chữ số tương ứng với các ô trống, dạng:
$n=$ ▯▯▯▯▯▯▯.
Có $C_6^2=15$ cách chọn $2$ ô trống để xếp $2$ chữ số $0$ (trừ ô đầu tiên).
Có $C_5^3=10$ cách chọn $3$ ô trống để xếp $3$ chữ số $2.$
Có $A_8^2=56$ cách chọn $2$ chữ số (trừ chữ số $0$ và $2$) để xếp $2$ ô trống còn lại.
Vậy có $15.10.56=8400$ số thỏa mãn.
Bài 15: Từ các chữ số $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$ có thể lập được bao nhiêu số có $6$ chữ số khác nhau sao cho trong đó phải có mặt chữ số $0$ và chữ số $1$?
Lời giải:
Gọi số tự nhiên có các chữ số tương ứng với các ô trống, dạng: ▯▯▯▯▯▯.
Có $5$ cách xếp chữ số $0$ (trừ ô đầu tiên).
Có $5$ cách xếp chữ số $1.$
Có $A_8^4=1680$ cách chọn $4$ chữ số (khác $0$ và $1$) để xếp vào $4$ ô trống còn lại.
Vậy có $5.5.1680=42000$ số tự nhiên thỏa mãn.
Bài 16: Từ các số $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8.$ Tìm tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau sao cho:
a) Không tận cùng bằng $6.$
b) Chia hết cho $2.$
Lời giải:
a) Gọi $n=\overline{abcd}$ là số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau.
Có $8$ cách chọn $a.$
Các chữ số còn lại trong $n$ có $A_8^3=336$ cách chọn.
Suy ra có: $8.336=2688$ số.
Trong các số tự nhiên trên ta xét các số tận cùng bằng $6$, nghĩa là số $n$ có dạng $n=\overline{abc6}$, khi đó:
Có $7$ cách chọn $a$, trừ $0$ và $6.$
Các chữ số $b$, $c$ có $A_7^2=42$ cách chọn.
Suy ra có: $7.42=294$ số tự nhiên có $4$ chữ số khác nhau và tận cùng bằng $6.$
Vậy có $2688–294=2394$ số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau và không tận cùng bằng $6.$
b) Gọi $n=\overline{abcd}$ là số tự nhiên cần tìm.
Vì $n$ chia hết cho $2$ nên $n$ tận cùng bằng số chẵn.
+ Nếu $d=0$, khi đó: $a$, $b$, $c$ có $A_8^3=336$ cách chọn.
Suy ra trường hợp này có $336$ số.
+ Nếu $d\ne 0$, khi đó:
Có $4$ cách chọn $d.$
Có $7$ cách chọn $a.$
Có $A_7^2$ cách chọn $b$, $c.$
Suy ra trường hợp này có: $4.7.A_7^2=1176$ số.
Vậy tất cả có: $336+1176=1512$ số tự nhiên có $4$ chữ số khác nhau và chia hết cho $2.$
Bài 17: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm $7$ chữ số, chỉ tạo bởi các chữ số $1$, $2$, $3$ với điều kiện chữ số $2$ xuất hiện đúng $2$ lần trong số tự nhiên đó.
Lời giải:
Gọi số tự nhiên gồm $7$ chữ số và mỗi chữ số tương ứng với một ô trống:
$n=$ ▯▯▯▯▯▯▯.
Đầu tiên ta chọn $2$ ô trống để xếp $2$ chữ số $2$ thì có $C_7^2=21$ cách chọn.
Còn $5$ ô trống còn lại, mỗi ô trống có $2$ cách xếp $1$ hoặc $3$, suy ra có $2^5=32$ cách xếp.
Vậy có $21.32=672$ số tự nhiên thỏa mãn.
