A. PHƯƠNG PHÁP XÉT TÍNH CHẴN – LẺ CỦA HÀM SỐ
1. Khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có tập xác định \(D.\)
• Hàm số \(f\) được gọi là hàm số chẵn nếu với \(\forall x\in D\) thì \(-x\in D\) và \(f\left( x \right)=f\left( x \right).\)
• Hàm số \(f\) được gọi là hàm số lẻ nếu với \(\forall x\in D\) thì \(-x\in D\) và \(f\left( x \right)=-f\left( x \right).\)
Chú ý: Một hàm số có thể không chẵn cũng không lẻ.
2. Đồ thị của hàm số chẵn, hàm số lẻ
• Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
• Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.
3. Phương pháp xét tính chẵn, lẻ của hàm số
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên \(D.\)
• \(f\) là hàm số chẵn \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& \forall x\in D\Rightarrow -x\in D \\
& f(-x)=f(x) \\
\end{align} \right.\)
• \(f\) là hàm số lẻ \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& \forall x\in D\Rightarrow -x\in D \\
& f(-x)=-f(x) \\
\end{align} \right.\)
Các bước xét tính chẵn, lẻ của hàm số:
• Bước 1. Tìm tập xác định \(D\) của hàm số.
• Bước 2. Kiểm tra:
+ Nếu \(\forall x\in D\) \(\Rightarrow -x\in D\) thì chuyển qua bước 3.
+ Nếu tồn tại \({{x}_{0}}\in D\) mà \(-{{x}_{0}}\notin D\) thì kết luận hàm không chẵn cũng không lẻ.
• Bước 3. Xác định \(f\left( -x \right)\) và so sánh với \(f\left( x \right):\)
+ Nếu \(f\left( -x \right)\) = \(f\left( x \right)\) thì kết luận hàm số là chẵn.
+ Nếu \(f\left( -x \right)\) = \(-f\left( x \right)\) thì kết luận hàm số là lẻ.
B. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) \(f(x)=3{{x}^{3}}+2\sqrt[3]{x}.\)
b) \(f(x)={{x}^{4}}+\sqrt{{{x}^{2}}+1}.\)
c) \(f\left( x \right)=\sqrt{x+5}+\sqrt{5-x}.\)
d) \(f(x)=\sqrt{2+x}+\frac{1}{\sqrt{2-x}}.\)
a) Tập xác định của hàm số: \(\text{D}=\mathbb{R}.\)
Với mọi \(x\in \mathbb{R}\) ta có \(-x\in \mathbb{R}\) và \(f(-x)\) \(=3{{\left( -x \right)}^{3}}+2\sqrt[3]{-x}\) \(=-\left( 3{{x}^{3}}+2\sqrt[3]{x} \right)\) \(=-f(x).\)
Do đó \(f(x)=3{{x}^{3}}+2\sqrt[3]{x}\) là hàm số lẻ.
b) Tập xác định của hàm số: \(\text{D}=\mathbb{R}.\)
Với mọi \(x\in \mathbb{R}\) ta có \(-x\in \mathbb{R}\) và \(f(-x)\) \(={{\left( -x \right)}^{4}}+\sqrt{{{\left( -x \right)}^{2}}+1}\) \(={{x}^{4}}+\sqrt{{{x}^{2}}+1}\) \(=f(x).\)
Do đó \(f(x)={{x}^{4}}+\sqrt{{{x}^{2}}+1}\) là hàm số chẵn.
c) Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{matrix}
x+5\ge 0 \\
5-x\ge 0 \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge -5 \\
x\le 5 \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow -5\le x\le 5.\)
Suy ra tập xác định của hàm số là: \(\text{D}=\left[ -5;5 \right].\)
Với mọi \(x\in \left[ -5;5 \right]\) ta có \(-x\in \left[ -5;5 \right]\) và \(f(-x)\) \(=\sqrt{\left( -x \right)+5}+\sqrt{5-\left( -x \right)}\) \(=\sqrt{x+5}+\sqrt{5-x}\) \(=f(x).\)
Do đó \(f\left( x \right)=\sqrt{x+5}+\sqrt{5-x}\) là hàm số chẵn.
d) Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{matrix}
2+x\ge 0 \\
2-x>0 \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge -2 \\
x<2 \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow -2\le x<2.\)
Suy ra tập xác định của hàm số là: \(\text{D}=\left[ -2;2 \right).\)
Ta có \({{x}_{0}}=-2\in \left[ -2;2 \right)\) nhưng \(-{{x}_{0}}=2\notin \left[ -2;2 \right).\)
Vậy hàm số \(f(x)=\sqrt{2+x}+\frac{1}{\sqrt{2-x}}\) không chẵn và không lẻ.
