1. KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG
Tập xác định của hàm số \(y=f\left( x \right)\) là tập hợp tất cả các số thực \(x\) sao cho biểu thức \(f\left( x \right)\) có nghĩa.
Nếu \(P(x)\) là một đa thức thì:
• \(\frac{1}{P(x)}\) có nghĩa \(\Leftrightarrow P(x)\ne 0.\)
• \(\sqrt{P(x)}\) có nghĩa \(\Leftrightarrow P(x)\ge 0.\)
• \(\frac{1}{\sqrt{P(x)}}\) có nghĩa \(\Leftrightarrow P(x)>0.\)
2. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) \(y=\frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}+3x-4}.\)
b) \(y=\frac{x+1}{\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+3x+4 \right)}.\)
c) \(y=\frac{2{{x}^{2}}+x+1}{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-5x-2}.\)
d) \(y=\frac{x}{{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}-2{{x}^{2}}}.\)
a) Điều kiện xác định: \({{x}^{2}}+3x-4\ne 0\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ne 1 \\
x\ne -4 \\
\end{matrix} \right.\)
Suy ra tập xác định của hàm số là \(\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1;-4 \right\}.\)
b) Điều kiện xác định: \(\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+3x+4 \right)\ne 0\) \(\Leftrightarrow x\ne -1.\)
Suy ra tập xác định của hàm số là \(\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}.\)
c) Điều kiện xác định: \({{x}^{3}}+{{x}^{2}}-5x-2\ne 0\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ne 2 \\
x\ne \frac{-3\pm \sqrt{5}}{2} \\
\end{matrix} \right.\)
Suy ra tập xác định của hàm số là \(\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ 2;\frac{-3-\sqrt{5}}{2};\frac{-3+\sqrt{5}}{2} \right\}.\)
d) Điều kiện xác định: \({{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}-2{{x}^{2}}\ne 0\) \(\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-\sqrt{2}x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+\sqrt{2}x-1 \right)\ne 0\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{x}^{2}}-\sqrt{2}x-1\ne 0 \\
{{x}^{2}}+\sqrt{2}x-1\ne 0 \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ne \frac{\sqrt{2}\pm \sqrt{7}}{2} \\
x\ne \frac{-\sqrt{2}\pm \sqrt{7}}{2} \\
\end{matrix} \right.\)
Suy ra tập xác định của hàm số là: \(\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\sqrt{2}-\sqrt{7}}{2};\frac{\sqrt{2}+\sqrt{7}}{2};\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{7}}{2};\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{7}}{2} \right\}.\)
Ví dụ 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) \(y=\frac{x+1}{(x-3)\sqrt{2x-1}}.\)
b) \(y=\frac{\sqrt{x+2}}{x\sqrt{{{x}^{2}}-4x+4}}.\)
c) \(y=\frac{\sqrt{5-3\left| x \right|}}{{{x}^{2}}+4x+3}.\)
d) \(y=\frac{x+4}{\sqrt{{{x}^{2}}-16}}.\)
a) Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{matrix}
x\ne 3 \\
2x-1>0 \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ne 3 \\
x>\frac{1}{2} \\
\end{matrix} \right.\)
Suy ra tập xác định của hàm số là: \(\text{D}=\left( \frac{1}{2};+\infty \right)\backslash \left\{ 3 \right\}.\)
b) Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{matrix}
x\ne 0 \\
\begin{align}
& {{x}^{2}}-4x+4>0 \\
& x+2\ge 0 \\
\end{align} \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ne 0 \\
\begin{align}
& {{\left( x-2 \right)}^{2}}>0 \\
& x\ge -2 \\
\end{align} \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ne 0 \\
\begin{align}
& x\ne 2 \\
& x\ge -2 \\
\end{align} \\
\end{matrix} \right.\)
Suy ra tập xác định của hàm số là: \(\text{D}=\left[ -2;+\infty \right)\backslash \left\{ 0;2 \right\}.\)
c) Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{matrix}
5-3\left| x \right|\ge 0 \\
{{x}^{2}}+4x+3\ne 0 \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\left| x \right|\le \frac{5}{3} \\
\left\{ \begin{matrix}
x\ne -1 \\
x\ne -3 \\
\end{matrix} \right. \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& -\frac{5}{3}\le x\le \frac{5}{3} \\
& x\ne -1 \\
& x\ne -3 \\
\end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& -\frac{5}{3}\le x\le \frac{5}{3} \\
& x\ne -1 \\
\end{align} \right.\)
Suy ra tập xác định của hàm số là: \(\text{D}=\left[ -\frac{5}{3};\frac{5}{3} \right]\backslash \left\{ -1 \right\}.\)
d) Điều kiện xác định: \({{x}^{2}}-16>0\) \(\Leftrightarrow \left| x \right|>4\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x>4 \\
x<-4 \\
\end{matrix} \right.\)
Suy ra tập xác định của hàm số là: \(\text{D}=\left( -\infty ;-4 \right)\cup \left( 4;+\infty \right).\)
Ví dụ 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) \(y=\frac{\sqrt[3]{{{x}^{2}}-1}}{{{x}^{2}}+2x+3}.\)
b) \(y=\frac{x}{x-\sqrt{x}-6}.\)
c) \(y=\sqrt{x+2}-\sqrt{x+3}.\)
d) \(y=\left\{ \begin{align}
& \frac{1}{x}\quad khi\ x\ge 1 \\
& \sqrt{x+1}\quad khi\ x<1 \\
\end{align} \right.\)
a) Điều kiện xác định: \({{x}^{2}}+2x+3\ne 0\) đúng với mọi \(x.\)
Suy ra tập xác định của hàm số là: \(\text{D}=\mathbb{R}.\)
b) Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{matrix}
x\ge 0 \\
x-\sqrt{x}-6\ne 0 \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\begin{align}
& x\ge 0 \\
& \sqrt{x}\ne -2 \\
\end{align} \\
\sqrt{x}\ne 3 \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge 0 \\
x\ne 9 \\
\end{matrix} \right.\)
Suy ra tập xác định của hàm số là: \(\text{D}=\left[ 0;+\infty \right)\backslash \left\{ 9 \right\}.\)
c) Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{matrix}
x+2\ge 0 \\
x+3\ge 0 \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge -2 \\
x\ge -3 \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow x\ge -2.\)
Suy ra tập xác định của hàm số là: \(\text{D}=\left[ -2;+\infty \right).\)
d)
Khi \(x\ge 1\) thì hàm số là \(y=\frac{1}{x}\) luôn xác định với \(x\ge 1.\)
Khi \(x<1\) thì hàm số là \(y=\sqrt{x+1}\) xác định khi \(\left\{ \begin{matrix}
x<1 \\
x+1\ge 0 \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x<1 \\
x\ge -1 \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow -1\le x<1.\)
Do đó hàm số đã cho xác định khi \(x\ge -1.\)
Suy ra tập xác định của hàm số là \(\text{D}=\left[ -1;+\infty \right).\)
Ví dụ 4. Cho hàm số \(y=\frac{mx}{\sqrt{x-m+2}-1}\) với \(m\) là tham số.
a) Tìm tập xác định của hàm số theo tham số \(m.\)
b) Tìm \(m\) để hàm số xác định trên \(\left( 0;1 \right).\)
a) Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{matrix}
x-m+2\ge 0 \\
\sqrt{x-m+2}\ne 1 \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge m-2 \\
x\ne m-1 \\
\end{matrix} \right.\)
Suy ra tập xác định của hàm số là: \(\text{D}=\left[ m-2;+\infty \right)\backslash \left\{ m-1 \right\}.\)
b) Hàm số xác định trên \(\left( 0;1 \right)\) khi và chỉ khi \(\left( 0;1 \right)\subset \left[ m-2;m-1 \right)\cup \left( m-1;+\infty \right)\) \(⇔ \left[ \begin{matrix}
\left( 0;1 \right)\subset \left[ m-2;m-1 \right) \\
\left( 0;1 \right)\subset \left( m-1;+\infty \right) \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=2 \\
m-1\le 0 \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=2 \\
m\le 1 \\
\end{matrix} \right.\)
Vậy \(m\in \left( -\infty ;1 \right]\cup \left\{ 2 \right\}\) là giá trị cần tìm.