Bài 18: Với tập $E=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ có thể lập được bao nhiêu số gồm $5$ chữ số phân biệt và:
a. Trong đó có chữ số $7.$
b. Trong đó có chữ số $7$ và chữ số hàng ngàn luôn là chữ số $1.$
Lời giải:
a) Gọi số cần tìm là $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5}$ $\left(a_1\ne 0\right).$
Giả sử $a_1=7$ khi đó số cần tìm có dạng: $\overline{7a_2{a}_3{a}_4{a}_5}.$
Vì $a_2$, $a_3$, $a_4$, $a_5$ là $1$ bộ phận phân biệt thứ tự được chọn từ $E\mathrm{\setminus }\{7\}$ nên có $A_6^4=360$ số.
Do số $7$ ở vị trí bất kỳ nên ta có thể đổi chỗ của các vị trí $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$, $a_5.$
Vậy có $5A_6^4=1800$ cách chọn hay có $1800$ số thoả mãn yêu cầu bài toán.
b) Gọi số cần tìm là $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5}$ $\left(a_1\ne 0\right).$
Do chữ số hàng nghìn bằng $1$ nên $a_2=1.$
Chọn $1$ vị trí trong $4$ vị trí còn lại là chữ số $7$ nên có $4$ cách chọn.
Ba vị trí còn lại là bộ phận phân biệt thứ tự được chọn từ $E\mathrm{\setminus }\{1,7\}$ nên có $A_5^3$ cách chọn.
Vậy: số các số gồm $5$ chữ số phân biệt hình thành từ tập $E$ trong đó có chữ số $7$ và chữ số hàng ngàn là chữ số $1$ là: $1.4.A_5^3=240$ số.
Bài 19: Với $5$ chữ số $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ có thể lập được bao nhiêu số gồm $5$ chữ số đôi một khác nhau:
a. Không bắt đầu từ chữ số $1.$
b. Không bắt đầu từ $123.$
Lời giải:
Đặt $E=\{1,2,3,4,5\}.$
a.
* Gọi số tự nhiên gồm $5$ chữ số đôi một khác nhau là: $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5}$ $\left(a_1\ne 0\right).$
$a_1$ có $5$ cách chọn.
$a_2$ có $4$ cách chọn.
$a_3$ có $3$ cách chọn.
$a_4$ có $2$ cách chọn.
$a_5$ có $1$ cách chọn.
Vậy có: $5.4.3.2.1=120$ số.
* Gọi số tự nhiên gồm $5$ chữ số đôi một khác nhau, bắt đầu bằng chữ số $1$ là: $\overline{1abcd}$ thì:
$a$ có $4$ cách chọn (vì $a\in E\mathrm{\setminus }\{1\}$).
$b$ có $3$ cách chọn (vì $b\in E\mathrm{\setminus }\{1,a\}$).
$c$ có $2$ cách chọn (vì $c\in E\mathrm{\setminus }\{1,a,b\}$).
$d$ có $1$ cách chọn (vì $d\in E\mathrm{\setminus }\{1,a,b,c\}$).
Suy ra có: $4.3.2.1$ số bắt đầu từ chữ số $1.$
Vậy: số các số tự nhiên gồm $5$ chữ số khác nhau, không bắt đầu bằng chữ số $1$ là: $120–24=96$ số.
b. Gọi số tự nhiên gồm $5$ chữ số bắt đầu bằng chữ số $123$ là: $\overline{123xy}$ gồm $5$ chữ số khác nhau.
$x$ có $2$ cách chọn (vì $x\in E\mathrm{\setminus }\{1,2,3\}$).
$y$ có $1$ cách chọn (vì $y\in E\mathrm{\setminus }\{1,2,3,x\}$).
Suy ra có $2.1=2$ số.
Vậy các số tự nhiên gồm $5$ chữ số khác nhau, không bắt đầu bằng chữ số $123$ gồm có $120–2=118$ số.
Bài 20: Tính số các số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau được thành lập từ $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ sao cho trong mỗi số đó đều có mặt ít nhất chữ số $1$ hoặc $2.$
Lời giải:
+ Loại 1: chữ số $a_1$ có thể là $0.$
Sắp $4$ trong $6$ chữ số vào $4$ vị trí có $A_6^4=360$ cách.
Sắp $4$ chữ số $0$, $3$, $4$, $5$ vào $4$ vị trí có $4!=24$ cách.
Suy ra có $360–24=336$ số.