Ví dụ 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) \(f(x)={{x}^{4}}-4x+2.\)
b) \(f\left( x \right)=\left| \left| x+2 \right|-\left| x-2 \right| \right|.\)
c) \(f(x)=\frac{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x}-2{{x}^{2}}-1.\)
d) \(f(x)=\left\{ \begin{matrix}
-1\:khi\:x<0 \\
0\:khi\:x=0 \\
1\:khi\:x>0 \\
\end{matrix} \right.\)
a) Tập xác định của hàm số: \(D=\mathbb{R}.\)
Ta có \(f\left( -1 \right)=7\), \(f\left( 1 \right)=-1\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
f\left( -1 \right)\ne f\left( 1 \right) \\
f\left( -1 \right)\ne -f\left( 1 \right) \\
\end{matrix} \right.\)
Vậy hàm số không chẵn và không lẻ.
b) Tập xác định của hàm số: \(\text{D}=\mathbb{R}.\)
Với mọi \(x\in \mathbb{R}\) ta có \(-x\in \mathbb{R}\) và \(f(-x)=\left| \left| \left( -x \right)+2 \right|-\left| \left( -x \right)-2 \right| \right|\) \(=\left| \left| x-2 \right|-\left| x+2 \right| \right|.\)
Suy ra \(f\left( -x \right)=f\left( x \right).\)
Do đó \(f\left( x \right)=\left| \left| x+2 \right|-\left| x-2 \right| \right|\) là hàm số chẵn.
c) Ta có \(\sqrt{{{x}^{2}}+1}>\sqrt{{{x}^{2}}}=\left| x \right|\ge x\) \(\Rightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x\ne 0\) với mọi \(x.\)
Suy ra tập xác định của hàm số là: \(D=\mathbb{R}.\)
Mặt khác \(\sqrt{{{x}^{2}}+1}>\sqrt{{{x}^{2}}}=\left| x \right|\ge -x\) \(\Rightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+1}+x\ne 0\), do đó \(f(x)=\frac{{{\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}^{2}}}{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}+x \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)}-2{{x}^{2}}-1\) \(=2x\sqrt{{{x}^{2}}+1}.\)
Với mọi \(x\in \mathbb{R}\) ta có \(-x\in \mathbb{R}\) và \(f(-x)\) \(=2\left( -x \right)\sqrt{{{\left( -x \right)}^{2}}+1}\) \(=-2x\sqrt{{{x}^{2}}+1}\) \(=-f\left( x \right).\)
Do đó \(f(x)=\frac{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x}-2{{x}^{2}}-1\) là hàm số lẻ.
d) Tập xác định của hàm số: \(D=\mathbb{R}.\)
Dễ thấy với mọi \(x\in \mathbb{R}\) ta có \(-x\in \mathbb{R}.\)
Với mọi \(x>0\) ta có \(-x<0\) suy ra \(f\left( -x \right)=-1\), \(f\left( x \right)=1\) \(\Rightarrow f\left( -x \right)=-f\left( x \right).\)
Với mọi \(x<0\) ta có \(-x>0\) suy ra \(f\left( -x \right)=1\), \(f\left( x \right)=-1\) \(\Rightarrow f\left( -x \right)=-f\left( x \right).\)
Và \(f\left( -0 \right)=-f\left( 0 \right)=0.\)
Do đó với mọi \(x\in \mathbb{R}\) ta có \(f\left( -x \right)=-f\left( x \right).\)
Vậy hàm số \(f(x)=\left\{ \begin{matrix}
-1\:khi\:x<0 \\
0\:khi\:x=0 \\
1\:khi\:x>0 \\
\end{matrix} \right.\) là hàm số lẻ.
Ví dụ 3. Tìm \(m\) để hàm số \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2 \right)+\left( 2{{m}^{2}}-2 \right)x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-m}\) là hàm số chẵn.
Điều kiện xác định: \(\sqrt{{{x}^{2}}+1}\ne m.\)
Giả sử hàm số \(f(x)\) là hàm số chẵn suy ra \(f\left( -x \right)=f\left( x \right)\) với mọi \(x\) thỏa mãn điều kiện \(\sqrt{{{x}^{2}}+1}\ne m.\)
Ta có \(f\left( -x \right)=\frac{{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2 \right)-\left( 2{{m}^{2}}-2 \right)x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-m}.\)
Suy ra \(f\left( -x \right)=f\left( x \right)\) \(⇔ \frac{{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2 \right)-\left( 2{{m}^{2}}-2 \right)x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-m}\) \(=\frac{{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2 \right)+\left( 2{{m}^{2}}-2 \right)x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-m}\) \(\Leftrightarrow 2\left( 2{{m}^{2}}-2 \right)x=0\) với mọi \(x\) thỏa mãn điều kiện xác định \(\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-2=0\) \(\Leftrightarrow m=\pm 1.\)
+ Với \(m=1\) ta có hàm số là \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2 \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-1}.\)
Điều kiện xác định: \(\sqrt{{{x}^{2}}+1}\ne 1\Leftrightarrow x\ne 0.\)
Suy ra tập xác định của hàm số là: \(\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}.\)
Dễ thấy với mọi \(x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) ta có \(-x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) và \(f\left( -x \right)=f\left( x \right).\)
Do đó \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2 \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-1}\) là hàm số chẵn.
