Bài viết hướng dẫn phương pháp giải các dạng toán hàm số bậc nhất trong chương trình Đại số 10 chương 2, trong mỗi dạng toán đều bao gồm phương pháp giải toán cùng các ví dụ minh họa điển hình có lời giải chi tiết.
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM HÀM SỐ BẬC NHẤT
1. Định nghĩa hàm số bậc nhất: Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng
2. Sự biến thiên của hàm số bậc nhất:
+ Tập xác định:
+ Hàm số đồng biến khi và nghịch biến khi
+ Bảng biến thiên:
3. Đồ thị hàm số bậc nhất: Đồ thị của hàm số là một đường thẳng có hệ số góc bằng cắt trục hoành tại và cắt trục tung tại
Lưu ý:
+ Nếu là hàm số hằng, đồ thị là đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành.
+ Cho đường thẳng có hệ số góc , đi qua điểm , khi đó phương trình của đường thẳng là: .
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN HÀM SỐ BẬC NHẤT
Dạng toán 1. Xác định hàm số bậc nhất và sự tương giao giữa đồ thị các hàm số bậc nhất.
Phương pháp giải toán:
Để xác định hàm số bậc nhất ta thực hiện theo các bước sau:
+ Gọi hàm số cần tìm là , .
+ Dựa giả thiết bài toán để thiết lập hệ phương trình với ẩn
+ Giải hệ phương trình để tìm ẩn số , và suy ra hàm số cần tìm.
Cho hai đường thẳng và Khi đó:
a) và trùng nhau
b) và song song nhau
c) và cắt nhau , tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình
d) và vuông góc nhau
Ví dụ 1. Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng , tìm hàm số đó biết:
a) đi qua ,
b) đi qua và song song với
c) đi qua và cắt hai tia , tại , sao cho nhỏ nhất.
d) đi qua và với
Gọi hàm số cần tìm là ,
a) Vì và nên ta có hệ phương trình:
Vậy hàm số cần tìm là
b) Ta có .
Vì nên
Mặt khác
Suy ra
Vậy hàm số cần tìm là
c) Đường thẳng cắt trục tại và cắt tại với ,
Suy ra
Ta có
Do đó:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Vậy hàm số cần tìm là
d) Đường thẳng đi qua nên
Và
Do đó: .
Vậy hàm số cần tìm là .
Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng và ( là tham số).
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng , cắt nhau và tìm tọa độ giao điểm của chúng.
b) Tìm để ba đường thẳng , và phân biệt đồng quy.
a) Ta có suy ra hai đường thẳng , cắt nhau.
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng , là nghiệm của hệ phương trình:
Suy ra và cắt nhau tại điểm
b) Vì ba đường thẳng , , đồng quy nên , do đó:
+ Với ta có ba đường thẳng là , , phân biệt và đồng quy tại .
+ Với ta có suy ra không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy là giá trị cần tìm.
Ví dụ 3. Cho đường thẳng và
a) Tìm để hai đường thẳng , song song với nhau.
b) Tìm để đường thẳng cắt trục tung tại , cắt trục hoành tại sao cho tam giác cân tại
a)
+ Với , ta có , do đó hai đường thẳng này song song với nhau.
+ Với , ta có , suy ra hai đường thẳng này cắt nhau tại
+ Với khi đó hai đường thẳng trên là đồ thị của hàm số bậc nhất nên song song với nhau khi và chỉ khi
Đối chiếu với điều kiện suy ra .
Vậy và là giá trị cần tìm.
b) Ta có tọa độ điểm là nghiệm của hệ
Tọa độ điểm là nghiệm của hệ
Rõ ràng hệ phương trình vô nghiệm.
Với , ta có
Do đó tam giác cân tại (thỏa mãn).
Vậy là giá trị cần tìm.
Dạng toán 2. Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất.