+ Loại 2: chữ số $a_1$ là $0$ (vị trí $a_1$ đã có chữ số $0$).
Sắp $3$ trong $5$ chữ số vào $3$ vị trí có $A_5^3=60$ cách. Sắp $3$ chữ số $3$, $4$, $5$ vào $3$ vị trí có $3!=6$ cách. Suy ra có $60–6=54$ số.
Vậy có $336–54=282$ số.
Cách khác:
+ Loại 1: Số tự nhiên có $4$ chữ số tùy ý.
Bước 1: Chọn $1$ trong $5$ chữ số khác $0$ sắp vào $a_1$ có $5$ cách.
Bước 2: Chọn $3$ trong $5$ chữ số khác $a_1$ sắp vào $3$ vị trí còn lại có $A_5^3=60$ cách.
Suy ra có $5.60=300$ số.
+ Loại 2: Số tự nhiên có $4$ chữ số gồm $0$, $3$, $4$, $5$ (không có $1$ và $2$).
Bước 1: Chọn $1$ trong $3$ chữ số khác $0$ sắp vào $a_1$ có $3$ cách.
Bước 2: Sắp $3$ chữ số còn lại vào $3$ vị trí $3!=6$ cách.
Suy ra có $3.6=18$ số.
Vậy có $300–18=282$ số.
Bài 21: Tính số các số tự nhiên gồm $7$ chữ số được chọn từ $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ sao cho chữ số $2$ có mặt đúng $2$ lần, chữ số $3$ có mặt đúng $3$ lần và các chữ số còn lại có mặt không quá $1$ lần.
Lời giải:
Xem số có $7$ chữ số như $7$ vị trí thẳng hàng.
+ Bước 1: chọn $2$ trong $7$ vị trí để sắp $2$ chữ số $2$ (không hoán vị) có $C_7^2=21$ cách.
+ Bước 2: chọn $3$ trong $5$ vị trí còn lại để sắp $3$ chữ số $3$ (không khoán vị) có $C_5^3=10$ cách.
+ Bước 3: chọn $2$ trong $3$ chữ số $1$, $4$, $5$ để sắp vào $2$ vị trí còn lại (có hoán vị) có $A_3^2=6$ cách.
Vậy có $21.10.6=1260$ số.
Bài 22: Tính số các số tự nhiên gồm $5$ chữ số phân biệt và một trong $3$ chữ số đầu tiên là $1$ được thành lập từ các chữ số $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7.$
Lời giải:
+ Loại 1: chữ số $a_1$ có thể là $0.$
Bước 1: chọn $1$ trong $3$ vị trí đầu để sắp chữ số $1$ có $3$ cách.
Bước 2: chọn $4$ trong $7$ chữ số (trừ chữ số $1$) để sắp vào các vị trí còn lại có $A_7^4=840$ cách. Suy ra có $3.840=2520$ số.
+ Loại 2: chữ số $a_1$ là $0.$
Bước 1: chọn $1$ trong $2$ vị trí thứ $2$ và $3$ để sắp chữ số $1$ có $2$ cách.
Bước 2: chọn $3$ trong $6$ chữ số (trừ $0$ và $1$) để sắp vào các vị trí còn lại có A_{6}^{3}=120 cách. Suy ra có $2.120=240$ số.
Vậy có $2520–240=2280$ số.
Bài 23: Tính số tập hợp con của $X=\{0;1;2;3;4;5;6\}$ chứa $1$ mà không chứa $0.$
Lời giải:
+ Số tập hợp con không chứa phần tử nào của $X\mathrm{\setminus }\{0;1\}$ là $C_5^0.$
+ Số tập hợp con chứa $1$ phần tử của $X\mathrm{\setminus }\{0;1\}$ là $C_5^1.$
+ Số tập hợp con chứa $2$ phần tử của $X\mathrm{\setminus }\{0;1\}$ là $C_5^2.$
+ Số tập hợp con chứa $3$ phần tử của $X\mathrm{\setminus }\{0;1\}$ là $C_5^3.$
+ Số tập hợp con chứa $4$ phần tử của $X\mathrm{\setminus }\{0;1\}$ là $C_5^4.$
+ Số tập hợp con chứa $5$ phần tử của $X\mathrm{\setminus }\{0;1\}$ là $C_5^5.$
Suy ra số tập hợp con của $X\mathrm{\setminus }\{0;1\}$ là $C_5^0+C_5^1+C_5^2+C_5^3+C_5^4+C_5^5=32.$
Ta hợp các tập hợp con này với $\{1\}$ thì được $32$ tập hợp thỏa bài toán.
