Giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn, nội dung bài viết gồm 3 phần: trình bày phương pháp, ví dụ minh họa và các bài tập rèn luyện, các ví dụ và bài tập trong bài viết đều được phân tích và giải chi tiết.
1. Phương pháp giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn
Các bước giải và biện luận phương trình dạng $a{x}^2+bx+c=0:$
• Nếu $a=0$: Phương trình trở thành: $bx+c=0$, khi đó:
+ Nếu $b\ne 0$, phương trình $\iff x=–\frac{c}{b}$, do đó phương trình có nghiệm duy nhất $x=–\frac{c}{b}.$
+ Nếu $b=0$, phương trình trở thành $0x+c=0$, ta tiếp tục xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1: Với $c=0$, phương trình nghiệm đúng với mọi $x\in R.$
Trường hợp 2: Với $c\ne 0$, phương trình vô nghiệm.
• Nếu $a\ne 0$: xét $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac:$
+ Trường hợp 1: Nếu $\mathrm{\Delta }>0$, phương trình có hai nghiệm phân biệt $x=\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}.$
+ Trường hợp 2: Nếu $\mathrm{\Delta }=0$, phương trình có nghiệm kép $x=-\frac{b}{2a}.$
+ Trường hợp 3: Nếu $\mathrm{\Delta }<0$, phương trình vô nghiệm.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình sau với $m$ là tham số:
a) $x^2-x+m=0.$
b) $(m+1)x^2-2mx+m-2=0.$
c) $(2m^2+5m+2)x^2-4mx+2=0.$
a) Ta có $\mathrm{\Delta }=1-4m.$
+ Với $\mathrm{\Delta }>0$ $\iff 1-4m>0$ $\iff m<\frac{1}{4}$: Phương trình có hai nghiệm phân biệt $x=\frac{1\pm \sqrt{1-4m}}{2}.$
+ Với $\mathrm{\Delta }=0$ $\iff 1-4m=0$ $\iff m=\frac{1}{4}$: Phương trình có nghiệm kép $x=\frac{1}{2}.$
+ Với $\mathrm{\Delta }<0$ $\iff 1-4m<0$ $\iff m>\frac{1}{4}$: Phương trình vô nghiệm.
Kết luận:
+ Với $m<\frac{1}{4}$: Phương trình có hai nghiệm phân biệt $x=\frac{1\pm \sqrt{1-4m}}{2}.$
+ Với $m=\frac{1}{4}$: Phương trình có nghiệm kép $x=\frac{1}{2}.$
+ Với $m>\frac{1}{4}$: Phương trình vô nghiệm.
b)
Trường hợp 1: Với $m+1=0$ $\iff m=-1$ khi đó phương trình trở thành $2x-3=0$ $\iff x=\frac{3}{2}.$
Trường hợp 2: Với $m+1\ne 0$ $\iff m\ne -1$ khi đó phương trình trên là phương trình bậc hai.
Ta có ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=m^2-(m-2)(m+1)$ $=m+2.$
+ Khi $\mathrm{\Delta }>0$ $\iff m+2>0$ $\iff m>-2$ khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt $x=\frac{m\pm \sqrt{m+2}}{m+1}.$
+ Khi $\mathrm{\Delta }=0$ $\iff m+2=0$ $\iff m=-2$ khi đó phương trình có nghiệm là $x=2.$
+ Khi $\mathrm{\Delta }<0$ $\iff m+2<0$ $\iff m<-2$ khi đó phương trình vô nghiệm.
Kết luận:
+ Với $m=-1$: Phương trình có nghiệm là $x=\frac{3}{2}.$
+ Với $m=-2$: Phương trình có nghiệm là $x=2.$
+ Với $m>-2$ và $m\ne -1$: Phương trình có hai nghiệm phân biệt $x=\frac{m\pm \sqrt{m+2}}{m+1}.$
+ Với $m<-2$: Phương trình vô nghiệm.
c) $(2m^2+5m+2)x^2-4mx+2=0.$
Trường hợp 1: Với $2m^2+5m+2=0$ $\iff [\begin{array}{c}m=-2\\ m=-\frac{1}{2}\end{array}$
+ Khi $m=-2$ phương trình trở thành $8x+2=0$ $\iff x=-\frac{1}{4}.$
+ Khi $m=-\frac{1}{2}$ phương trình trở thành $2x+2=0$ $\iff x=-1.$
Trường hợp 2: Với $2m^2+5m+2\ne 0$ $\iff \{\begin{array}{c}m\ne -2\\ m\ne -\frac{1}{2}\end{array}$ khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc hai.