+ Với \(m=-1\) ta có hàm số là \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2 \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+1}.\)
Tập xác định của hàm số: \(\text{D}=\mathbb{R}.\)
Dễ thấy với mọi \(x\in \mathbb{R}\) ta có \(-x\in \mathbb{R}\) và \(f\left( -x \right)=f\left( x \right).\)
Do đó \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2 \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+1}\) là hàm số chẵn.
Vậy \(m=\pm 1\) là giá trị cần tìm.
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Đề bài
Bài toán 1. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}+5x}{{{x}^{2}}+4}.\)
b) \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+5}{{{x}^{2}}-1}.\)
c) \(f\left( x \right)=\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x}.\)
d) \(f\left( x \right)=\frac{x-5}{x-1}.\)
e) \(f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-2x+1.\)
f) \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{\left| x \right|-1}.\)
g) \(f(x)=\frac{\left| x-1 \right|+\left| x+1 \right|}{\left| 2x-1 \right|+\left| 2x+1 \right|}.\)
h) \(f(x)=\frac{\left| x+2 \right|+\left| x-2 \right|}{\left| x-1 \right|-\left| x+1 \right|}\)
Bài toán 2. Tìm \(m\) để hàm số: \(y=f\left( x \right)\) \(=\frac{x\left( {{x}^{2}}-2 \right)+2m-1}{x-2m+1}\) là hàm số chẵn.
Bài toán 3. Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\), \(y=g\left( x \right)\) có cùng tập xác định \(D\). Chứng minh rằng:
a) Nếu hai hàm số trên lẻ thì hàm số \(y=f\left( x \right)+g\left( x \right)\) là hàm số lẻ.
b) Nếu hai hàm số trên một chẵn, một lẻ thì hàm số \(y=f\left( x \right)g\left( x \right)\) là hàm số lẻ.
Bài toán 4.
a) Tìm \(m\) để đồ thị hàm số sau nhận gốc tọa độ \(O\) làm tâm đối xứng: \(y={{x}^{3}}-({{m}^{2}}-9){{x}^{2}}+(m+3)x+m-3.\)
b) Tìm \(m\) để đồ thị hàm số sau nhận trục tung làm trục đối xứng: \(y={{x}^{4}}-({{m}^{2}}-3m+2){{x}^{3}}+{{m}^{2}}-1.\)
Bài toán 5. Chứng minh rằng đồ thị hàm số sau nhận trục tung làm trục đối xứng: \(y={{x}^{2}}+\sqrt{3-x}+\sqrt{3+x}\).
2. Hướng dẫn giải và đáp số
Bài toán 1.
a) Hàm số lẻ.
b) Hàm số chẵn.
c) Tập xác định của hàm số là \(D=\left[ -1;1 \right]\) nên \(\forall x\in D\) \(\Rightarrow -x\in D.\)
Ta có: \(f\left( -x \right)\) \(=\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}\) \(=-f\left( x \right)\), \(\forall x\in D.\)
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
d) Tập xác định của hàm số là: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)
Ta có \(x=-1\in D\) nhưng \(-x=1\notin D.\)
Do đó hàm số không chẵn và không lẻ.
e) Tập xác định của hàm số là: \(D=\mathbb{R}\).
Ta có \(f\left( 1 \right)=2\), \(f\left( -1 \right)=6.\)
Suy ra \(f\left( -1 \right)\ne f\left( 1 \right)\), \(f\left( -1 \right)\ne -f\left( 1 \right).\)
Do đó hàm số không chẵn và không lẻ.