Bài 24: Từ các chữ số $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$ lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm $5$ chữ số sao cho:
a) Các chữ số đều khác nhau.
b) Chữ số đầu tiên là $3.$
c) Các chữ số khác nhau và không tận cùng bằng chữ số $4.$
Lời giải:
a) Mỗi số có $5$ chữ số khác nhau được thành lập tương ứng với một chỉnh hợp chập $5$ của $7$ phần tử $\Rightarrow$ Có $A_7^5=2520$ số.
b) Gọi số cần thiết lập là $\overline{abcde}.$
Chữ số đầu tiên là $3$ $\Rightarrow a$ có $1$ cách chọn.
$b$, $c$, $d$, $e$ đều có $7$ cách chọn.
Suy ra có $1.7.7.7.7=2401$ số.
c) Gọi số cần thiết lập là $\overline{abcde}.$
Chữ số cuối cùng khác $4$ $\Rightarrow$ $e$ có $6$ cách chọn (trừ số 4).
$a$ có $6$ cách chọn.
$b$ có $5$ cách chọn.
$c$ có $4$ cách chọn.
$d$ có $3$ cách chọn.
Suy ra có $6.6.5.4.3=2160$ số.
Bài 25: Từ các chữ số $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$ lập được bao nhiêu số có $4$ chữ số sao cho số tạo thành gồm các chữ số khác nhau và nhất thiết có chữ số $5.$
Lời giải:
Cách 1: Thành lập số có $3$ chữ số khác nhau và không có mặt chữ số $5.$
Suy ra có $A_6^3=120$ số.
Với mỗi số vừa thành lập có $4$ vị trí để xen số $5$ tạo thành số có $4$ chữ số khác nhau và có mặt chữ số $5.$
Suy ra có $120.4=480$ số.
Cách 2:
Số cần tìm có $1$ trong bốn dạng $\overline{5bcd}$, $\overline{a5bc}$, $\overline{ab5d}$, $\overline{abc5}.$
Mỗi dạng có $120$, suy ra có $480$ số.
Bài 26: Với $5$ chữ số $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ có thể lập được bao nhiêu số gồm $8$ chữ số, trong đó chữ số $1$ có mặt đúng $3$ lần, chữ số $2$ có mặt đúng $2$ lần và mỗi chữ số còn lại có mặt đúng một lần?
Lời giải:
Gọi số tự nhiên cần tìm có các chữ số tương ứng các ô trống: ▯▯▯▯▯▯▯▯.
Có $C_8^3$ cách chọn $3$ ô trống để xếp $3$ chữ số $1.$
Có $C_5^2$ cách chọn $2$ ô trống để xếp $2$ chữ số $2.$
Có $3!$ cách xếp các chữ số $3$, $4$, $5$ vào $3$ ô trống còn lại.
Vậy có $C_8^3.C_5^2.3!=3360$ số.
Bài 27: Với các chữ số $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ có thể lập được bao nhiêu số gồm $8$ chữ số, trong đó chữ số $1$ có mặt $3$ lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng $1$ lần.
Lời giải:
Gọi số tự nhiên cần tìm có các chữ số tương ứng các ô trống: ▯▯▯▯▯▯▯▯.
Có $7$ cách xếp chữ số $0$, trừ ô đầu tiên.
Có $C_7^3$ cách chọn $3$ ô trống để xếp $3$ chữ số $1.$
Có $4!$ cách xếp các chữ số $2$, $3$, $4$, $5$ vào $4$ ô trống còn lại.
Vậy có $7.C_7^3.4!=5880$ số.