Ta có $\mathrm{\Delta }=4m^2-2(2m^2+5m+2)$ $=-2(5m+2).$
+ Khi $\mathrm{\Delta }>0$ $\iff -2(5m+2)>0$ $\iff m<-\frac{2}{5}$ khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt $x=\frac{2m\pm \sqrt{-2(5m+2)}}{2m^2+5m+2}.$
+ Khi $\mathrm{\Delta }=0$ $\iff m=-\frac{2}{5}$ phương trình có nghiệm kép $x=-5.$
+ Khi $\mathrm{\Delta }<0$ $\iff m>-\frac{2}{5}$ phương trình vô nghiệm.
Kết luận:
+ Với $m=-2$ phương trình có nghiệm $x=-\frac{1}{4}.$
+ Với $m=-\frac{1}{2}$ phương trình có nghiệm $x=-1.$
+ Với $m=-\frac{2}{5}$ phương trình có nghiệm kép $x=-5.$
+ Với $m<-\frac{2}{5}$, $m\ne -2$ và $m\ne -\frac{1}{2}$ khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt $x=\frac{2m\pm \sqrt{-2(5m+2)}}{2m^2+5m+2}.$
+ Với $m>-\frac{2}{5}$ phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình sau với $a,b$ là tham số: $a{x}^2-2(a+b)x+a+2b=0.$
Trường hợp 1: Với $a=0$ phương trình trở thành $-2bx+2b=0$ $\iff bx=b.$
+ Khi $b=0$ phương trình là $0x=0$ do đó phương trình nghiệm đúng với mọi $x.$
+ Khi $b\ne 0$ phương trình có nghiệm là $x=1.$
Trường hợp 2: Với $a\ne 0$ phương trình là phương trình bậc hai.
Ta có ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={(a+b)}^2-a(a+2b)$ $=b^2.$
+ Khi $b=0$ phương trình có nghiệm kép $x=\frac{a+b}{a}.$
+ Khi $b\ne 0$ phương trình có hai nghiệm phân biệt là $[\begin{array}{c}x=\frac{a+b+b}{a}=\frac{a+2b}{a}\\ x=\frac{a+b-b}{a}=1\end{array}$
Kết luận:
+ Với $a=b=0$ phương trình nghiệm đúng với mọi $x.$
+ Với $a=0$ và $b\ne 0$ phương trình có nghiệm duy nhất $x=1.$
+ Với $a\ne 0$ và $b=0$ phương trình có nghiệm kép $x=\frac{a+b}{a}.$
+ Với $a\ne 0$ và $b\ne 0$ phương trình có hai nghiệm phân biệt là $x=\frac{a+2b}{a}$ và $x=1.$
Ví dụ 3. Tìm $m$ để phương trình $m{x}^2+x+m+1=0$:
a) Có nghiệm kép.
b) Có hai nghiệm phân biệt.
a)
+ Với $m=0$ phương trình trở thành phương trình bậc nhất $x+1=0$, suy ra $m=0$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Với $m\ne 0$ phương trình trên là phương trình bậc hai nên nó có nghiệm kép khi và chỉ khi $\{\begin{array}{c}a\ne 0\\ \mathrm{\Delta }=0\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{c}m\ne 0\\ 1-4m(m+1)=0\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{c}m\ne 0\\ 4m^2-4m+1=0\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{c}m\ne 0\\ m=\frac{1}{2}\end{array}\iff m=\frac{1}{2}.$
Vậy $m=\frac{1}{2}$ thì phương trình có nghiệm kép.
b)
+ Với $m=0$ phương trình trở thành phương trình bậc nhất $x+1=0$ suy ra $m=0$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Với $m\ne 0$ phương trình trên là phương trình bậc hai nên nó có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\mathrm{\Delta }>0$ $\iff 1-4m(m+1)>0$ $\iff 4m^2-4m+1>0$ $\iff {(2m-1)}^2>0$ $\iff m\ne \frac{1}{2}.$
Vậy $m\ne 0$ và $m\ne \frac{1}{2}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

3. Bài tập rèn luyện
a. Đề bài
Bài toán 1. Tìm $m$ để phương trình $x^2-3mx+(2m^2-m-1)=0$ có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó.
Bài toán 2. Cho phương trình: $m{x}^2-2mx+m+1=0.$
a) Giải phương trình đã cho khi $m=-2.$
b) Tìm $m$ để phương trình đã cho có nghiệm.
Bài toán 3. Giải và biện luận phương trình:
a) $(m-2)x^2-2(m+1)x+m-5=0.$
b) $(m-2)x^2-(2m-1)x+m+2=0.$
Bài toán 4. Tùy thuộc vào giá trị của tham số $m$, hãy tìm hoành độ giao điểm của đường thẳng $d:y=2x+m$ và Parabol $(P):$ $y=\left(m–1\right)x^2+2mx+3m–1.$
b. Hướng dẫn giải và đáp số
Bài toán 1. Ta có: $\mathrm{\Delta }=9m^2-4(2m^2-m-1)$ $=9m^2-8m^2+4m+4$ $={(m+2)}^2.$
Phương trình có nghiệm kép khi $\mathrm{\Delta }={(m+2)}^2=0$ $\Rightarrow m=-2.$
Nghiệm kép đó là $x_1=x_2$ $=\frac{3m}{2}=\frac{-6}{2}=-3.$
Bài toán 2.
a) Với $m=-2$ ta có phương trình: $-2x^2+4x-1=0$ $\iff 2x^2-4x+1=0$, phương trình này có hai nghiệm phân biệt $x=\frac{2\pm \sqrt{2}}{2}.$
b)
Với $m=0$ ta thấy phương trình vô nghiệm.