Ví dụ 5. Cho hàm số \(y=\sqrt{2x-3m+4}+\frac{x}{x+m-1}\) với \(m\) là tham số.
a) Tìm tập xác định của hàm số khi \(m=1.\)
b) Tìm \(m\) để hàm số có tập xác định là \(\left[ 0;+\infty \right).\)
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{matrix}
2x-3m+4\ge 0 \\
x+m-1\ne 0 \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge \frac{3m-4}{2} \\
x\ne 1-m \\
\end{matrix} \right.\)
a) Khi \(m=1\), ta có điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{matrix}
x\ge -\frac{1}{2} \\
x\ne 0 \\
\end{matrix} \right.\)
Suy ra tập xác định của hàm số là \(\text{D}=\left[ -\frac{1}{2};+\infty \right)\backslash \left\{ 0 \right\}.\)
b)
Với \(1-m\ge \frac{3m-4}{2}\) \(\Leftrightarrow m\le \frac{6}{5}\) khi đó tập xác định của hàm số là: \(\text{D}=\left[ \frac{3m-4}{2};+\infty \right)\backslash \left\{ 1-m \right\}\), do đó \(m\le \frac{6}{5}\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với \(m>\frac{6}{5}\) khi đó tập xác định của hàm số là \(\text{D}=\left[ \frac{3m-4}{2};+\infty \right).\)
Do đó hàm số có tập xác định là \(\left[ 0;+\infty \right)\) khi và chỉ khi \(\frac{3m-4}{2}=0\) \(\Leftrightarrow m=\frac{4}{3}\) (thỏa mãn).
Vậy \(m=\frac{4}{3}\) là giá trị cần tìm.
3. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
a. Đề bài
Bài toán 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) \(y=\frac{2\sqrt{x-1}}{\left| x \right|-2}.\)
b) \(y=\sqrt{x+2}-\frac{2}{\sqrt{x-1}}.\)
c) \(y=\frac{\sqrt[3]{x-1}}{{{x}^{2}}+x+1}.\)
d) \(y=x+\sqrt{{{x}^{2}}-4x+4}.\)
e) \(y=\frac{\sqrt[{}]{x+1}}{{{x}^{2}}-x-6}.\)
f) \(y=f(x)=\left\{ \begin{align}
& \frac{1}{2-x}\quad khi\ x\ge 1 \\
& \sqrt{2-x}\quad khi\ x<1 \\
\end{align} \right.\)
Bài toán 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) \(y=\sqrt{6-3x}-\sqrt{x-1}.\)
b) \(y=\frac{\sqrt{2-x}+\sqrt{x+2}}{x}.\)
c) \(y=\frac{\sqrt{3x-2}+6x}{\sqrt{4-3x}}.\)
d) \(y=\sqrt{6-x}+\frac{2x+1}{1+\sqrt{x-1}}.\)
e) \(y=\frac{2x+9}{\left( x+4 \right)\sqrt{x+3}}.\)
f) \(y=\frac{\sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}}{x-3\sqrt{x}+2}.\)
g) \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-\sqrt{1+4x}}}.\)
h) \(y=\frac{2{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-3x+2}}.\)
Bài toán 3. Tìm giá trị của tham số \(m\) để:
a) Hàm số \(y=\frac{x+2m+2}{x-m}\) xác định trên \(\left( -1;0 \right).\)
b) Hàm số \(y=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-m}+1}\) có tập xác định là \(\left[ 0;+\infty \right).\)
Bài toán 4. Tìm giá trị của tham số \(m\) để:
a) Hàm số \(y=\sqrt{x-m+1}+\frac{2x}{\sqrt{-x+2m}}\) xác định trên \(\left( -1;3 \right).\)
b) Hàm số \(y=\sqrt{x+m}+\sqrt{2x-m+1}\) xác định trên \(\left( 0;+\infty \right).\)
c) Hàm số \(y=\sqrt{-x-2m+6}-\frac{1}{\sqrt{x+m}}\) xác định trên \(\left( -1;0 \right).\)
b. Hướng dẫn giải và đáp số
Bài toán 1.
a) Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{matrix}
x\ge 1 \\
\left| x \right|\ne 2 \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge 1 \\
x\ne \pm 2 \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge 1 \\
x\ne 2 \\
\end{matrix} \right.\)
Suy ra tập xác định của hàm số là: \(D=\left[ 1;+\infty \right)\backslash \left\{ 2 \right\}.\)
b) Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{matrix}
x+2\ge 0 \\
x-1>0 \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge -2 \\
x>1 \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow x>1.\)
Suy ra tập xác định của hàm số là: \(D=\left( 1;+\infty \right).\)
c) Điều kiện xác định: \({{x}^{2}}+x+1\ne 0\) \(\Leftrightarrow {{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}\ne 0\) (luôn đúng \(\forall x\)).
Suy ra tập xác định của hàm số là: \(D=\mathbb{R}.\)
d) Tập xác định của hàm số: \(D=\mathbb{R}.\)
e) Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{matrix}
x+1\ge 0 \\
{{x}^{2}}-x-6\ne 0 \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge -1 \\
\begin{align}
& x\ne -2 \\
& x\ne 3 \\
\end{align} \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge -1 \\
x\ne 3 \\
\end{matrix} \right.\)
Suy ra tập xác định của hàm số là: \(D=\left[ -1;+\infty \right)\backslash \left\{ 3 \right\}.\)
f) Tập xác định của hàm số: \(\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}.\)
Bài toán 2.
a) \(D=\left[ 1;2 \right].\)
b) \(\text{D}=\left[ -2;2 \right]\backslash \left\{ 0 \right\}.\)
c) \(D=\left[ \frac{2}{3};\frac{4}{3} \right).\)
d) \(D=\left[ 1;6 \right].\)
e) \(\text{D}=\left( -3;+\infty \right).\)
f) Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{matrix}
{{x}^{2}}-2x+3\ge 0 \\
x-3\sqrt{x}+2\ne 0 \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{\left( x-1 \right)}^{2}}+2\ge 0 \\
\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}-2 \right)\ne 0 \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ne 1 \\
x\ne 4 \\
\end{matrix} \right.\)
Suy ra tập xác định của hàm số là: \(\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1;4 \right\}.\)
g) Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{matrix}
1-\sqrt{1+4x}>0 \\
1+4x\ge 0 \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
1>1+4\text{x} \\
x\ge -\frac{1}{4} \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow -\frac{1}{4}\le x<0.\)
Suy ra tập xác định của hàm số là: \(D=\left[ -\frac{1}{4};0 \right).\)
h) Tập xác định của hàm số: \(\text{D}=\left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 2;+\infty \right)\)
Bài toán 3.
a) Điều kiện xác định: \(x\ne m.\)
Hàm số xác định trên \(\left( -1;0 \right)\) khi và chỉ khi \(m\notin \left( -1;0 \right)\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m\ge 0 \\
m\le -1 \\
\end{matrix} \right.\)
b) Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{matrix}
x\ge 0 \\
x\ge m \\
\end{matrix} \right.\)
Nếu \(m>0\) thì \(\left\{ \begin{matrix}
x\ge 0 \\
x\ge m \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow x\ge m\), suy ra tập xác định của hàm số là \(D=\left[ m;+\infty \right)\) nên \(m>0\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Nếu \(m\le 0\) thì \(\left\{ \begin{matrix}
x\ge 0 \\
x\ge m \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow x\ge 0\), suy ra tập xác định của hàm số là \(D=\left[ 0;+\infty \right).\)
Vậy \(m\le 0\) là giá trị cần tìm.
Bài toán 4.
a) \(m\ge 2.\)
b) \(m\in \left[ 0;1 \right].\)
c) \(m\in \left[ 1;3 \right].\)