Bài 28: Với $6$ chữ số $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ có thể lập được bao nhiêu số có $5$ chữ số khác nhau và thoả mãn:
a/ Số chẵn.
b/ Bắt đầu bằng số $24.$
c/ Bắt đầu bằng số $345.$
d/ Bắt đầu bằng số $1$? Từ đó suy ra các số không bắt đầu bằng số $1$?
Lời giải:
a) Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng $n=\overline{abcde}$, xét các trường hợp sau:
+ Nếu $e=0$, khi đó có $A_5^4=120$ cách chọn $4$ chữ số xếp vào $a$, $b$, $c$, $d.$
Suy ra trường hợp này có $120$ số.
+ Nếu $e\ne 0$, khi đó:
Có $2$ cách chọn $e.$
Có $4$ cách chọn $a.$
Có $A_4^3=24$ cách chọn $3$ chữ số xếp vào $b$, $c$, $d.$
Suy ra trường hợp này có $2.4.24=192$ số.
Vậy tất cả có $120+192=312$ số.
b) Gọi số cần tìm có dạng $n=\overline{24abc}.$
Có $A_4^3=24$ cách chọn $3$ chữ số xếp vào $a$, $b$, $c.$
Vậy có $24$ số.
c) Gọi số cần tìm có dạng $n=\overline{345ab}.$
Có $A_3^2=6$ cách chọn $2$ chữ số xếp vào $a$, $b$
Vậy có $6$ số.
d) Gọi số cần tìm có dạng $n=\overline{1abcd}.$
Có $A_5^4=120$ cách chọn $4$ chữ số xếp vào $a$, $b$, $c$, $d.$
Vậy có $120$ số có $5$ chữ số khác nhau và bắt đầu bằng $1.$
Gọi $\overline{abcde}$ là số tự nhiên có $5$ chữ số khác nhau.
Có $5$ cách chọn $a.$
Có $A_5^4=120$ cách chọn $4$ chữ số xếp vào $b$, $c$, $d$, $e.$
Suy ra có $5.120=720$ số.
Vậy có $720–120=600$ số tự nhiên có $6$ chữ số khác nhau và không bắt đầu bằng $1.$
Bài 29: Cho tập $A=\{1;2;3;4;5;6\}$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên:
a) Có $4$ chữ số.
b) Có $4$ chữ số khác nhau đôi một.
c) Có $4$ chữ số khác nhau và bắt đầu bằng chữ số $5.$
d) Có $4$ chữ số khác nhau và chia hết cho $5.$
Lời giải:
a) Có $6^4=1296.$
b) Có $A_6^4=360$ số.
c) Có $A_5^3=60$ số.
d) Có $A_5^3=60$ số.
Bài 30: Từ các chữ số $0$; $1$; $2$; $3$; $4$; $5$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số khác nhau sao cho:
a) Chữ số hàng trăm là $3.$
b) Luôn có mặt chữ số $1$ và chữ số hàng nghìn là $2.$
Lời giải:
a) Gọi chữ số tự nhiên cần tìm có dạng $n=\overline{abcd}.$
Theo đề ta có $b=3$, do đó:
Có $4$ cách chọn $a.$
Có $A_4^2=12$ cách chọn $2$ chữ số xếp vào $c$, $d.$
Vậy có $4.12=48$ số.
b) Gọi chữ số tự nhiên cần tìm có dạng $n=\overline{abcd}.$
Theo đề ta có $a=4$, do đó:
Có $3$ cách chọn vị trí để xếp chữ số $1.$
Có $A_4^2=12$ cách chọn $2$ chữ số xếp vào $2$ vị trí còn lại trong $n.$
Vậy có $3.12=36$ số.
Bài 31: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số, sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng $3$ lần.
Lời giải:
Bước 1: Tính các số tự nhiên có $4$ chữ số (các chữ số có thể giống nhau và không cần chú ý đến điều kiện lặp lại $3$ lần).
Gọi số tự nhiên đó là: $n=\overline{abcd}$, khi đó:
Có $9$ cách chọn $a.$
Có $10$ cách chọn $b.$
Có $10$ cách chọn $c.$
Có $10$ cách chọn $d.$
Vậy có $9.10.10.10=9000$ số.