Với $m\ne 0$ thì phương trình có nghiệm khi và chỉ khi ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=m^2-m(m+1)\ge 0$ $\iff m<0.$
Bài toán 3.
a)
Trường hợp 1: Với $m-2=0$ $\iff m=2:$ Phương trình trở thành: $-6x-3=0$ $\iff x=-\frac{1}{2}.$
Trường hợp 2: $m-2\ne 0$ $\iff m\ne 2$, xét ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={(m+1)}^2-(m-2)(m-5)$ $=9m-9=9(m-1),$ ta có:
+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0$ $\iff 9(m-1)<0$ $\iff m<1$: Phương trình vô nghiệm.
+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$ $\iff 9(m-1)=0$ $\iff m=1$: Phương trình có nghiệm kép $x=\frac{m+1}{m-2}=-2.$
+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$ $\iff 9(m-1)>0$ $\iff m>1$: Phương trình có $2$ nghiệm phân biệt $[\begin{array}{c}x=\frac{m+1+3\sqrt{m-1}}{m-2}\\ x=\frac{m+1-3\sqrt{m-1}}{m-2}\end{array}$
Kết luận:
+ Với $m<1$: Phương trình vô nghiệm.
+ Với $m=1$: Phương trình có nghiệm $x=-2.$
+ Với $m=2$: Phương trình có nghiệm $x=-\frac{1}{2}.$
+ Với \(1 x=\frac{m+1+3\sqrt{m-1}}{m-2} \
x=\frac{m+1-3\sqrt{m-1}}{m-2} \
\end{matrix} \right.\)
b)
Trường hợp 1: Với $m-2=0$ $\iff m=2$, khi đó phương trình $\iff -3x+4=0$ $\iff x=\frac{4}{3}.$
Trường hợp 2: Với $m\ne 2$, khi đó phương trình là phương trình bậc hai có: $\mathrm{\Delta }=-4m+17.$
+ Với $m>\frac{17}{4}$ $\Rightarrow \mathrm{\Delta }<0$ suy ra phương trình vô nghiệm.
+ Với $m=\frac{17}{4}$ $\Rightarrow \mathrm{\Delta }=0$ suy ra phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=\frac{2m-1}{2(m-2)}=\frac{10}{3}.$
+ Với $m<\frac{17}{4}$ $\Rightarrow \mathrm{\Delta }>0$ phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_1=\frac{2m-1+\sqrt{-4m+17}}{2(m-2)}$ và $x_2=\frac{2m-1-\sqrt{-4m+17}}{2(m-2)}.$
Kết luận:
+ Với $m=2$ phương trình có một nghiệm $x=\frac{4}{3}.$
+ Với $m>\frac{17}{4}$ phương trình vô nghiệm.
+ Với $m=\frac{17}{4}$ phương trình có nghiệm kép $x=\frac{10}{3}.$
+ Với $\{\begin{array}{rl}& m<\frac{17}{4}\\ & m\ne 2\end{array}$ phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_{1,2}=\frac{2m-1\pm \sqrt{-4m+17}}{2(m-2)}.$
Bài toán 4. Hoành độ giao điểm của đường thẳng $d$ và Parabol $(P)$ là nghiệm của phương trình: $(m-1)x^2+2mx+3m-1=2x+m$ $\iff (m-1)x^2+2(m-1)x+2m-1=0$ $(\ast ).$
Với $m=1$ ta thấy $(\ast )$ vô nghiệm nên $d$ và $(P)$ không có giao điểm.
Với $m\ne 1$ thì $(\ast )$ là phương trình bậc hai có ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={(m-1)}^2(m-1)(2m-1)=-m(m-1).$
Do đó ta có các trường hợp sau:
+ Trường hợp 1: Nếu $m\in (-\mathrm{\infty };0)\cup (1;+\mathrm{\infty })$ thì ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0$ nên $(\ast )$ vô nghiệm nên $d$ và $\left(\text{P}\right)$ không có giao điểm.
+ Trường hợp 2: Nếu $m=0$ thì ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$ và $(\ast )$ có một nghiệm $x=-1.$
+ Trường hợp 3: Nếu $m\in (0;1)$ thì ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$ và $(\ast )$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}=1\pm \frac{\sqrt{m(1-m)}}{m-1}.$