Ví dụ 4. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a)
b)
a) Tập xác định
Vì suy ra hàm số đồng biến trên
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số đi qua ,
b) Tập xác định
Vì suy ra hàm số nghịch biến trên
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số đi qua ,
Ví dụ 5. Cho các hàm số , ,
a) Vẽ đồ thị các hàm số trên trong cùng một hệ trục tọa độ.
b) Dựa vào đồ thị hãy xác định giao điểm của các đồ thị hàm số đó.
a) Đường thẳng đi qua các điểm ,
Đường thẳng đi qua các điểm ,
Đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
b) Đường thẳng , cắt nhau tại
Đường thẳng , cắt nhau tại
Đường thẳng , cắt nhau tại
Ví dụ 6. Cho đồ thị hàm số có đồ thị như hình vẽ.
a) Hãy lập bảng biến thiên của hàm số trên
b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên
a) Bảng biến thiên của hàm số trên
b) Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta có:
khi và chỉ khi
khi và chỉ khi
Dạng toán 3. Đồ thị của hàm số chứa dấu trị tuyệt đối
Phương pháp giải toán: Vẽ đồ thị của hàm số ta làm như sau:
+ Cách 1: Vẽ là đường thẳng với phần đồ thị sao cho hoành độ thỏa mãn Vẽ là đường thẳng lấy phần đồ thị sao cho . Khi đó là hợp của hai đồ thị và .
+ Cách 2: Vẽ đường thẳng và rồi xóa đi phần đường thẳng nằm dưới trục hoành, phần đường thẳng nằm trên trục hoành chính là .
Chú ý:
Biết trước đồ thị khi đó đồ thị là gồm phần:
+ Giữ nguyên đồ thị ở bên phải trục tung.
+ Lấy đối xứng đồ thị ở bên trái trục tung qua trục tung.
Biết trước đồ thị khi đó đồ thị là gồm phần:
+ Giữ nguyên đồ thị ở phía trên trục hoành.
+ Lấy đối xứng đồ thị ở dưới trục hoành qua trục hoành.
Ví dụ 7. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a)
b)
a) Với đồ thị hàm số là phần đường thẳng đi qua hai điểm , nằm bên phải của đường thẳng .
Với đồ thị hàm số là phần đường thẳng đi qua hai điểm , nằm bên trái của đường thẳng .
b) Vẽ hai đường thẳng và và lấy phần đường thẳng nằm trên trục hoành.
Ví dụ 8. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a)
b)
a)
Cách 1: Ta có
Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm , và lấy phần đường thẳng bên phải của trục tung.
Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm , và lấy phần đường thẳng bên trái của trục tung.
Cách 2: Đường thẳng đi qua , . Khi đó đồ thị của hàm số là phần đường thẳng nằm bên phải của trục tung và phần đối xứng của nó qua trục tung.
b) Đồ thị là gồm phần:
+ Giữ nguyên đồ thị hàm số ở phía trên trục hoành.
+ Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số ở phía dưới trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành.
Ví dụ 9. Cho đồ thị
a) Vẽ đồ thị
b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên với
a) Ta có
Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm , và lấy phần đường thẳng bên phải của đường thẳng
Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm , và lấy phần đường thẳng nằm giữa của hai đường thẳng , .
Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm , và lấy phần đường thẳng bên trái của đường thẳng
b) Dựa vào đồ thị hàm số ta có:
khi và chỉ khi
khi và chỉ khi
Dạng toán 4. Ứng dụng của hàm số bậc nhất trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.
Phương pháp giải toán: Cho hàm số và đoạn . Khi đó, đồ thị của hàm số trên là một đoạn thẳng nên ta có một số tính chất:
Ví dụ 10. Cho hàm số . Tìm để giá trị lớn nhất của trên đạt giá trị nhỏ nhất.
Dựa vào các nhận xét trên ta thấy chỉ có thể đạt được tại hoặc
Như vậy nếu đặt thì và
Ta có:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Vậy giá trị nhỏ nhất của là , đạt được chỉ khi
Ví dụ 11. Cho hàm số Tìm để giá trị lớn nhất của hàm số là nhỏ nhất.
Gọi Ta đặt , do đó
Khi đó hàm số được viết lại là với , suy ra:
Áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối ta có:
Do đó , đẳng thức xảy ra khi .
Vậy giá trị cần tìm là .