Bước 2: Tính các số tự nhiên có $4$ chữ số và có chữ số lặp lại đúng $3$ lần.
+ Trường hợp 1: $a=b=c\ne d.$
Có $9$ cách chọn $a$, trừ số $0.$
Có $1$ cách chọn $b$, $c.$
Có $9$ cách chọn $d.$
Vậy ta có: $9.1.9=81$ số.
+ Trường hợp 2: $a=b=d\ne c.$
Có $9$ cách chọn $a$, trừ số $0.$
Có $1$ cách chọn $b$, $d.$
Có $9$ cách chọn $c.$
Vậy ta có: $9.1.9=81$ số.
+ Trường hợp 3: $a=c=d\ne b.$
Có $9$ cách chọn $a$, trừ số $0.$
Có $1$ cách chọn $c$, $d.$
Có $9$ cách chọn $b.$
Vậy ta có: $9.1.9=81$ số.
+ Trường hợp 4: $b=c=d\ne a.$
Có $9$ cách chọn $a$, trừ số $0.$
Có $9$ cách chọn $b.$
Có $1$ cách chọn $c$, $d.$
Vậy ta có: $9.1.9=81$ số.
Suy ra có tất cả $81+81+81+81=324$ số tự nhiên có $4$ chữ số và có chữ số lặp lại đúng $3$ lần.
Vậy có: $9000–324=8676$ số tự nhiên có $4$ chữ số mà không có chữ số nào lặp lại đúng $3$ lần.
Bài 32: Từ tập hợp số $\{1;2;3;4;5\}.$ Có bao nhiêu cách chọn một số tự nhiên:
a) Có hai chữ số đôi một khác nhau?
b) $3$ chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt chữ số $5$?
c) Có $4$ chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt chữ số $2$?
Lời giải:
a) Có $A_5^2=20$ số.
b) Gọi $n=\overline{abc}$ là số tự nhiên cần tìm.
Có $3$ cách xếp chữ số $5$ trong $n.$
Có $A_4^2=12$ cách chọn $2$ chữ số xếp vào các vị trí còn lại trong $n.$
Vậy có $3.12=36$ số tự nhiên có $3$ chữ số khác nhau và luôn có mặt chữ số $5.$
c) Gọi $n=\overline{abcd}$ là số tự nhiên cần tìm.
Có $4$ cách chọn vị trí để xếp chữ số $2$ trong $n.$
Có $A_4^3=24$ cách chọn $3$ chữ số xếp vào các vị trí còn lại trong $n.$
Vậy có $4.24=96$ số.
Bài 33: Từ các số $0$, $2$, $4$, $5$, $6$, $8$, $9.$ Ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên:
a) Có $3$ chữ số và đôi một khác nhau.
b) Có $4$ chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt số $5.$
Lời giải:
a) Gọi số tự nhiên cần lập có dạng $n=\overline{abc}.$
Có $6$ cách chọn $a.$
Có $6$ cách chọn $b.$
Có $5$ cách chọn $c.$
Vậy có $6.6.5=180$ số.
b) Gọi $n=\overline{abcd}$ là số tự nhiên có $4$ chữ số khác nhau, khi đó:
Có $6$ cách chọn $a.$
Có $A_6^3=120$ cách chọn $3$ chữ số xếp vào $b$, $c$, $d.$
Suy ra có $6.120=720$ số.
Xét các số tự nhiên dạng $n=\overline{abcd}$ có $4$ chữ số khác nhau mà không có mặt chữ số $5.$
Có $5$ cách chọn $a.$
Có $A_5^3=60$ cách chọn $3$ chữ số xếp vào $b$, $c$, $d.$
Suy ra có $5.60=300$ số.
