1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
+ Gọi số cần lập theo dạng hoặc ▯▯▯… sao cho có số đứng cạnh số
+ Coi chữ số , đứng cạnh nhau là một chữ số kép nào đó.
+ Tính số cách sắp xếp và các chữ số còn lại trong
+ Tính số cách xếp , trong
+ Dùng quy tắc nhân suy ra số các số tự nhiên cần lập.
2. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Người ta xếp ngẫu nhiên lá phiếu có ghi số thứ tự từ đến cạnh nhau.
1. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau?
2. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẻ riêng biệt (chẳng hạn , , , , )?
Lời giải:
1. Xếp các phiếu số , , , có cách.
Sau đó xếp phiếu số vào cạnh phiếu số có cách.
Vậy có cách xếp theo yêu cầu đề bài.
2. Khi nhóm chẵn ở bên trái, nhóm lẻ ở bên phải. Số cách xếp cho số chẵn là cách. Số cách xếp cho số lẻ là: cách.
Vậy có cách.
Tương tự cũng có cách xếp mà nhóm chẵn ở bên phải, nhóm lẻ ở bên trái.
Vậy có cách.
Bài 2: Xét những số gồm chữ số, trong đó có năm chữ số và bốn chữ số còn là , , , Hỏi có bao nhiêu số như thế, nếu:
1. Năm chữ số được xếp kề nhau.
2. Các chữ số được xếp tuỳ ý.
Lời giải:
1. Gọi là số Vậy ta cần sắp các số , , , ,
Do đó số có chữ số trong đó có chữ số đứng liền nhau là: số.
2. Lập một số có chữ số thoả mãn yêu cầu; thực chất là việc xếp các số , , , vào vị trí tuỳ ý trong vị trí ( vị trí còn lại đương nhiên dành cho chữ số lặp lần).
Vậy có tất cả số.
Bài 3: Tìm tất cả các số tự nhiên có đúng chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.
Lời giải:
Theo yêu cầu của bài toán và số không đứng trước bất kì số nào nên các số có chữ số chỉ có thể tạo thành từ các số Ứng với mỗi bộ chữ số phân biệt bất kì trong chỉ có cách sắp xếp duy nhất thoả mãn đứng sau lớn hơn chữ số liền trước.
Vậy số các số cần tìm là: số.
Bài 4: Từ các chữ số , , , , , có thể thiết lập được bao nhiêu số có chữ số khác nhau mà hai chữ số và không đứng cạnh nhau?
Lời giải:
Số các số tự nhiên gồm chữ số khác nhau là: số.
Trong các số tự nhiên đó ta xét các số tự nhiên có chữ số khác nhau mà và đứng cạnh nhau.
Chữ số và đứng cạnh nhau có cách xếp là hoặc
Mỗi cách xếp đó ta coi số hoặc là một số, khi đó có cách xếp các số , , , ,
Suy ra có số có chữ số khác nhau mà và đứng cạnh nhau.
Vậy có số có chữ số khác nhau mà và không đứng cạnh nhau.
Bài 5: Tính số các số tự nhiên đôi một khác nhau có chữ số tạo thành từ các chữ số , , , , , sao cho chữ số và đứng cạnh nhau.
Lời giải:
Xét số có chữ số gồm , , , và chữ số “kép” là
Loại 1: chữ số hàng trăm ngàn có thể là
+ Bước 1: sắp chữ số vào vị trí có cách.
+ Bước 2: với mỗi cách sắp chữ số kép có hoán vị chữ số và
Suy ra có số.
Loại 2: chữ số hàng trăm ngàn là
+ Bước 1: sắp chữ số vào vị trí còn lại có cách.
+ Bước 2: với mỗi cách sắp chữ số kép có hoán vị chữ số và
Suy ra có số.
Vậy có số.
Bài 6: Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số với:
a) Chữ số đầu và chữ số cuối giống nhau?
b) Chữ số đầu và cuối khác nhau?
c) Hai chữ số đầu giống nhau và hai chữ số cuối giống nhau?
Lời giải:
a) Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng
Có cách chọn
Có cách chọn
Có cách chọn
Có cách chọn
Có cách chọn
Vậy có số.
b) Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng
Có cách chọn
Có cách chọn
Có cách chọn
Có cách chọn
Có cách chọn
Có cách chọn (do khác ).
Vậy có số.
c) Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng
Có cách chọn
Có cách chọn
Có cách chọn
Có cách chọn
Vậy có số.
Bài 7: Xét số tự nhiên gồm chữ số. Trong đó có bốn chữ số và bốn chữ số còn lại là , , , Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên như thế nếu:
a) Các chữ số được xếp kề nhau.
b) Các chữ số được xếp tùy ý?
Lời giải:
a) Gọi số tự nhiên cần tìm có các chữ số tương ứng các ô trống ▯▯▯▯▯▯▯▯.
Giả sử bốn chữ số khi xếp kề nhau là một khối thống nhất
Do đó số các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là số cách xếp , , , , để được một số tự nhiên có chữ số.
Vậy có số.
b) Do các chữ số được xếp tùy ý nên mỗi số tự nhiên tạo thành là một cách chọn ô trống để xếp chữ số , , , và ô trống còn lại chỉ có cách xếp chữ số
Vậy có số.
Bài 8: Xét những số gồm chữ số, trong đó có chữ số và chữ số còn lại là , , , Hỏi có bao nhiêu số như thế nếu:
a) chữ số được xếp kề nhau?
b) Các chữ số được xếp tùy ý?
Lời giải:
a) chữ số được xếp kề nhau có thể coi là một khối thống nhất
Suy ra số các số tự nhiên trên là số cách xếp và , , ,
Vậy có số.
b) Số các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là số cách chọn vị trí để xếp các chữ số , , , , còn các vị trí còn lại có cách xếp chữ số
Vậy có số.
Bài 9: Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số sao cho:
a) Các chữ số đứng sau luôn lớn hơn chữ số đứng liền trước?
b) Các chữ số sau luôn nhỏ hơn chữ số đứng liền trước?
Lời giải:
Rõ ràng số tự nhiên cần tìm có chữ số khác nhau.
a) Vì các chữ số đứng liền sau luôn lớn hơn chữ số đứng liền trước nên trong số tự nhiên đó không chứa chữ số
Mỗi cách chọn ra chữ số từ các số , , , , , , , , chỉ có cách sắp xếp để các chữ số đứng sau luôn lớn hơn chữ số đứng liền trước.
Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn là: số.
b) Mỗi cách chọn ra chữ số từ các số , , , , , , , , , chỉ có cách sắp xếp để các chữ số sau luôn nhỏ hơn chữ số đứng liền trước.
Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn là: số.