Ví dụ 12. Cho thuộc . Chứng minh rằng:
Viết bất đẳng thức lại thành
Xét hàm số bậc nhất: với ẩn
Ta có:
Suy ra
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM HÀM SỐ BẬC NHẤT
1. Định nghĩa hàm số bậc nhất: Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng
2. Sự biến thiên của hàm số bậc nhất:
+ Tập xác định:
+ Hàm số
+ Bảng biến thiên:
3. Đồ thị hàm số bậc nhất: Đồ thị của hàm số
Lưu ý:
+ Nếu
+ Cho đường thẳng
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN HÀM SỐ BẬC NHẤT
Dạng toán 1. Xác định hàm số bậc nhất và sự tương giao giữa đồ thị các hàm số bậc nhất.
Phương pháp giải toán:
Để xác định hàm số bậc nhất ta thực hiện theo các bước sau:
+ Gọi hàm số cần tìm là
+ Dựa giả thiết bài toán để thiết lập hệ phương trình với ẩn
+ Giải hệ phương trình để tìm ẩn số
Cho hai đường thẳng
a)
b)
c)
d)
Ví dụ 1. Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng
a)
b)
c)
d)
Gọi hàm số cần tìm là
a) Vì
Vậy hàm số cần tìm là
b) Ta có
Vì
Mặt khác
Suy ra
Vậy hàm số cần tìm là
c) Đường thẳng
Suy ra
Ta có
Do đó:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Vậy hàm số cần tìm là
d) Đường thẳng
Và
Do đó:
Vậy hàm số cần tìm là
Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng
b) Tìm
a) Ta có
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng
Suy ra
b) Vì ba đường thẳng
+ Với
+ Với
Vậy
Ví dụ 3. Cho đường thẳng
a) Tìm
b) Tìm
a)
+ Với
+ Với
+ Với
Đối chiếu với điều kiện
Vậy
b) Ta có tọa độ điểm
Tọa độ điểm
Rõ ràng
Với
Do đó tam giác
Vậy
Dạng toán 2. Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất.
Ví dụ 4. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a)
b)
a) Tập xác định
Vì
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số
b) Tập xác định
Vì
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số
Ví dụ 5. Cho các hàm số
a) Vẽ đồ thị các hàm số trên trong cùng một hệ trục tọa độ.
b) Dựa vào đồ thị hãy xác định giao điểm của các đồ thị hàm số đó.
a) Đường thẳng
Đường thẳng
Đường thẳng
b) Đường thẳng
Đường thẳng
Đường thẳng
Ví dụ 6. Cho đồ thị hàm số có đồ thị
a) Hãy lập bảng biến thiên của hàm số trên
b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên
a) Bảng biến thiên của hàm số trên
b) Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta có:
Dạng toán 3. Đồ thị của hàm số chứa dấu trị tuyệt đối
Phương pháp giải toán: Vẽ đồ thị
+ Cách 1: Vẽ
+ Cách 2: Vẽ đường thẳng
Chú ý:
Biết trước đồ thị
+ Giữ nguyên đồ thị
+ Lấy đối xứng đồ thị
Biết trước đồ thị
+ Giữ nguyên đồ thị
+ Lấy đối xứng đồ thị
Ví dụ 7. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a)
b)
a) Với
Với
b) Vẽ hai đường thẳng
Ví dụ 8. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a)
b)
a)
Cách 1: Ta có
Vẽ đường thẳng
Vẽ đường thẳng
Cách 2: Đường thẳng
b) Đồ thị
+ Giữ nguyên đồ thị hàm số
+ Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số
Ví dụ 9. Cho đồ thị
a) Vẽ đồ thị
b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên với
a) Ta có
Vẽ đường thẳng
Vẽ đường thẳng
Vẽ đường thẳng
b) Dựa vào đồ thị hàm số ta có:
Dạng toán 4. Ứng dụng của hàm số bậc nhất trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.
Phương pháp giải toán: Cho hàm số
Ví dụ 10. Cho hàm số
Dựa vào các nhận xét trên ta thấy
Như vậy nếu đặt
Ta có:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Vậy giá trị nhỏ nhất của
Ví dụ 11. Cho hàm số
Gọi
Khi đó hàm số được viết lại là
Áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối ta có:
Do đó
Vậy giá trị cần tìm là
Ví dụ 12. Cho
Viết bất đẳng thức lại thành
Xét hàm số bậc nhất:
Ta có:
Suy ra