Vậy có $720–300=420$ số tự nhiên có $4$ chữ số khác nhau và luôn có mặt chữ số $5.$
Bài 34: Từ các số $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ có bao nhiêu cách lập một số tự nhiên:
a) Số có $4$ chữ số đôi một khác nhau.
b) Số có $5$ chữ số.
c) Số có $3$ chữ số chia hết cho $5.$
d) Số có $4$ chữ số trong đó luôn có chữ số $1.$
Lời giải:
a) Gọi số tự nhiên cần lập có dạng: $n=\overline{abcd}.$
Có $6$ cách chọn $a.$
Có $A_6^3=120$ cách chọn $4$ chữ số xếp vào $a$, $b$, $c.$
Vậy có $6.120=720$ số.
b) Gọi số tự nhiên cần lập có dạng: $n=\overline{abcde}.$
Có $6$ cách chọn $a.$
Có $7^4$ cách chọn $4$ chữ số còn lại xếp vào $b$, $c$, $d$, $e.$
Vậy có 6.7^{4}=14406 số.
c) Gọi số tự nhiên cần lập có dạng: $n=\overline{abcd}.$
Có $2$ cách chọn $d.$
Có $7$ cách chọn $a.$
Có $7$ cách chọn $b.$
Có $7$ cách chọn $c.$
Vậy có $2.7.7.7=686$ số.
d) Gọi số tự nhiên cần lập có dạng: $n=\overline{abcd}.$
+ Nếu $a=1$, khi đó:
Có $7$ cách chọn $b.$
Có $7$ cách chọn $c.$
Có $7$ cách chọn $d.$
Suy ra có $7.7.7=343$ số.
+ Nếu $a\ne 1$, khi đó:
Có $5$ cách chọn $a.$
Chữ số $1$ có $3$ cách chọn vị trí trong $n$
Có $7.7=49$ cách chọn $2$ chữ số còn lại.
Suy ra có $5.3.49=735$ số.
Vậy tất cả có $343+735=1078$ số.
Bài 35: Từ các số: $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ có bao nhiêu cách lập một số tự nhiên:
a) Có $2$ chữ số khác nhau và luôn có mặt chữ số $2.$
b) Có $3$ chữ số khác nhau và chia hết cho $3.$
Lời giải:
a) Gọi số tự nhiên có dạng $n=\overline{ab}.$
+ Nếu $a=2$, thì có $6$ cách chọn $b$, tức là có $6$ số $n.$
+ Nếu $b=2$, thì có $5$ cách chọn $a$, tức là có $5$ số $n.$
Vậy có $6+5=11$ số.
b) Gọi số tự nhiên có dạng $n=\overline{abc}.$
Do $n$ chia hết cho $3$ nên $a+b+c$ phải chia hết cho $3.$
Do đó $a$, $b$, $c$ thuộc một trong các bộ số sau: $\{0;1;2\}$, $\{0;1;5\}$, $\{0;2;4\}$, $\{0;3;6\}$, $\{0:4;5\}$, $\{1;2;3\}$, $\{1;2;6\}$, $\{1;3;5\}$, $\{1;5;6\}$, $\{2;3;4\}$, $\{3;4;5\}$, $\{4;5;6\}.$
+ Xét $5$ tập hợp có chứa chữ số $0$, mỗi tập hợp có thể lập được $2.2.1=4$ số tự nhiên có $3$ chữ số khác nhau.
Suy ra có $5.4=20$ số.
+ Xét $7$ tập hợp không chứa chữ số $0$, mỗi tập hợp có thể lập được $3!=6$ số tự nhiên có $3$ chữ số khác nhau.
Suy ra có $7.6=42$ số.
Vậy tất cả có $20+42=62$ số tự nhiên có $3$ chữ số khác nhau và chia hết cho $3.$
Bài 36: Có bao nhiêu số chẵn có $6$ chữ số đôi một khác nhau với số đầu tiên là chữ số lẻ?
Lời giải:
Gọi số tự nhiên cần lập có dạng: $n=\overline{abcdef}.$
Có $5$ cách chọn $a.$
Có $5$ cách chọn $f.$
Có $A_8^4=1680$ cách chọn các chữ số xếp cho $b$, $c$, $d$, $e.$
Vậy theo quy tắc nhân có: $5.5.1680=42000$ số thỏa mãn yêu cầu bài toán.