f) Tập xác định của hàm số là \(D=\left( -\infty -1 \right)\cup \left( -1;1 \right)\cup \left( 1;+\infty \right)\) nên \(\forall x\in D\) \(\Rightarrow -x\in D.\)
Ta có: \(f\left( -x \right)\) \(=\frac{{{\left( -x \right)}^{3}}}{\left| -x \right|-1}\) \(=-\frac{{{x}^{3}}}{\left| x \right|-1}\) \(=-f\left( x \right)\), \(\forall x\in D.\)
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
g) Tập xác định của hàm số là \(D=\mathbb{R}\) nên \( \forall x\in D\) \(\Rightarrow -x\in D.\)
Ta có: \(f(-x)\) \(=\frac{\left| -x-1 \right|+\left| -x+1 \right|}{\left| -2x-1 \right|+\left| -2x+1 \right|}\) \(=f\left( x \right)\), \(\forall x\in D.\)
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
h) Điều kiện xác định: \(\left| x-1 \right|\ne \left| x+1 \right|\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x-1\ne x+1 \\
x-1\ne -\left( x+1 \right) \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow x\ne 0.\)
Suy ra tập xác định của hàm số là \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\), do đó \( \forall x\in D\) \(\Rightarrow -x\in D.\)
Ta có: \(f(-x)=\frac{\left| -x+2 \right|+\left| -x-2 \right|}{\left| -x-1 \right|-\left| -x+1 \right|}\) \(=-f\left( x \right)\), \(\forall x\in D.\)
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
Bài toán 2. Đáp số \(m = \frac{1}{2}.\)
Bài toán 3.
a) Ta có hàm số \(y=f\left( x \right)+g\left( x \right)\) có tập xác định \(\text{D}\).
Do hàm số \(y=f\left( x \right)\), \(y=g\left( x \right)\) lẻ nên \(\forall x\in D\) \(\Rightarrow -x\in D\) và \(f\left( -x \right)=-f\left( x \right)\), \(g\left( -x \right)=-g\left( x \right)\) suy ra \(y\left( -x \right)=f\left( -x \right)+g\left( -x \right)\) \(=-\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]\) \(=-y\left( x \right).\)
Suy ra hàm số \(y=f\left( x \right)+g\left( x \right)\) là hàm số lẻ.
b) Giả sử hàm số \(y=f\left( x \right)\) chẵn, \(y=g\left( x \right)\) lẻ.
Khi đó hàm số \(y=f\left( x \right)g\left( x \right)\) có tập xác định là \(D\) nên \(\forall x\in D\) \(\Rightarrow -x\in D.\)
Ta có \(y\left( -x \right)\) \(=f\left( -x \right)g\left( -x \right)\) \(=f\left( x \right)\left[ -g\left( x \right) \right]\) \(=-f\left( x \right)g\left( x \right)\) \(=-y\left( x \right).\)
Do đó hàm số \(y=f\left( x \right)g\left( x \right)\) lẻ.
Bài toán 4.
a) Tập xác định của hàm số: \(D=\mathbb{R}\), suy ra \(\forall x\in D\) \(\Rightarrow -x\in D.\)
Đồ thị hàm số đã cho nhận gốc tọa độ \(O\) làm tâm đối xứng khi và chỉ khi nó là hàm số lẻ \(\Leftrightarrow f\left( -x \right)=-f\left( x \right)\) \(\Leftrightarrow {{\left( -x \right)}^{3}}-({{m}^{2}}-9){{\left( -x \right)}^{2}}+(m+3)\left( -x \right)+m-3\) \( = – \left[ {{x^3} – ({m^2} – 9){x^2} + (m + 3)x + m – 3} \right]\) \( \Leftrightarrow 2({m^2} – 9){x^2} – 2\left( {m – 3} \right) = 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{m^2} – 9 = 0}\\
{m – 3 = 0}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow m = 3.\)
b) Tập xác định của hàm số: \(D=\mathbb{R}\), suy ra \(\forall x\in D\) \(\Rightarrow -x\in D.\)
Đồ thị hàm số đã cho nhận trục tung làm trục đối xứng khi và chỉ khi nó là hàm số chẵn \(\Leftrightarrow f\left( -x \right)=f\left( x \right)\) \(\Leftrightarrow {{\left( -x \right)}^{4}}-({{m}^{2}}-3m+2){{\left( -x \right)}^{3}}+{{m}^{2}}-1\) \(={{x}^{4}}-({{m}^{2}}-3m+2){{x}^{3}}+{{m}^{2}}-1\) \(\Leftrightarrow 2({{m}^{2}}-3m+2){{x}^{3}}=0\), \(\forall x\in \mathbb{R}\) \(\Leftrightarrow {{m}^{2}}-3m+2=0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=1 \\
m=2 \\
\end{matrix} \right.\)
Bài toán 5. Tập xác định của hàm số: \(D=\mathbb{R}.\)
Với mọi \(x\in D\) \(\Rightarrow -x\in D.\)
Ta có: \(y\left( -x \right)\) \(={{\left( -x \right)}^{2}}+\sqrt{3-\left( -x \right)}+\sqrt{3+\left( -x \right)}\) \(={{x}^{2}}+\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}\) \(=y\left( x \right).\)
Do đó hàm số \(y={{x}^{2}}+\sqrt{3-x}+\sqrt{3+x}\) là hàm số chẵn, nên nhận trục tung làm trục đối xứng.